Юнитал (геометрия)

В геометрии единица — это набор из n ³ + 1 точка, разбитая на подмножества размера n + 1 так, что каждая пара различных точек набора содержится ровно в одном подмножестве. Это эквивалентно тому, что единицей является 2-( n ³ + 1, n + 1, 1) блочная конструкция . Некоторые унитали могут быть вложены в проективную плоскость порядка n. ² (подмножества плана становятся наборами коллинеарных точек на проективной плоскости). В этом случае вложенных единиц каждая линия плоскости пересекает единицу либо в 1, либо в n + 1 точках. В дезарговых плоскостях PG(2, q ² ), классическими примерами униталей являются невырожденные эрмитовые кривые. Есть также много неклассических примеров. Первая и единственная известная единица измерения с непростыми степенными параметрами n = 6 была построена Бхаскаром Багчи и Сунандой Багчи. Пока неизвестно, можно ли вложить эту единицу в проективную плоскость порядка 36 , если такая плоскость существует.

Единицы

Классический

Мы рассмотрим некоторую терминологию, используемую в проективной геометрии .

Корреляция . проективной геометрии — это биекция ее подпространств, которая меняет вложенность В частности, корреляция меняет местами точки и гиперплоскости .

Корреляция второго порядка называется полярностью .

Полярность называется унитарной полярностью , если связанная с ней полуторалинейная форма s с сопутствующим автоморфизмом α удовлетворяет условию

s ( u , v ) = s ( v , u ) ^а для всех векторов u , v базового векторного пространства .

Точка называется абсолютной точкой полярности, если она лежит на своем изображении под полярностью.

Абсолютные точки унитарной полярности проективной геометрии PG( d , F ) для некоторого d ≥ 2 являются невырожденным эрмитовым многообразием , а если d = 2, это многообразие называется невырожденной эрмитовой кривой .

В PG(2, q ² ) для некоторой простой степени q множество точек невырожденной эрмитовой кривой образует единицу, который называется классической единицей .

Позволять ${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(2,q^{2})$ — невырожденная эрмитова кривая в $PG(2,q^{2})$ ради какой-то высшей силы $q$. Поскольку все невырожденные эрмитовы кривые в одной плоскости проективно эквивалентны, ${\mathcal {H}}$ можно описать в однородных координатах следующим образом: $${\mathcal {H}}=\{(x_{0},x_{1},x_{2})\colon x_{0}^{q+1}+x_{1}^{q+1}+x_{2}^{q+1}=0\}.$$

единицы Ри

Другое семейство униталей, основанное на группах Ри, было построено Г. Люнебургом. Пусть Γ = R( q ) — группа Ри типа ² G ₂ порядка ( q ³ + 1) д ³ ( q − 1) где q = 3 ^{2м 1 +} . Пусть P — множество всех q ³ + 1 силовская 3-подгруппа группы Γ. Γ действует на этом множестве дважды транзитивно посредством сопряжения (будет удобно думать об этих подгруппах как о точках , на которые действует Γ.) Для любых S и T в P поточечный стабилизатор Γ _{S , T} является циклическим порядка q - 1 и, таким образом, содержит единственную инволюцию , µ. Каждая такая инволюция фиксирует ровно q + 1 точку P . Постройте блочный план в точках P , блоки которого являются множествами неподвижных точек этих различных инволюций µ. Поскольку Γ действует на P дважды транзитивно , это будет 2-схема с параметрами 2-( q ³ + 1, q + 1, 1) называется единицей Ри.

Люнебург также показал, что унитали Ри не могут быть вложены в проективные плоскости порядка q. ² ( дезаргова или нет) такая, что группа автоморфизмов Γ индуцируется группой коллинеации плоскости. Для q = 3 Грюнинг доказал, что униталь Ри не может быть вложена ни в одну проективную плоскость порядка 9.

Единицы с n = 3

В четырех проективных плоскостях 9-го порядка ( дезаргова плоскость PG(2,9), холловская плоскость 9-го порядка, двойственная холловская плоскость 9-го порядка и плоскость Хьюза 9-го порядка. ), исчерпывающий компьютерный поиск, проведенный Пенттилой и Ройлом. нашел 18 униталей (с точностью до эквивалентности) с n = 3 в этих четырех плоскостях: две в PG(2,9) (обе Бюкенхаута), четыре в плоскости Холла (два Бюкенхаута, две нет) и, таким образом, еще четыре в двойственной плоскости. Самолет Холла и восемь в самолете Хьюза. Однако одна из единиц Бюкенхаута в плоскости Холла самодвойственна, и, таким образом, снова учитывается в двойной плоскости Холла. Таким образом, существует 17 различных встраиваемых униталей с n = 3. С другой стороны, неисчерпывающий компьютерный поиск обнаружил более 900 взаимно неизоморфных конструкций, которые являются униталями с n = 3.

Изоморфные и эквивалентные единицы

Поскольку унитали представляют собой блочные конструкции , два унитала называются изоморфными , если между ними существует конструктивный изоморфизм , то есть биекция между множествами точек, которая отображает блоки в блоки. Эта концепция не учитывает свойство вложимости, поэтому мы говорим, что две единицы, вложенные в одну и ту же объемлющую плоскость, эквивалентны, если существует коллинеация плоскости, которая отображает одну единицу в другую.

Постройки Букенхаута

Изучая классическую единицу в $PG(2,q^{2})$ в модели Брука/Бозе , Бюкенхаут предоставил две конструкции, которые вместе доказали существование вложенной единицы в любой конечной двумерной плоскости сдвига . Мец впоследствии показал, что одна из конструкций Бюкенхаута действительно дает неклассические унитали во всех конечных дезарговых плоскостях квадратного порядка не ниже 9. Эти унитали Бюкенхаута-Метца были тщательно изучены.

Основная идея конструкции Бюкенхаута заключается в том, что когда кто-то смотрит на $PG(2,q^{2})$ в многомерной модели Брука/Бозе, которая лежит в $PG(4,q)$уравнение эрмитовой кривой, удовлетворяемое классической единицей, становится квадрикой в $PG(4,q)$, либо точка-конус над трехмерным овалом, если линия, представленная разбросом модели Брука/Бозе, пересекает единицу в одной точке, либо неособая квадрика в противном случае. Поскольку эти объекты имеют известные схемы пересечения относительно плоскостей $PG(4,q)$, результирующий набор точек остается единицей в любой плоскости перемещения, генерирующий разворот которой содержит все те же линии, что и исходный разворот внутри квадратичной поверхности. В случае овоидального конуса это принудительное пересечение состоит из одной линии, и любой разворот может быть отображен на разворот, содержащий эту линию, показывая, что каждая плоскость перемещения этой формы допускает встроенную единицу.

Эрмитовые сорта

Эрмитовы многообразия являются в некотором смысле обобщением квадрик и естественным образом возникают в теории полярностей .

Определение

Пусть K — поле с инволютивным автоморфизмом $\theta$. Пусть n — целое число $\geq 1$ и V — (n+1) векторное пространство над K. -мерное

Эрмитовым многообразием H в PG(V) называется множество точек, представляющие векторные линии которого состоят из изотропных точек нетривиальной эрмитовой полуторалинейной формы на V .

Представительство

Позволять $e_{0},e_{1},\ldots ,e_{n}$ основой В. быть Если точка p в проективном пространстве имеет однородные координаты $(X_{0},\ldots ,X_{n})$ относительно этого базиса он находится на эрмитовом многообразии тогда и только тогда, когда:

$\sum _{i,j=0}^{n}a_{ij}X_{i}X_{j}^{\theta }=0$

где $a_{ij}=a_{ji}^{\theta }$ и не все $a_{ij}=0$

Если построить эрмитову матрицу A с $A_{ij}=a_{ij}$уравнение можно записать компактно:

$X^{t}AX^{\theta }=0$

где $X={\begin{bmatrix}X_{0}\\X_{1}\\\vdots \\X_{n}\end{bmatrix}}.$

Касательные пространства и сингулярность

Пусть p — точка эрмитова многообразия H . Прямая L, проходящая через p, по определению является касательной, если она содержит только одну точку ( сам p ) многообразия или полностью лежит на нем. Можно доказать, что эти прямые образуют подпространство или гиперплоскость всего пространства. В последнем случае точка особая.

Источники

• Ассмус, Э. Ф. младший; Ки, JD (1992), Проекты и их коды , Кембриджские трактаты по математике № 103, Cambridge University Press, ISBN  0-521-41361-3
• Багчи, С.; Багчи, Б. (1989), «Схемы из пар конечных полей. Циклический единичный U(6) и другие регулярные 2-схемы Штейнера», Журнал комбинаторной теории, серия A , 52 : 51–61, doi : 10.1016/ 0097-3165(89)90061-7
• Барвик, Сьюзен; Эберт, Гэри (2008), Юнитали в проективных плоскостях , Springer, doi : 10.1007/978-0-387-76366-8 , ISBN  978-0-387-76364-4
• Беттен, А.; Беттен, Д.; Тончев, В.Д. (2003), «Единицы измерения и коды», Дискретная математика , 267 (1–3): 23–33, doi : 10.1016/s0012-365x(02)00600-3
• Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия , результаты математики и ее пограничные области , Том 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  3-540-61786-8 , MR   0233275 - через Интернет-архив.
• Грюнинг, К. (1986), «Das Kleinste Ree-Unital», Archiv der Mathematik , 46 (5): 473–480, doi : 10.1007/bf01210788 , S2CID   115302560
• Люнебург, Х. (1966), «Некоторые замечания относительно группы Ри типа (G ₂ )», Journal of Algebra , 3 (2): 256–259, doi : 10.1016/0021-8693(66)90014-7
• Пенттила, Т.; Ройл, Г.Ф. (1995), «Множества типа ( m,n ) в аффинных и проективных плоскостях девятого порядка», Designs, Codes and Cryptography , 6 (3): 229–245, doi : 10.1007/bf01388477 , S2CID   43638589