Плоскость зала

В математике плоскость Холла — это недесаргова проективная плоскость, построенная Маршаллом Холлом-младшим (1943). Есть примеры порядка p ^22н для каждого простого числа p и каждого натурального числа n при условии, что p ^22н > 4 .

Холла

Первоначальная конструкция плоскостей Холла была основана на квазиполе Холла (также называемом системой Холла ), H порядка p ^22н для p простое число. Создание плоскости из квазиполя происходит по стандартной конструкции ( см. в разделе «Квазиполе подробности »).

Чтобы построить квазиполе Холла, начните с поля Галуа F = GF( p ^н ) для p простого числа и квадратичного неприводимого многочлена f ( x ) = x ² − rx − s над F . Расширьте H = F × F , двумерное векторное пространство над F , до квазиполя, определив умножение векторов на ( a , b ) ∘ ( c , d ) = ( ac − bd ⁻¹ f ( c ), ad − bc + br ), когда d ≠ 0 и ( a , b ) ∘ ( c , 0) = ( ac , bc ) в противном случае.

Записывая элементы H в терминах базиса ⟨1, λ ⟩ , то есть отождествляя ( x , y ) с x + λy , когда x и y изменяются по F , мы можем идентифицировать элементы F как упорядоченные пары ( x , 0) , т.е. x + λ 0 . Свойства определенного умножения, которые превращают правое векторное пространство H в квазиполе:

1. каждый элемент α из H, не входящий в F, удовлетворяет квадратному уравнению f ( α ) = 0 ;
2. F находится в ядре H (это означает, что ( α + β ) c = αc + βc и ( αβ ) c = α ( βc ) для всех α , β в H и всех c в F ); и
3. каждый элемент F коммутирует (мультипликативно) со всеми элементами H .

Вывод

Другая конструкция, производящая плоскости Холла, получается применением вывода к дезарговым плоскостям .

Процесс, предложенный Т.Г. Остромом, который заменяет определенные наборы прямых в проективной плоскости альтернативными наборами таким образом, что новая структура по-прежнему остается проективной плоскостью, называется деривацией . Приводим подробности этого процесса. Начните с проективной плоскости π порядка n. ² и обозначим одну линию ℓ как ее линию, находящуюся в бесконечности . Пусть A — аффинная плоскость π ∖ ℓ . Набор D из n + 1 точек из ℓ называется набором вывода , если для каждой пары различных точек X и Y из A , которые определяют прямую, пересекающуюся ℓ в точке D , существует подплоскость Бэра, содержащая X , Y и D (мы говорим, что такие подплоскости Бэра принадлежат D ) следующим образом : .) Определим новую аффинную плоскость D( A Точки D( A ) являются точками A . Линии D( A ) — это линии π , которые не пересекаются с ℓ в точке D (ограничены A ), и подплоскости Бэра, принадлежащие D (ограничены A ). Множество D( A ) представляет собой аффинную плоскость порядка n ² и она, или ее проективное завершение, называется производной плоскостью .

Свойства

1. Плоскости Холла являются плоскостями перемещения .
2. Все конечные холловы плоскости одного порядка изоморфны.
3. Плоскости Холла не самодвойственны .
4. Все конечные плоскости Холла содержат подплоскости порядка 2 ( подплоскости Фано ).
5. Все конечные плоскости Холла содержат подплоскости порядка, отличного от 2.
6. Самолеты Холла — это самолеты Андре .

Плоскость зала заказа 9

Самолет зала заказа 9
Заказ	9
Класс Ленца – Барлотти	IVа.3
Автоморфизмы	2 8 × 3 5 × 5
Длины орбит точки	10, 81
Длина орбиты линии	1, 90
Характеристики	Самолет перевода

Плоскость Холла 9-го порядка — наименьшая плоскость Холла и один из трёх наименьших примеров конечной недесарговой проективной плоскости , наряду с двойственной ей плоскостью и плоскостью Хьюза 9-го порядка.

Строительство

Хотя обычно самолет Холла конструируется так же, как и другие самолеты Холла, самолет Холла 9-го порядка был фактически найден ранее Освальдом Вебленом и Джозефом Веддерберном в 1907 году. Существует четыре квазиполя девятого порядка, из которых можно построить плоскость Холла девятого порядка. Три из них являются системами Холла, порожденными неприводимыми полиномами f ( x ) = x ² + 1 , г ( Икс ) знак равно Икс ² - Икс - 1 или час ( Икс ) знак равно Икс ² + Икс - 1 . Первый из них создает ассоциативное квазиполе, то есть ближнее поле , и именно в этом контексте самолет был обнаружен Вебленом и Уэддерберном. Эту плоскость часто называют плоскостью ближнего поля девятого порядка.

Свойства

Группа

Плоскость Холла 9-го порядка — это единственная проективная плоскость, конечная или бесконечная, имеющая класс Ленца–Барлотти IVa.3. Его группа автоморфизмов действует на своей (обязательно уникальной) линии сдвига импримитивно , имея 5 пар точек, которые группа сохраняет по-множеству; группа автоморфизмов действует как S ₅ на этих 5 парах.

Единицы

Плоскость Холла 9-го порядка допускает четыре неэквивалентных вложенных унитала . Две из этих единиц возникают из формулы Бюкенхаута. конструкции: одна — параболическая , встречающаяся с линией переноса в одной точке, а другая — гиперболическая , встречающаяся с линией переноса в 4 точках. Последнюю из этих двух единиц показал Грюнинг. также быть встраиваемым в двойственную плоскость Холла. Другая единица возникает из конструкции Барлотти и Лунардона. Четвертый имеет группу автоморфизмов порядка 8, изоморфную кватернионам , и не является частью какого-либо известного бесконечного семейства.

Ссылки

• Дембовский, П. (1968), Конечная геометрия , Берлин: Springer-Verlag
• Холл, Маршалл-младший (1943), «Проективные плоскости» (PDF) , Труды Американского математического общества , 54 (2): 229–277, doi : 10.2307/1990331 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1990331 , MR   0008892
• Хьюз, Д.; Пайпер, Ф. (1973). Проективные плоскости . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-90044-6 .
• Стивенсон, Фредерик В. (1972), Проекционные плоскости , Сан-Франциско: WH Freeman and Company, ISBN  0-7167-0443-9
• Веблен, Освальд ; Веддерберн, Джозеф Х.М. (1907), «Недесарговы и непаскалевские геометрии» (PDF) , Труды Американского математического общества , 8 (3): 379–388, doi : 10.2307/1988781 , JSTOR   1988781
• Вейбель, Чарльз (2007), «Обзор недесарговых плоскостей» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 54 (10): 1294–1303