Ближнее поле (математика)

Эта статья о математической концепции. Чтобы узнать об электромагнитной концепции, см. Ближнее и дальнее поле .

В математике ближнее поле — это алгебраическая структура, подобная телу , за исключением того, что оно имеет только один из двух законов распределения. Альтернативно, ближнее поле — это почти кольцо , в котором существует мультипликативное тождество , и каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный .

Определение

Ближнее поле – это набор $Q$ вместе с двумя двоичными операциями , $+$ (дополнение) и $\cdot$ (умножение), удовлетворяющее следующим аксиомам:

А1: $(Q,+)$ является абелевой группой .

А2: $(a\cdot b)\cdot c$ = $a\cdot (b\cdot c)$ для всех элементов $a$, $b$, $c$ из $Q$ ( Ассоциативный закон умножения).

А3: $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ для всех элементов $a$, $b$, $c$ из $Q$ (Правильный распределительный закон ).

A4: $Q$ содержит ненулевой элемент 1 такой, что $1\cdot a=a\cdot 1=a$ для каждого элемента $a$ из $Q$ ( Мультипликативное тождество ).

A5: Для каждого ненулевого элемента $a$ из $Q$ существует элемент $a^{-1}$ такой, что $a\cdot a^{-1}=1=a^{-1}\cdot a$ ( Мультипликативный обратный ).

Примечания к определению

1. Вышеизложенное, строго говоря, является определением правого ближнего поля. Заменив А3 левым распределительным законом $c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b$ вместо этого мы получаем левое ближнее поле. Чаще всего термин «ближнее поле» понимается как «правое ближнее поле», но это не универсальное соглашение.
2. (Правое) ближнее поле называется «плоским», если оно также является правым квазиполем . Каждое конечное ближнее поле является плоским, но бесконечные ближние поля не обязательно должны быть таковыми.
3. Нет необходимости уточнять, что аддитивная группа абелева, поскольку это следует из остальных аксиом, как доказали Б. Х. Нейман и Дж. Л. Земмер. Однако доказательство довольно сложное, и удобнее включить его в аксиомы, чтобы быстрее начать работу по установлению свойств ближних полей.
4. Иногда дается список аксиом, в котором А4 и А5 заменяются следующим единственным утверждением:

   A4*: Ненулевые элементы образуют группу при умножении.

   Однако это альтернативное определение включает одну исключительную структуру порядка 2, которая не удовлетворяет различным основным теоремам (таким как $x\cdot 0=0$ для всех $x$). Таким образом, гораздо удобнее и привычнее использовать аксиомы в приведенной выше форме. Разница в том, что A4 требует, чтобы 1 была единицей для всех элементов, а A4* — только для ненулевых элементов.

   Исключительную структуру можно определить, взяв аддитивную группу порядка 2 и определив умножение на $x\cdot y=x$ для всех $x$ и $y$.

Примеры

1. Любое тело (включая любое поле ) является ближним полем.
2. Следующее определяет (правое) ближнее поле порядка 9. Это наименьшее ближнее поле, которое не является полем.

   Позволять $K$ — поле Галуа девятого порядка. Обозначим умножение в $K$ к ' $*$ '. Определите новую бинарную операцию ' · ' следующим образом:

   Если $b$ это любой элемент $K$ который является квадратом и $a$ это любой элемент $K$ затем $a\cdot b=a*b$.

   Если $b$ это любой элемент $K$ который не является квадратом и $a$ это любой элемент $K$ затем $a\cdot b=a^{3}*b$.

   Затем $K$ является ближним полем с этим новым умножением и тем же сложением, что и раньше.

История и приложения

Понятие ближнего поля было впервые введено Леонардом Диксоном в 1905 году. Он взял делительные кольца и изменил методы их умножения, оставив сложение как есть, и таким образом создал первые известные примеры ближних полей, которые не были телами. Ближние поля, создаваемые этим методом, известны как ближние поля Диксона; приведенное выше ближнее поле 9-го порядка является ближним полем Диксона. Ганс Зассенхаус доказал, что все конечные ближние поля, кроме семи, являются либо полями, либо ближними полями Диксона.

Самое раннее применение концепции ближнего поля было при изучении геометрии падения, такой как проективная геометрия . Многие проективные геометрии можно определить в терминах системы координат над телом, но другие — нет. Было обнаружено, что, допуская координаты из любого близкого к кольцу диапазона геометрий, которые можно было координировать, расширялся. Например, Маршалл Холл использовал приведенное выше ближнее поле порядка 9 для создания плоскости Холла , первой из последовательности таких плоскостей, основанной на ближних полях Диксона порядка квадрата простого числа. В 1971 году Т.Г. Рум и П.Б. Киркпатрик предложили альтернативную разработку.

Существует множество других приложений, в основном к геометрии. Более поздним применением ближнего поля является создание шифров для шифрования данных, таких как шифры Хилла .

в терминах групп Фробениуса и

Позволять $K$ быть ближним полем. Позволять $K_{m}$ — ее мультипликативная группа и пусть $K_{a}$ быть его аддитивной группой. Позволять $c\in K_{m}$ действовать дальше $b\in K_{a}$ к $b\mapsto b\cdot c$. Аксиомы ближнего поля показывают, что это действие правой группы групповыми автоморфизмами $K_{a}$и ненулевые элементы $K_{a}$ образуют единую орбиту с тривиальным стабилизатором.

И наоборот, если $A$ является абелевой группой и $M$ является подгруппой $\mathrm {Aut} (A)$ который действует свободно и транзитивно на ненулевые элементы $A$, то мы можем определить ближнее поле с аддитивной группой $A$ и мультипликативная группа $M$. Выберите элемент в $A$ позвонить $1$ и пусть $\phi :M\to A\setminus \{0\}$ быть биекцией $m\mapsto 1\ast m$. Затем мы определяем сложение на $A$ аддитивной групповой структурой на $A$ и определим умножение на $a\cdot b=1\ast \phi ^{-1}(a)\phi ^{-1}(b)$.

Группу Фробениуса можно определить как конечную группу вида $A\rtimes M$ где $M$ действует без стабилизатора на ненулевые элементы $A$. Таким образом, ближние поля находятся в биекции с группами Фробениуса, где $|M|=|A|-1$.

Классификация

Как упоминалось выше, Зассенхаус доказал, что все конечные ближние поля либо возникают из конструкции Диксона, либо являются одним из семи исключительных примеров. Опишем эту классификацию, задав пары $(A,M)$ где $A$ является абелевой группой и $M$ представляет собой группу автоморфизмов $A$ который действует свободно и транзитивно на ненулевые элементы $A$.

Строительство Диксона происходит следующим образом. Позволять $q$ быть простой степенью и выбрать положительное целое число $n$ такая, что все простые факторы $n$ разделять $q-1$ и, если $q\equiv 3{\bmod {4}}$, затем $n$ не делится на $4$. Позволять $F$ — конечное поле порядка $q^{n}$ и пусть $A$ быть аддитивной группой $F$. Мультипликативная группа $F$, вместе с автоморфизмом Фробениуса $x\mapsto x^{q}$ порождает группу автоморфизмов $F$ формы $C_{n}\ltimes C_{q^{n}-1}$, где $C_{k}$ циклическая группа порядка $k$. Условия делимости на $n$ позвольте нам найти подгруппу $C_{n}\ltimes C_{q^{n}-1}$ порядка $q^{n}-1$ который действует свободно и транзитивно на $A$. Дело $n=1$ – случай коммутативных конечных полей; приведенный выше пример девяти элементов $q=3$, $n=2$.

В семи исключительных примерах $A$ имеет форму $C_{p}^{2}$. Эта таблица, включая нумерацию римскими цифрами, взята из статьи Зассенхауза.

	$A=C_{p}^{2}$	Генераторы для $M$	Описание(а) $M$
я	$p=5$	$\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right)$ $\left({\begin{smallmatrix}1&-2\\-1&-2\\\end{smallmatrix}}\right)$	$2T$, бинарная тетраэдрическая группа .
II	$p=11$	$\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right)$ $\left({\begin{smallmatrix}1&5\\-5&-2\\\end{smallmatrix}}\right)$ $\left({\begin{smallmatrix}4&0\\0&4\\\end{smallmatrix}}\right)$	$2T\times C_{5}$
III	$p=7$	$\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right)$ $\left({\begin{smallmatrix}1&3\\-1&-2\\\end{smallmatrix}}\right)$	$2O$, бинарная октаэдрическая группа .
IV	$p=23$	$\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right)$ $\left({\begin{smallmatrix}1&-6\\12&-2\\\end{smallmatrix}}\right)$ $\left({\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\\\end{smallmatrix}}\right)$	$2O\times C_{11}$
V	$p=11$	$\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right)$ $\left({\begin{smallmatrix}2&4\\1&-3\\\end{smallmatrix}}\right)$	$2I$, бинарная группа икосаэдра .
МЫ	$p=29$	$\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right)$ $\left({\begin{smallmatrix}1&-7\\-12&-2\\\end{smallmatrix}}\right)$ $\left({\begin{smallmatrix}16&0\\0&16\\\end{smallmatrix}}\right)$	$2I\times C_{7}$
VII	$p=59$	$\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right)$ $\left({\begin{smallmatrix}9&15\\-10&-10\\\end{smallmatrix}}\right)$ $\left({\begin{smallmatrix}4&0\\0&4\\\end{smallmatrix}}\right)$	$2I\times C_{29}$

Бинарные тетраэдрические, октаэдрические и икосаэдрические группы являются центральными расширениями групп вращательной симметрии платоновых тел ; эти группы вращательной симметрии $A_{4}$, $S_{4}$ и $A_{5}$ соответственно. $2T$ и $2I$ также можно описать как $SL(2,\mathbb {F} _{3})$ и $SL(2,\mathbb {F} _{5})$.

См. также

• Рядом с кольцом
• Плоское тройное кольцо
• Квазиполе

Внешние ссылки

• Ближние поля Хауке Кляйна.