Бинарная операция

Не путать с побитовой операцией .

Бинарная операция $\circ$ это правило объединения аргументов $x$ и $y$ производить $x\circ y$

В математике бинарная операция или диадическая операция — это правило объединения двух элементов (называемых операндами ) для создания другого элемента. бинарная операция — это операция арности Более формально , два.

Более конкретно, бинарная операция над множеством — это бинарная операция, два домена которой и кодомен являются одним и тем же набором. Примеры включают знакомые арифметические сложения операции , вычитания и умножения . Другие примеры легко найти в разных областях математики, таких как сложение векторов , умножение матриц и сопряжение в группах .

Операцию арности два, включающую несколько наборов, иногда называют бинарной операцией . Например, скалярное умножение векторных пространств требует скаляра и вектора для создания вектора, а скалярное произведение требует двух векторов для создания скаляра. Такие бинарные операции также можно назвать бинарными функциями .

Бинарные операции являются краеугольным камнем большинства структур , изучаемых в алгебре , в частности в полугруппах , моноидах , группах , кольцах , полях и векторных пространствах .

Терминология

Точнее, бинарная операция над множеством $S$ является отображением элементов декартова произведения $S\times S$ к $S$:

$\,f\colon S\times S\rightarrow S.$

Свойство замыкания бинарной операции выражает существование результата операции при любой паре операндов.

Если $f$ не функция , а частичная функция , то $f$ называется частичной бинарной операцией . Например, деление действительных чисел невозможно является частично двоичной операцией, поскольку деление на ноль : ${\frac {a}{0}}$ не определено для каждого действительного числа $a$. И в теории моделей , и в классической универсальной алгебре бинарные операции должны быть определены над всеми элементами $S\times S$. Однако частичные алгебры обобщить универсальные алгебры , чтобы разрешить частичные операции.

Иногда, особенно в информатике , термин «бинарная операция» используется для обозначения любой бинарной функции .

Свойства и примеры

Типичными примерами бинарных операций являются сложение ( $+$) и умножение ( $\times$) чисел и матриц, а также композицию функций на одном множестве.Например,

• О множестве действительных чисел $\mathbb {R}$, $f(a,b)=a+b$ является двоичной операцией, поскольку сумма двух действительных чисел является действительным числом.
• О множестве натуральных чисел $\mathbb {N}$, $f(a,b)=a+b$ является бинарной операцией, поскольку сумма двух натуральных чисел является натуральным числом. Это другая бинарная операция, чем предыдущая, поскольку наборы разные.
• На съемочной площадке $M(2,\mathbb {R} )$ из $2\times 2$ матрицы с действительными элементами, $f(A,B)=A+B$ является бинарной операцией, поскольку сумма двух таких матриц есть $2\times 2$ матрица.
• На съемочной площадке $M(2,\mathbb {R} )$ из $2\times 2$ матрицы с действительными элементами, $f(A,B)=AB$ является бинарной операцией, поскольку произведение двух таких матриц есть $2\times 2$ матрица.
• Для заданного набора $C$, позволять $S$ быть набором всех функций $h\colon C\rightarrow C$. Определять $f\colon S\times S\rightarrow S$ к $f(h_{1},h_{2})(c)=(h_{1}\circ h_{2})(c)=h_{1}(h_{2}(c))$ для всех $c\in C$, композиция двух функций $h_{1}$ и $h_{2}$ в $S$. Затем $f$ является бинарной операцией, поскольку композиция двух функций снова является функцией на множестве $C$ (то есть член $S$).

Многие бинарные операции, представляющие интерес как в алгебре, так и в формальной логике, являются коммутативными , удовлетворяя условиям $f(a,b)=f(b,a)$ для всех элементов $a$ и $b$ в $S$, или ассоциативный , удовлетворяющий $f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))$ для всех $a$, $b$, и $c$ в $S$. Многие из них также имеют элементы идентичности и обратные элементы .

Первые три примера выше являются коммутативными, и все приведенные выше примеры ассоциативны.

О множестве действительных чисел $\mathbb {R}$, вычитание , то есть $f(a,b)=a-b$, является бинарной операцией, которая не является коммутативной, поскольку, вообще говоря, $a-b\neq b-a$. Оно также не ассоциативно, поскольку, вообще говоря, $a-(b-c)\neq (a-b)-c$; например, $1-(2-3)=2$ но $(1-2)-3=-4$.

О множестве натуральных чисел $\mathbb {N}$ двоичной операции , возведение в степень , $f(a,b)=a^{b}$, не является коммутативным, поскольку $a^{b}\neq b^{a}$ (ср. уравнение x ^и = и ^х ), а также неассоциативен, поскольку $f(f(a,b),c)\neq f(a,f(b,c))$. Например, с $a=2$, $b=3$, и $c=2$, $f(2^{3},2)=f(8,2)=8^{2}=64$, но $f(2,3^{2})=f(2,9)=2^{9}=512$. Изменяя набор $\mathbb {N}$ к множеству целых чисел $\mathbb {Z}$, эта бинарная операция становится частичной бинарной операцией, поскольку теперь она не определена, когда $a=0$ и $b$ любое отрицательное целое число. Для любого набора эта операция имеет правильный тождество (то есть $1$) с $f(a,1)=a$ для всех $a$ в множестве, которое не является тождеством (двустороннее тождество), поскольку $f(1,b)\neq b$ в общем.

Разделение ( $\div$), частичная двоичная операция над множеством действительных или рациональных чисел, не является коммутативной или ассоциативной. Тетрация ( $\uparrow \uparrow$), как бинарная операция над натуральными числами, не является коммутативной или ассоциативной и не имеет единичного элемента.

Обозначения

Бинарные операции часто записываются с использованием инфиксной записи, например $a\ast b$, $a+b$, $a\cdot b$ или (путем сопоставления без символа) $ab$ а не функциональной записью формы $f(a,b)$. Степени обычно также пишутся без оператора, но со вторым аргументом в виде надстрочного индекса .

Бинарные операции иногда записываются с использованием префиксной или (чаще) постфиксной записи, причем в обоих случаях скобки отсутствуют. Их еще называют соответственно польскими обозначениями $\ast ab$ и обратная польская запись $ab\ast$.

операции как

Бинарная операция $f$ на съемочной площадке $S$ можно рассматривать как троичное отношение на $S$, то есть набор троек $(a,b,f(a,b))$ в $S\times S\times S$ для всех $a$ и $b$ в $S$.

Другие бинарные операции

Например, скалярное умножение в линейной алгебре . Здесь $K$ это поле и $S$ является векторным пространством над этим полем.

Также скалярное произведение двух векторных карт $S\times S$ к $K$, где $K$ это поле и $S$ является векторным пространством над $K$. Будет ли это рассматриваться как бинарная операция, зависит от авторов.

См. также

• Категория:Свойства бинарных операций
• Итерированная бинарная операция – многократное применение операции к последовательности.
• Магма (алгебра) - алгебраическая структура с бинарной операцией.
• Оператор (программирование) — конструкция, связанная с математической операцией в компьютерных программах. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Тернарная операция - математическая операция, объединяющая три элемента для создания другого элемента.
• Таблица истинности § Бинарные операции
• Унарная операция – математическая операция только с одним операндом.

Ссылки

• Фрэли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли, ISBN  0-201-01984-1
• Холл, Маршалл младший (1959), Теория групп , Нью-Йорк: Макмиллан
• Харди, Дэрел В.; Уокер, Кэрол Л. (2002), Прикладная алгебра: коды, шифры и дискретные алгоритмы , Аппер-Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Прентис-Холл, ISBN  0-13-067464-8
• Ротман, Джозеф Дж. (1973), Теория групп: Введение (2-е изд.), Бостон: Аллин и Бэкон

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Двоичная операция» . Математический мир .