Бинарная октаэдрическая группа

В математике бинарную октаэдрическую группу называют 2O или ⟨2,3,4⟩. - некоторая неабелева группа порядка или (2,3,4 ) 48. Это расширение киральной октаэдрической группы O порядка 24 с помощью циклической группы порядка 2 и является прообразом октаэдрической группы под номером 2: 1, накрывающий гомоморфизм $\operatorname {Spin} (3)\to \operatorname {SO} (3)$ специальной ортогональной группы спиновой группой . Отсюда следует, что бинарная октаэдрическая группа является дискретной подгруппой Spin(3) порядка 48.

Бинарную октаэдрическую группу легче всего описать конкретно как дискретную подгруппу единичных кватернионов при изоморфизме $\operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)$ где Sp(1) — мультипликативная группа единичных кватернионов. (Описание этого гомоморфизма см. в статье о кватернионах и пространственных вращениях .)

Элементы

48 элементов видны в проекции:
• 1 заказ-1:1
• 1 заказ-2: -1
• 6 порядка-4: ±i, ±j, ±k
• 12 порядка-8: (±1±i)/√2, (±1±j)/√2, (±1±k)/√2
• 12 порядка 4: (±i±j)/√2, (±i±k)/√2, (±j±k)/√2
• 8 порядка-6, (+1±i±j±k)/2
• 8 порядка-3, (-1±i±j±k)/2.

Явно бинарная октаэдрическая группа определяется как объединение 24 единиц Гурвица.

$\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,{\tfrac {1}{2}}(\pm 1\pm i\pm j\pm k)\}$

со всеми 24 кватернионами, полученными из

${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\pm 1\pm 1i+0j+0k)$

перестановкой . координат и всех возможных сочетаний знаков Все 48 элементов имеют абсолютное значение 1 и, следовательно, лежат в группе единичных кватернионов Sp(1).

Характеристики

Бинарная октаэдрическая группа, обозначаемая 2 O , вписывается в короткую точную последовательность

$1\to \{\pm 1\}\to 2O\to O\to 1.\,$

Эта последовательность не расщепляется , а это означает, что 2 O является не полупрямым произведением {±1} O. на На самом деле не существует подгруппы из 2 O , изоморфной O .

Центром автоморфизмов 2 O является подгруппа {±1}, так что группа внутренних изоморфна O . Полная группа автоморфизмов изоморфна O × Z ₂ .

Презентация

У группы 2 О есть презентация, сделанная

$\langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{4}=rst\rangle$

или эквивалентно,

$\langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{4}\rangle .$

Генераторы кватернионов с этими соотношениями имеют вид

$r={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(i+j)\qquad s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i),$

с $r^{2}=s^{3}=t^{4}=rst=-1.$

Подгруппы

Бинарная октаэдрическая группа 2 O =⟨2,3,4⟩ порядка 48 имеет 3 основные подгруппы:
• 2 T =⟨2,3,3⟩, индекс 2,
• Q 16 = ⟨2,2,4⟩ индекс 3, и
• Q 12=⟨2,2,3⟩ индекс 4.
• ⟨ l , m , n ⟩= бинарная группа многогранников
• ⟨ п ⟩≃Z _{2 п} , ( п )≃Z _п ( циклические группы )

Бинарная тетраэдрическая группа 2 T , состоящая из 24 единиц Гурвица образует нормальную подгруппу индекса 2. кватернионов Группа Q 8 , состоящая из 8 липшицевых единиц , образует нормальную подгруппу 2 O индекса , 6. Факторгруппа изоморфна S ₃ ( симметричная группа из 3 букв). Эти две группы вместе с центром {±1} являются единственными нетривиальными нормальными подгруппами в 2 O .

Обобщенная группа кватернионов Q 16 также образует подгруппу 2 O с индексом 3. Эта подгруппа является самонормализующейся , поэтому ее класс сопряженности имеет 3 члена. Существуют также изоморфные копии бинарных групп диэдра Q 8 и Q 12 в 2 O .

Все остальные подгруппы представляют собой циклические группы, порожденные различными элементами (порядков 3, 4, 6 и 8).

Высшие измерения

Бинарная октаэдрическая группа обобщается на более высокие измерения: так же, как октаэдр обобщается до ортоплекса , октаэдрическая группа в SO(3) обобщается до гипероктаэдрической группы в SO( n ), которая имеет бинарное покрытие под отображением $\operatorname {Spin} (n)\to SO(n).$

См. также

• Бинарная многогранная группа
• бинарная циклическая группа , ⟨ n ⟩, индекс 2 n
• группа бинарного диэдра , ⟨2,2, n ⟩, индекс 4 n
• бинарная тетраэдрическая группа , 2T=⟨2,3,3⟩, индекс 24
• бинарная группа икосаэдра , 2I=⟨2,3,5⟩, индекс 120

Ссылки

• Коксетер, HSM и Мозер, WOJ (1980). Генераторы и соотношения для дискретных групп, 4-е издание . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-09212-9 .
• Конвей, Джон Х .; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах . Натик, Массачусетс: AK Peters, Ltd. ISBN  1-56881-134-9 .