Внутренний автоморфизм

В абстрактной алгебре внутренний автоморфизм — это автоморфизм группы заданный , кольца или алгебры, действием сопряжения фиксированного элемента, называемого сопряженным элементом . Их можно реализовать с помощью простых операций внутри самой группы, отсюда и прилагательное «внутренний». Эти внутренние автоморфизмы образуют подгруппу группы автоморфизмов, а фактор группы автоморфизмов по этой подгруппе определяется как внешняя группа автоморфизмов .

Определение

Если $G$ — группа, а $g$ — элемент $G$ (альтернативно, если $G$ — кольцо, а $g$ — единица ), то функция

{\begin{aligned}\varphi _{g}\colon G&\to G\\\varphi _{g}(x)&:=g^{-1}xg\end{aligned}}

называется (правым) сопряжением по $g$ (см. также класс сопряжения ). Эта функция является : для $эндоморфизмом G$ всех $x_{1},x_{2}\in G,$

\varphi _{g}(x_{1}x_{2})=g^{-1}x_{1}x_{2}g=g^{-1}x_{1}\left(gg^{-1}\right)x_{2}g=\left(g^{-1}x_{1}g\right)\left(g^{-1}x_{2}g\right)=\varphi _{g}(x_{1})\varphi _{g}(x_{2}),

где второе равенство дается вставкой тождества между $x_{1}$ и $x_{2}.$ Кроме того, он имеет левую и правую инверсию , а именно $\varphi _{g^{-1}}.$ Таким образом, $\varphi _{g}$ является биективным и, следовательно, является изоморфизмом $G$ с самим собой, т. е. автоморфизмом. — Внутренний автоморфизм это любой автоморфизм, возникающий в результате сопряжения. ^[1]

При обсуждении правильного спряжения выражение $g^{-1}xg$ часто обозначается экспоненциально $x^{g}.$ Это обозначение используется потому, что состав спряжений удовлетворяет тождеству: $\left(x^{g_{1}}\right)^{g_{2}}=x^{g_{1}g_{2}}$ для всех $g_{1},g_{2}\in G.$ Это показывает, что правильное сопряжение дает правильное действие группы $G$ на себя.

Группы внутренних и внешних автоморфизмов

Композиция G двух внутренних автоморфизмов снова является внутренним автоморфизмом, и с помощью этой операции совокупность всех внутренних автоморфизмов $G$ представляет собой группу, группа внутренних автоморфизмов $обозначается$ Inn $(G)$ .

$Inn(G)$ — нормальная подгруппа полной группы автоморфизмов $(G)$ группы $G.$ Aut Внешняя автоморфизмов группа $Out(G)$ является факторгруппой

\operatorname {Out} (G)=\operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G).

Группа внешних автоморфизмов в некотором смысле измеряет, сколько автоморфизмов группы $G$ не являются внутренними. Каждый невнутренний автоморфизм дает нетривиальный элемент $Out(G)$ , но разные невнутренние автоморфизмы могут давать один и тот же элемент $Out(G)$ .

Сказать, что сопряжение $x$ с помощью $a$ оставляет $x$ неизмененным, эквивалентно утверждению, что $a$ и $x$ коммутируют:

a^{-1}xa=x\iff xa=ax.

Поэтому существование и количество внутренних автоморфизмов, не являющихся тождественным отображением, является своего рода мерой несоблюдения коммутативного закона в группе (или кольце).

Автоморфизм группы $G$ является внутренним тогда и только тогда, когда он распространяется на любую группу, содержащую $G$ . ^[2]

Сопоставляя элементу $a \in G$ внутренний автоморфизм $f (x) = x а$ в $Inn(G)$ как указано выше, получается изоморфизм между факторгруппой G $/ Z(G)$ (где $Z(G)$ — центр G $,$ ) и внутренней группой автоморфизмов:

G\,/\,\mathrm {Z} (G)\cong \operatorname {Inn} (G).

Это является следствием первой теоремы об изоморфизме , поскольку $Z(G)$ — это именно набор тех элементов $G$ , которые задают тождественное отображение как соответствующий внутренний автоморфизм (сопряжение ничего не меняет).

Невнутренние автоморфизмы конечных $p$ -групп

Результат Вольфганга Гашютца гласит, что если $G$ — конечная неабелева $p$ -группа , то $G$ имеет автоморфизм $p$ -степенного порядка, который не является внутренним.

, остается открытым Вопрос о том, имеет ли каждая неабелева $p$ -группа $G$ автоморфизм порядка $p$ . Последний вопрос имеет положительный ответ, если $G$ имеет одно из следующих условий:

$G$ нильпотент класса 2
$G$ — регулярная $p$ -группа
$G /Z(G)$ — мощная $p$ -группа
Централизатор G в $G$ , $C G$ , центра $Z$ Φ подгруппы Фраттини группы $равен$ , $Φ$ C $G \circ Z \circ Φ(G)$ , не $(G)$

Типы групп

Группа внутренних автоморфизмов группы $G$ Inn $(G)$ тривиальна (т. е. состоит только из единичного элемента ) тогда и только тогда, $G$ абелева когда .

Группа $Inn(G)$ циклична только тогда , когда она тривиальна.

На противоположном конце спектра внутренние автоморфизмы могут исчерпать всю группу автоморфизмов; Группа, все автоморфизмы которой внутренние и центр тривиален, называется полной . Это относится ко всем симметричным группам на $n$ элементах, когда $n$ не равно 2 или 6. Когда $n = 6$ , симметричная группа имеет уникальный нетривиальный класс невнутренних автоморфизмов, а когда $n = 2$ , симметричная группа группа, несмотря на отсутствие невнутренних автоморфизмов, является абелевой, что дает нетривиальный центр, что лишает ее полноты.

Если группа внутренних автоморфизмов совершенной группы $G$ проста, то $G$ называется квазипростой .

Случай алгебры Ли

Автоморфизм алгебры Ли $𝔊$ называется внутренним автоморфизмом, если он имеет вид $Ad g$ , где $Ad$ — присоединенное отображение , а $g$ — элемент группы Ли , алгеброй Ли которой является $𝔊$ . Понятие внутреннего автоморфизма алгебр Ли совместимо с понятием групп в том смысле, что внутренний автоморфизм группы Ли индуцирует единственный внутренний автоморфизм соответствующей алгебры Ли.

Расширение

Если $G$ — группа единиц кольца G A $,$ то внутренний автоморфизм на $A$ может быть расширен до отображения на над $проективной прямой$ с помощью группы единиц кольца матриц $M 2 (A)$ . внутренние автоморфизмы классических групп В частности, таким образом можно расширить .

Ссылки

^ Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п. 45. ИСБН 978-0-4714-5234-8 . OCLC 248917264 .
^ Шупп, Пол Э. (1987), «Характеристика внутренних автоморфизмов» (PDF) , Proceedings of the American Mathematical Society , 101 (2), American Mathematical Society: 226–228, doi : 10.2307/2045986 , JSTOR 2045986 , MR 0902532

Дальнейшее чтение

Абдоллахи, А. (2010), «Мощные p -группы имеют невнутренние автоморфизмы порядка p и некоторые когомологии», J. Algebra , 323 (3): 779–789, arXiv : 0901.3182 , doi : 10.1016/j.jalgebra .2009.10.013 , МР 2574864
Абдоллахи, А. (2007), «Конечные p -группы класса 2 имеют невнутренние автоморфизмы порядка p », J. Algebra , 312 (2): 876–879, arXiv : math/0608581 , doi : 10.1016/j.jalgebra .2006.08.036 , МР 2333188
Дьяконеску, М.; Зильберберг, Г. (2002), «Невнутренние автоморфизмы порядка p конечных p -групп», J. Algebra , 250 : 283–287, doi : 10.1006/jabr.2001.9093 , MR 1898386
Гашюц, В. (1966), «Неабелевы p- группы имеют внешние p- автоморфизмы», J. Algebra , 4 : 1–2, doi : 10.1016/0021-8693(66)90045-7 , MR 0193144
Либек, Х. (1965), «Внешние автоморфизмы в нильпотентных p -группах класса 2 », J. London Math. Соц. , 40 : 268–275, doi : 10.1112/jlms/s1-40.1.268 , MR 0173708
Ремесленников, В.Н. (2001) [1994], «Внутренний автоморфизм» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Вайсштейн, Эрик В. «Внутренний автоморфизм» . Математический мир .

[1] Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п. 45. ИСБН 978-0-4714-5234-8 . OCLC 248917264 .

[2] Шупп, Пол Э. (1987), «Характеристика внутренних автоморфизмов» (PDF) , Proceedings of the American Mathematical Society , 101 (2), American Mathematical Society: 226–228, doi : 10.2307/2045986 , JSTOR 2045986 , MR 0902532

[1]

[2]