Мощная p -группа

В математике , в области теории групп , особенно при изучении p -групп и про- p -групп понятие мощных p -групп , важную роль играет . Они были представлены в ( Lubotzky & Mann 1987 ), где дан ряд приложений, включая результаты о множителях Шура . Мощные p -группы используются при изучении автоморфизмов групп p- ( Хухро, 1998 ), решении ограниченной проблемы Бернсайда ( Воган-Ли, 1993 ), классификации конечных p -групп с помощью гипотез о коклассах ( Лидэм-Грин и McKay 2002 ) и предоставил превосходный метод понимания аналитических про- p -групп ( Dixon et al. 1991 ).

Формальное определение [ править ]

Конечная p -группа $G$ называется мощной , если подгруппа коммутатора $[G,G]$ содержится в подгруппе $G^{p}=\langle g^{p}|g\in G\rangle$ для странных $p$ , или если $[G,G]$ содержится в подгруппе $G^{4}$ для $p=2$ .

Свойства мощных p -групп [ править ]

Мощные p -группы обладают многими свойствами, подобными абелевым группам , и, таким образом, обеспечивают хорошую основу для изучения p -групп. Любую конечную p -группу можно выразить как часть мощной p -группы.

Мощные p -группы также полезны при изучении про- p -групп , поскольку они предоставляют простые средства для характеристики p -адических аналитических групп (групп, которые являются многообразиями над p -адическими числами): Конечно порожденная про- p группа — это p -адическая аналитика тогда и только тогда, когда она содержит мощную открытую нормальную подгруппу : это частный случай глубокого результата Мишеля Лазара (1965).

Некоторые свойства, аналогичные абелевым p -группам : если $G$ является мощной p -группой, тогда:

Подгруппа Фраттини $\Phi (G)$ из $G$ имеет собственность $\Phi (G)=G^{p}.$
$G^{p^{k}}=\{g^{p^{k}}|g\in G\}$ для всех $k\geq 1.$ То есть созданная группа , $p$ полномочия – это совокупность именно $p$ ые полномочия.
Если $G=\langle g_{1},\ldots ,g_{d}\rangle$ затем $G^{p^{k}}=\langle g_{1}^{p^{k}},\ldots ,g_{d}^{p^{k}}\rangle$ для всех $k\geq 1.$
The $k$ ая запись нижнего центрального ряда $G$ имеет собственность $\gamma _{k}(G)\leq G^{p^{k-1}}$ для всех $k\geq 1.$
Каждая факторгруппа мощной p -группы является мощной.
Звание Прюфера $G$ равно минимальному числу образующих $G.$

Некоторые менее абелевы свойства: если $G$ является мощной p -группой, тогда:

$G^{p^{k}}$ мощный.
Подгруппы $G$ не обязательно мощные.

Ссылки [ править ]

Лазар, Мишель (1965), P-адические аналитические группы, Publ. Математика. IHÉS 26 (1965), 389–603.
Диксон, доктор медицинских наук; дю Сотуа, MPF ; Манн, А.; Сигал, Д. (1991), Аналитические про-p-группы , Cambridge University Press , ISBN 0-521-39580-1 , МР 1152800
Хухро, Э.И. (1998), p-автоморфизмы конечных p-групп , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511526008 , ISBN 0-521-59717-Х , МР 1615819
Лидхэм-Грин, Чехия ; Маккей, Сьюзен (2002), Структура групп простого степенного порядка , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, том. 27, Издательство Оксфордского университета , ISBN 978-0-19-853548-5 , г-н 1918951
Любоцкий, Александр ; Манн, Авиноам (1987), «Мощные p-группы. I. Конечные группы», J. Algebra , 105 (2): 484–505, doi : 10.1016/0021-8693(87)90211-0 , MR 0873681
Воган-Ли, Майкл (1993), Ограниченная проблема Бернсайда (2-е изд.), Oxford University Press , ISBN 0-19-853786-7 , МР 1364414