подчастное
В математических областях теории категорий абстрактной алгебры подфактор и является объектом подобъекта фактор - . Подчастные особенно важны в абелевых категориях и в теории групп , где они также известны как секции , хотя это противоречит другому значению в теории категорий.
Итак, в алгебраической структуре групп является подчастным если существует подгруппа из и нормальная подгруппа из так что изоморфен .
В литературе о спорадических группах встречаются такие формулировки, как « участвует в “ [1] можно найти с очевидным значением „ является подчастным “.
Как и в контексте подгрупп, в контексте подчастных термин тривиальный может использоваться для двух подчастных. и которые присутствуют в каждой группе . [ нужна ссылка ]
Фактор подпредставления представления (скажем, группы) можно назвать подчастным представлением; е. например, теорема Хариш-Чандры о субчастном. [2]
Пример
[ редактировать ]Существуют подфакторы групп, которые не являются ни подгруппой, ни ее фактором. Например, согласно статье «Спорадическая группа» , Fi 22 имеет двойное покрытие, которое является подгруппой Fi 23 , поэтому является подгруппой Fi 23, но не является ее подгруппой или фактором.
Отношение порядка
[ редактировать ]отношения Подчастное является отношением порядка , которое будет обозначаться через . Это будет доказано для групп.
- Обозначения
- Для группы , подгруппа из и нормальная подгруппа из факторгруппа является подчастным , я. И. .
- Рефлексивность : , я. е. каждый элемент связан сам с собой. Действительно, изоморфен подфактору из .
- Антисимметрия : если и затем , я. е. никакие два отдельных элемента не предшествуют друг другу. Действительно, сравнение групповых порядков и затем дает откуда .
- Транзитивность : если и затем .
Доказательство транзитивности групп.
[ редактировать ]Позволять быть частью , более того быть частью и — канонический гомоморфизм . Потом все вертикально( ) карты
сюръективны для соответствующих пар
Прообразы и обе подгруппы содержащий и это и потому что каждый имеет прообраз с Более того, подгруппа это нормально в
Как следствие, подчастное из является подчастным в форме
Отношение к кардинальному порядку
[ редактировать ]В конструктивной теории множеств , где закон исключенного третьего не обязательно выполняется, можно рассматривать отношение подчастное как замену обычного отношения (ий) порядка на кардиналах . Если действует закон исключенного третьего, то подчастное из либо пустое множество , либо существует функция on . Это отношение порядка традиционно обозначается Если дополнительно выполняется аксиома выбора , то имеет функцию «один к одному» для и это отношение порядка является обычным о соответствующих кардиналах.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Грисс, Роберт Л. (1982), «Дружественный гигант» , Inventiones Mathematicae , 69 : 1-102, Bibcode : 1982InMat..69....1G , doi : 10.1007/BF01389186 , hdl : 2027.42/46608 , S2CID 12359715 0
- ^ Диксмье, Жак (1996) [1974], Обертывающие алгебры , Аспирантура по математике , том. 11, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-0560-2 , МР 0498740 с. 310