Бинарная циклическая группа

В математике бинарная циклическая группа угольника n- — это циклическая группа порядка 2 n , $C_{2n}$, рассматриваемый как расширение циклической группы $C_{n}$ порядка циклической группой 2. Коксетер записывает бинарную циклическую группу с угловыми скобками ⟨ n ⟩ и подгруппу индекса 2 как ( n ) или [ n ] ⁺ .

Это бинарная группа полиэдра, соответствующая циклической группе.

В терминах бинарных групп многогранников бинарная циклическая группа является прообразом циклической группы вращений ( $C_{n}<\operatorname {SO} (3)$ 2:1 ) при накрывающем гомоморфизме

$\operatorname {Spin} (3)\to \operatorname {SO} (3)\,$

специальной ортогональной группы спиновой группой .

Как подгруппа спиновой группы, бинарная циклическая группа может быть конкретно описана как дискретная подгруппа единичных кватернионов при изоморфизме $\operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)$ где Sp(1) — мультипликативная группа единичных кватернионов. (Описание этого гомоморфизма см. в статье о кватернионах и пространственных вращениях .)

Презентация

Бинарную циклическую группу можно определить как совокупность $2n$^й корни из единицы, то есть множество $\left\{\omega _{n}^{k}\;|\;k\in \{0,1,2,...,2n-1\}\right\}$, где

$\omega _{n}=e^{i\pi /n}=\cos {\frac {\pi }{n}}+i\sin {\frac {\pi }{n}},$

используя умножение в качестве групповой операции.

См. также

• группа бинарного диэдра , ⟨2,2, n ⟩, порядка 4 n
• бинарная тетраэдрическая группа , ⟨2,3,3⟩, порядок 24
• бинарная октаэдрическая группа , ⟨2,3,4⟩, порядок 48
• бинарная группа икосаэдра , ⟨2,3,5⟩, порядок 120