Распределительное свойство

«Дистрибутивность» перенаправляется сюда. Не путать с дистрибутивизмом .

Распределительное свойство

Визуализация закона распределения положительных чисел
Тип	Закон , правило замены
Поле	Элементарная алгебра Булева алгебра Абстрактная алгебра Теория множеств Пропозициональное исчисление
Символическое заявление	Элементарная алгебра $$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$$ Пропозициональное исчисление: $(P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))$ $(P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))$

В математике распределительное свойство бинарных операций является обобщением дистрибутивного закона , утверждающего равенство

$$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$$

всегда верно в элементарной алгебре . Например, в элементарной арифметике есть

$$2\cdot (1+3)=(2\cdot 1)+(2\cdot 3).$$

Поэтому можно было бы сказать, что умножение распределяется над сложением .

Это базовое свойство чисел является частью определения большинства алгебраических структур , в которых есть две операции, называемые сложением и умножением, таких как комплексные числа , многочлены , матрицы , кольца и поля . Встречается также в булевой алгебре и математической логике , где каждый из логических и (обозначаемых $\,\land \,$) и логическое или (обозначается $\,\lor \,$) распределяется по другому.

Определение

Учитывая набор $S$ и два бинарных оператора $\,*\,$ и $\,+\,$ на $S,$

• операция $\,*\,$ является левораспределительным по (или относительно) $\,+\,$ если по каким-либо элементам $x,y,{\text{ and }}z$ из $S,$

$$x*(y+z)=(x*y)+(x*z);$$

• операция $\,*\,$ является правораспределительным по $\,+\,$ если по каким-либо элементам $x,y,{\text{ and }}z$ из $S,$

$$(y+z)*x=(y*x)+(z*x);$$

• и операция $\,*\,$ является распределительным по $\,+\,$ если оно лево- и правораспределительное.

Когда $\,*\,$ является коммутативным , то три приведенных выше условия логически эквивалентны .

Значение

В примерах этого раздела используются операторы обычного сложения . $\,+\,$ и умножение $\,\cdot .\,$

Если операция, обозначенная $\cdot$ не коммутативен, существует различие между левой и правой дистрибутивностью:

$$a\cdot \left(b\pm c\right)=a\cdot b\pm a\cdot c\qquad {\text{ (left-distributive) }}$$

$$(a\pm b)\cdot c=a\cdot c\pm b\cdot c\qquad {\text{ (right-distributive) }}.$$

В любом случае распределительное свойство можно описать словами как:

Чтобы умножить сумму (или разницу ) на коэффициент, каждое слагаемое (или уменьшаемое и вычитаемое ) умножается на этот коэффициент, а полученные продукты складываются (или вычитаются).

Если операция вне круглых скобок (в данном случае умножение) коммутативна, то левая дистрибутивность влечет за собой правую дистрибутивность и наоборот, и говорят просто о дистрибутивности .

Одним из примеров операции, которая является «только» правораспределительной, является деление, которое не является коммутативным:

$$(a\pm b)\div c=a\div c\pm b\div c.$$

В этом случае левая дистрибутивность не применяется:

$$a\div (b\pm c)\neq a\div b\pm a\div c$$

Дистрибутивные законы входят в число аксиом колец (например, кольца целых чисел ) и полей (например, поля рациональных чисел ). Здесь умножение распределительно по отношению к сложению, но сложение не является распределительным по отношению к умножению. Примерами структур с двумя операциями, каждая из которых является дистрибутивной по отношению к другой, являются булевы алгебры, такие как алгебра множеств или алгебра переключения .

Умножение сумм можно выразить словами следующим образом: когда сумма умножается на сумму, умножьте каждое слагаемое суммы на каждое слагаемое другой суммы (следя за знаками), а затем сложите все полученные произведения.

Примеры

Действительные числа

В следующих примерах использование закона распределения на множестве действительных чисел $\mathbb {R}$иллюстрируется. Когда в элементарной математике упоминается умножение, обычно имеется в виду именно этот вид умножения. С точки зрения алгебры действительные числа образуют поле , обеспечивающее справедливость закона распределения.

Первый пример (мысленное и письменное умножение)

При ментальной арифметике распределительность часто используется неосознанно:

$$6\cdot 16=6\cdot (10+6)=6\cdot 10+6\cdot 6=60+36=96$$

Таким образом, чтобы вычислить $6\cdot 16$ в голове сначала умножаешь $6\cdot 10$ и $6\cdot 6$и добавляем промежуточные результаты. Письменное умножение также основано на распределительном законе.

Второй пример (с переменными)

$$3a^{2}b\cdot (4a-5b)=3a^{2}b\cdot 4a-3a^{2}b\cdot 5b=12a^{3}b-15a^{2}b^{2}$$

Третий пример (с двумя суммами)

$${\begin{aligned}(a+b)\cdot (a-b)&=a\cdot (a-b)+b\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\&=(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\\end{aligned}}$$

Здесь распределительный закон был применен дважды, и не имеет значения, какая скобка умножается первой.

Четвертый пример

Здесь распределительный закон применяется наоборот по сравнению с предыдущими примерами. Учитывать

$$12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}\,.$$

Поскольку фактор $6a^{2}b$встречается во всех слагаемых, его можно исключить. То есть в силу распределительного закона получаем

$$12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}=6a^{2}b\left(2ab-5a^{2}c+3b^{2}c^{2}\right).$$

Матрицы

Дистрибутивный закон справедлив и для умножения матриц . Точнее,

$$(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$$

для всех $l\times m$-матрицы $A,B$ и $m\times n$-матрицы $C,$ а также

$$A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$$

для всех $l\times m$-матрицы $A$ и $m\times n$-матрицы $B,C.$Поскольку свойство коммутативности не выполняется для умножения матриц, второй закон не следует из первого закона. В данном случае это два разных закона.

Другие примеры

• Умножение порядковых чисел , напротив, является только левораспределительным, а не правораспределительным.
• Перекрестное произведение является лево- и правораспределительным по векторному сложению , хотя и не коммутативно.
• Объединение множеств дистрибутивно по пересечению , а пересечение дистрибутивно по объединению.
• Логическая дизъюнкция («или») дистрибутивна по отношению к логическому союзу («и»), и наоборот.
• Для действительных чисел (и для любого полностью упорядоченного множества ) максимальная операция является дистрибутивной по отношению к минимальной операции, и наоборот:
  $$\max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c))\quad {\text{ and }}\quad \min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c)).$$
• Для целых чисел наибольший общий делитель является распределительным по наименьшему общему кратному , и наоборот:
  $$\gcd(a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\gcd(a,b),\gcd(a,c))\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {lcm} (a,\gcd(b,c))=\gcd(\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (a,c)).$$
• Для действительных чисел сложение распределяется по максимальной операции, а также по минимальной операции:
  $$a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c)\quad {\text{ and }}\quad a+\min(b,c)=\min(a+b,a+c).$$
• Для биномиального умножения распределение иногда называют методом FOIL. (Первые сроки $ac,$ Внешний $ad,$ Внутренний $bc,$ и последний $bd$) такой как: $(a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd.$
• Во всех полукольцах , включая комплексные числа , кватернионы , полиномы и матрицы , умножение распределяется над сложением: $u(v+w)=uv+uw,(u+v)w=uw+vw.$
• Во всех алгебрах над полем , включая октонионы и другие неассоциативные алгебры , умножение распределяется по сложению.

Пропозициональная логика

Правило замены

В стандартной логике высказываний с функциональной истинностью распределение в логических доказательствах использует два действительных правила замены для расширения отдельных вхождений определенных логических связок внутри некоторой формулы в отдельные применения этих связок в подформулах данной формулы. Правила

$$(P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))\qquad {\text{ and }}\qquad (P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))$$

где " $\Leftrightarrow$", также написано $\,\equiv ,\,$ металогический , символ обозначающий «может быть заменен в доказательстве на» или « логически эквивалентен ».

Истинные функциональные связки

Дистрибутивность — это свойство некоторых логических связок истинностно-функциональной логики высказываний . Следующие логические эквивалентности демонстрируют, что дистрибутивность является свойством определенных связок. Ниже приведены истиннофункциональные тавтологии .

$${\begin{alignedat}{13}&(P&&\;\land &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\lor (P\land R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ conjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ disjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\land (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\land &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\land (P\land R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ conjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\lor (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ disjunction }}\\&(P&&\to &&(Q\to R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\to (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ }}&&{\text{ }}\\&(P&&\to &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\leftrightarrow (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ over }}&&{\text{ equivalence }}\\&(P&&\to &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\;\land (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\leftrightarrow (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ equivalence }}\\\end{alignedat}}$$

Двойное распределение

$${\begin{alignedat}{13}&((P\land Q)&&\;\lor (R\land S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\lor R)\land (P\lor S))&&\;\land ((Q\lor R)\land (Q\lor S)))&&\\&((P\lor Q)&&\;\land (R\lor S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\land R)\lor (P\land S))&&\;\lor ((Q\land R)\lor (Q\land S)))&&\\\end{alignedat}}$$

Распределение и округление

В приближенной арифметике, такой как арифметика с плавающей запятой , распределительное свойство умножения (и деления) над сложением может не работать из-за ограничений арифметической точности . Например, личность $1/3+1/3+1/3=(1+1+1)/3$не работает в десятичной арифметике , независимо от количества значащих цифр . В некоторых случаях могут помочь такие методы, как банковское округление , а также повышение используемой точности, но в конечном итоге некоторые ошибки в расчетах неизбежны.

В кольцах и других конструкциях

Дистрибутивность чаще всего встречается в полукольцах , особенно в частных случаях колец и дистрибутивных решеток .

Полукольцо имеет две бинарные операции, обычно обозначаемые $\,+\,$ и $\,*,$ и требует, чтобы $\,*\,$ должен распределить по $\,+.$

Кольцо — это полукольцо с аддитивными обратными.

Решетка — это еще один вид алгебраической структуры с двумя бинарными операциями: $\,\land {\text{ and }}\lor .$ Если одна из этих операций распределяется поверх другой (скажем, $\,\land \,$ распределяет по $\,\lor$), то справедливо и обратное ( $\,\lor \,$ распределяет по $\,\land \,$), а решетка называется дистрибутивной. См. также Дистрибутивность (теория порядка) .

Булеву алгебру можно интерпретировать либо как особый вид кольца ( булева кольцо ), либо как особый вид дистрибутивной решетки ( булева решетка ). Каждая интерпретация отвечает за разные законы распределения в булевой алгебре.

Подобные структуры без законов распределения представляют собой околокольца и околополя вместо колец и тел . Операции обычно определяются как распределительные справа, а не слева.

Обобщения

В нескольких математических областях рассматриваются обобщенные законы дистрибутивности. Это может включать ослабление вышеуказанных условий или распространение на бесконечные операции. Особенно в теории порядка можно найти множество важных вариантов дистрибутивности, некоторые из которых включают бесконечные операции, такие как бесконечный закон распределения ; другие определяются при наличии только одной бинарной операции, например, соответствующие определения и их отношения приведены в статье дистрибутивность (теория порядка) . Сюда также входит понятие полностью дистрибутивной решетки .

При наличии отношения порядка можно также ослабить приведенные выше равенства, заменив $\,=\,$ либо $\,\leq \,$ или $\,\geq .$Естественно, это приведет к значимым концепциям только в некоторых ситуациях. Применением этого принципа является понятие субдистрибутивности , объясненное в статье об интервальной арифметике .

В теории категорий , если $(S,\mu ,\nu )$ и $\left(S^{\prime },\mu ^{\prime },\nu ^{\prime }\right)$ являются монадами в категории $C,$ распределительный закон $S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S$ это естественная трансформация $\lambda :S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S$ такой, что $\left(S^{\prime },\lambda \right)$ это нестрогая карта монад $S\to S$ и $(S,\lambda )$ это колакс-карта монад $S^{\prime }\to S^{\prime }.$ Это именно те данные, которые необходимы для определения монадной структуры на $S^{\prime }.S$: карта умножения $S^{\prime }\mu .\mu ^{\prime }S^{2}.S^{\prime }\lambda S$ и карта единиц $\eta ^{\prime }S.\eta .$ См.: Закон распределения между монадами .

Обобщенный распределительный закон был также предложен в области теории информации .

Антидистрибутивность

Вездесущий тождество , которое связывает обратную бинарную операцию в любой группе , а именно $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1},$ которое принимается как аксиома в более общем контексте полугруппы с инволюцией , иногда называют антидистрибутивным свойством (инверсии как унарной операции ).

В контексте околокольца , которое устраняет коммутативность аддитивно записанной группы и предполагает только одностороннюю дистрибутивность, можно говорить о (двусторонних) дистрибутивных элементах , но также и об антидистрибутивных элементах . Последние меняют порядок (некоммутативного) сложения; предполагая приближение слева (т. е. тот, который все элементы распределяют при умножении слева), тогда антираспределительный элемент $a$ меняет порядок сложения при умножении вправо: $(x+y)a=ya+xa.$

При изучении логики высказываний и булевой алгебры термин антидистрибутивный закон иногда используется для обозначения взаимообмена между соединением и дизъюнкцией, когда импликация влияет на них:

$$(a\lor b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\land (b\Rightarrow c)$$

$$(a\land b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\lor (b\Rightarrow c).$$

Эти две тавтологии являются прямым следствием двойственности законов Де Моргана .

Внешние ссылки

• Демонстрация закона распределения для целочисленной арифметики (из «разрубить узел» )