Полностью распределительная решетка

В математической области теории порядка — полностью дистрибутивная решетка это полная решетка , в которой произвольные соединения распределяются по произвольным узлам .

Формально полная решетка L называется вполне дистрибутивной , если для любого дважды индексированного семейства { Икс _{j , k} | j в J , k в K _j } из L , мы имеем

$\bigwedge _{j\in J}\bigvee _{k\in K_{j}}x_{j,k}=\bigvee _{f\in F}\bigwedge _{j\in J}x_{j,f(j)}$

где F — набор функций выбора f, выбирающих для каждого индекса j из J некоторый индекс f ( j ) в K _j .

Полная дистрибутивность является самодвойственным свойством, т.е. дуализация приведенного выше утверждения дает тот же класс полных решеток.

Альтернативные характеристики

Существуют различные характеристики. Например, следующий эквивалентный закон позволяет избежать использования функций выбора. . Для любого множества S множеств определим множество S ^# быть множеством всех подмножеств X полной решетки, которые имеют непустое пересечение со всеми членами S . Затем мы можем определить полную дистрибутивность с помощью утверждения

${\begin{aligned}\bigwedge \{\bigvee Y\mid Y\in S\}=\bigvee \{\bigwedge Z\mid Z\in S^{\#}\}\end{aligned}}$

Оператор ( ) ^# можно назвать оператором пересечения . Эта версия полной дистрибутивности подразумевает исходное понятие только при признании аксиомы выбора .

Характеристики

Кроме того, известно, что следующие утверждения эквивалентны для любой полной решетки L :

• L полностью дистрибутивен.
• L можно вложить в прямое произведение цепей [0,1] с помощью порядкового вложения , сохраняющего произвольные пересечения и соединения.
• И L , и его двойственный порядок L ^на являются непрерывными частично упорядоченными множествами .

Прямые произведения [0,1], т.е. множества всех функций из некоторого множества X до [0,1], упорядоченные поточечно , также называются кубами .

Свободные полностью распределительные решетки

Каждое ЧУМ C можно пополнить полностью дистрибутивной решеткой.

Вполне дистрибутивная решетка L называется свободной вполне дистрибутивной решеткой над чу-множеством C тогда и только тогда, когда существует порядковое вложение $\phi :C\rightarrow L$ такая, что для любой вполне дистрибутивной решетки M и монотонной функции $f:C\rightarrow M$, существует единственный полный гомоморфизм $f_{\phi }^{*}:L\rightarrow M$ удовлетворяющий $f=f_{\phi }^{*}\circ \phi$. Для каждого ч.у.м. C свободная вполне дистрибутивная решетка над ч.у.м. C существует и единственна с точностью до изоморфизма.

Это пример концепции свободного объекта . Поскольку множество X можно рассматривать как частично упорядоченное множество с дискретным порядком, приведенный выше результат гарантирует существование свободной вполне дистрибутивной решетки над множеством X .

Примеры

• Единичный интервал [0,1], упорядоченный естественным образом, представляет собой вполне дистрибутивную решетку.
  • В более общем смысле любая полная цепь представляет собой полностью дистрибутивную решетку.
• силового набора Решетка $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$ для любого множества X является вполне дистрибутивной решеткой.
• Для каждого чу-множества C существует свободная вполне дистрибутивная решетка над C. См. раздел « Свободные полностью распределительные решетки» выше.

См. также

• Глоссарий теории порядка
• Распределительная решетка