Непрерывный посет

В теории порядка непрерывное ЧУМ — это частично упорядоченное множество , в котором каждый элемент является направленной супремумом аппроксимирующих его элементов.

Определения

Позволять $a,b\in P$ быть двумя элементами предупорядоченного набора $(P,\lesssim )$ . Тогда мы говорим, что $a$ приближает $b$ , или это $a$ намного ниже $b$ , если выполняются следующие два эквивалентных условия.

Для любого направленного множества $D\subseteq P$ такой, что $b\lesssim \sup D$ , есть $d\in D$ такой, что $a\lesssim d$ .
Для любого идеала $I\subseteq P$ такой, что $b\lesssim \sup I$ , $a\in I$ .

Если $a$ приближает $b$ , мы пишем $a\ll b$ . Аппроксимационное соотношение $\ll$ - транзитивное отношение , более слабое, чем исходный порядок, а также антисимметричное , если $P$ представляет собой частично упорядоченный набор , но не обязательно предварительный порядок . Это предзаказ тогда и только тогда, когда $(P,\lesssim )$ удовлетворяет условию возрастающей цепи . ^[1]^{: стр.52, Примеры I-1.3, (4)}

Для любого $a\in P$ , позволять

\mathop {\Uparrow } a=\{b\in L\mid a\ll b\}

\mathop {\Downarrow } a=\{b\in L\mid b\ll a\}

Затем $\mathop {\Uparrow } a$ является верхним множеством , и $\mathop {\Downarrow } a$ нижний комплект . Если $P$ представляет собой верхнюю полурешетку , $\mathop {\Downarrow } a$ является направленным множеством (т.е. $b,c\ll a$ подразумевает $b\vee c\ll a$ ), и, следовательно, идеал .

набор Предзаказанный $(P,\lesssim )$ называется непрерывным предупорядоченным множеством, если для любого $a\in P$ , подмножество $\mathop {\Downarrow } a$ направляется и $a=\sup \mathop {\Downarrow } a$ .

Характеристики

Свойство интерполяции

Для любых двух элементов $a,b\in P$ непрерывного предупорядоченного множества $(P,\lesssim )$ , $a\ll b$ тогда и только тогда, когда для любого направленного множества $D\subseteq P$ такой, что $b\lesssim \sup D$ , есть $d\in D$ такой, что $a\ll d$ . Отсюда следует интерполяционное свойство непрерывного предупорядоченного множества $(P,\lesssim )$ : для любого $a,b\in P$ такой, что $a\ll b$ есть $c\in P$ такой, что $a\ll c\ll b$ .

Непрерывный dcpos

Для любых двух элементов $a,b\in P$ непрерывного dcpo $(P,\leq )$ , следующие два условия эквивалентны. ^[1]^{: стр.61, Предложение I-1.19(i)}

$a\ll b$ и $a\neq b$ .
Для любого направленного множества $D\subseteq P$ такой, что $b\leq \sup D$ , есть $d\in D$ такой, что $a\ll d$ и $a\neq d$ .

Используя это, можно показать, что следующее более сильное свойство интерполяции справедливо для непрерывного dcpos. Для любого $a,b\in P$ такой, что $a\ll b$ и $a\neq b$ , есть $c\in P$ такой, что $a\ll c\ll b$ и $a\neq c$ . ^[1]^{: стр.61, Предложение I-1.19(ii)}

Для dcpo $(P,\leq )$ , следующие условия эквивалентны. ^[1]^{: Теорема I-1.10}

$P$ является непрерывным.
Карта супремума $\sup \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P$ из упорядоченного идеалов набора частично $P$ к $P$ имеет левый сопряженный .

В этом случае фактический левый сопряженный равен

{\Downarrow }\colon P\to \operatorname {Ideal} (P)

{\mathord {\Downarrow }}\dashv \sup

Непрерывные комплектные решетки

Для любых двух элементов $a,b\in L$ полной решетки $L$ , $a\ll b$ тогда и только тогда, когда для любого подмножества $A\subseteq L$ такой, что $b\leq \sup A$ , существует конечное подмножество $F\subseteq A$ такой, что $a\leq \sup F$ .

Позволять $L$ быть полной решеткой . Тогда следующие условия эквивалентны.

$L$ является непрерывным.
Карта супремума $\sup \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L$ из полной идеалов решетки $L$ к $L$ сохраняет произвольную инфу .
Для любой семьи ${\mathcal {D}}$ наборов направленных $L$ , $\textstyle \inf _{D\in {\mathcal {D}}}\sup D=\sup _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\inf _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)$ .
$L$ изоморфен непрерывного образу по отображения Скотту идемпотентного $r\colon \{0,1\}^{\kappa }\to \{0,1\}^{\kappa }$ о прямой степени произвольного числа двухточечных решеток $\{0,1\}$ . ^[2]^{: с.56, Теорема 44}

Непрерывную полную решетку часто называют непрерывной решеткой .

Примеры

Решетки открытых множеств

Для топологического пространства $X$ , следующие условия эквивалентны.

Полная алгебра Гейтинга $\operatorname {Open} (X)$ открытых наборов $X$ — непрерывная полная алгебра Гейтинга .
Трезвость $X$ является локально компактным пространством (в том смысле, что каждая точка имеет компактную локальную базу )
$X$ является экспоненциальным объектом в категории $\operatorname {Top}$ пространств топологических . ^[1]^{: стр.196, Теорема II-4.12.} то есть функтор $(-)\times X\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Top}$ имеет право сопряженное .

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Гирц, Герхард; Хофманн, Карл; Каймель, Клаус; Лоусон, Джимми; Мислов, Майкл; Скотт, Дана С. (2003). Непрерывные решетки и области . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 93. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511542725 . ISBN 978-0-521-80338-0 . МР 1975381 . Збл 1088.06001 .
^ Гретцер, Джордж (2011). Теория решеток: Основание . Базель: Спрингер. дои : 10.1007/978-3-0348-0018-1 . ISBN 978-3-0348-0017-4 . LCCN 2011921250 . МР 2768581 . Збл 1233.06001 .

Внешние ссылки

[Gierz-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Гирц, Герхард; Хофманн, Карл; Каймель, Клаус; Лоусон, Джимми; Мислов, Майкл; Скотт, Дана С. (2003). Непрерывные решетки и области . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 93. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511542725 . ISBN 978-0-521-80338-0 . МР 1975381 . Збл 1088.06001 .

[Grätzer-2] Гретцер, Джордж (2011). Теория решеток: Основание . Базель: Спрингер. дои : 10.1007/978-3-0348-0018-1 . ISBN 978-3-0348-0017-4 . LCCN 2011921250 . МР 2768581 . Збл 1233.06001 .

[1]

[2]