Набор (математика)
В математике множество – это совокупность различных [1] вещи; [2] [3] [4] эти вещи называются элементами или членами множества и обычно представляют собой математические объекты любого типа: числа, символы, точки в пространстве, линии, другие геометрические фигуры, переменные или даже другие множества. [5] Множество может иметь конечное число элементов или быть бесконечным . Существует уникальный набор без элементов, называемый пустым набором ; набор с одним элементом является синглтоном .
Наборы уникально характеризуются своими элементами; это означает, что два множества, состоящие из одних и тех же элементов, равны (это один и тот же набор). [6] Это свойство называется экстенсиональностью . В частности, это означает, что существует только одно пустое множество.
Множества широко распространены в современной математике. Действительно, теория множеств , а точнее теория множеств Цермело-Френкеля , была стандартным способом обеспечения строгих основ для всех областей математики с первой половины 20-го века. [5]
Определение и обозначения
[ редактировать ]В математических текстах множества обычно обозначаются заглавными буквами. [7] [5] курсивом например A , B , C. , [8] Набор также можно называть коллекцией или семейством , особенно если его элементы сами являются наборами.
Обозначение реестра
[ редактировать ]Нотация реестра или перечисления определяет набор путем перечисления его элементов в фигурных скобках , разделенных запятыми: [9] [10] [11] [12]
Это обозначение было введено Эрнстом Цермело в 1908 году. [13] В наборе все, что имеет значение, это то, находится ли в нем каждый элемент или нет, поэтому порядок элементов в записи списка не имеет значения (напротив, в последовательности , кортеже или перестановке набора порядок элементов в наборе не имеет значения). условия имеют значение). Например, {2, 4, 6} и {4, 6, 4, 2} представляют один и тот же набор. [14] [8] [15]
Для наборов со многими элементами, особенно тех, которые следуют неявному шаблону, список членов можно сократить с помощью многоточия ' ... ' . [16] [17] Например, набор из первой тысячи положительных целых чисел может быть указан в записи реестра как
Бесконечные множества в реестровых обозначениях
[ редактировать ]Бесконечное множество — это множество с бесконечным списком элементов. Чтобы описать бесконечное множество в записи списка, в конце списка или на обоих концах ставится многоточие, чтобы указать, что список продолжается вечно. Например, набор неотрицательных целых чисел равен
и набор всех целых чисел равен
Семантическое определение
[ редактировать ]Другой способ определить набор — использовать правило для определения элементов:
Такое определение называется семантическим описанием . [18] [19]
Обозначение построителя множеств
[ редактировать ]Обозначение построителя множеств определяет набор как выборку из большего набора, определяемого условием элементов. [19] [20] [21] Например, набор F можно определить следующим образом:
В этом обозначении вертикальная черта "|" означает «такой, что», а описание можно интерпретировать как « F — множество всех чисел n таких, что n — целое число в диапазоне от 0 до 19 включительно». используют двоеточие «:». Некоторые авторы вместо вертикальной черты [22]
Классификация методов определения
[ редактировать ]Философия использует конкретные термины для классификации типов определений:
- Интенсиональное определение использует правило для определения членства. Примерами являются семантические определения и определения, использующие нотацию построителя множеств.
- Экстенсиональное определение описывает множество, перечисляя все его элементы . [19] Такие определения еще называют перечислительными .
- Указательное определение — это определение, которое описывает множество, приводя примеры элементов; Примером может служить список с многоточием.
Членство
[ редактировать ]Если B — множество, а x — элемент B , это сокращенно записывается как x ∈ B , что также можно прочитать как « x принадлежит B » или « x находится в B ». [23] Утверждение « y не является элементом B » записывается как y ∉ B , что также можно прочитать как « y не является элементом B ». [24] [25]
Например, относительно множеств A = {1, 2, 3, 4} , B = {blue, white, red} и F = { n | n — целое число и 0 ≤ n ≤ 19} ,
Пустой набор
[ редактировать ]Пустой набор (или нулевой набор ) — это уникальный набор, не имеющий членов. Обозначается ∅ , , { }, [26] [27] φ , [28] или φ . [29]
Наборы синглтонов
[ редактировать ]Одноэлементный набор — это набор, состоящий ровно из одного элемента; такой набор также можно назвать единичным набором . [6] Любой такой набор можно записать как { x }, где x — элемент.Набор { x } и элемент x означают разные вещи; Халмош [30] проводит аналогию с тем, что коробка со шляпой — это не то же самое, что шляпа.
Подмножества
[ редактировать ]Если каждый элемент множества A также находится в B , то A описывается как подмножество B или содержится в B , записывая A ⊆ B , [31] или Б ⊇ А. [32] Последнее обозначение может быть прочитано как B содержит A , B включает A или B является расширенным набором A . Отношения между множествами , установленные ⊆, называются включением или включением . Два множества равны, если они содержат друг друга: A ⊆ B и B ⊆ A эквивалентно A = B . [20]
Если A является подмножеством B , но не равно B , то A называется подмножеством B. собственным A Это можно записать A ⊊ B . Аналогично, B ⊋ A означает, что является собственным надмножеством A , т. е. B содержит A и не равно A. B
Третья пара операторов ⊂ и ⊃ используется разными авторами по-разному: некоторые авторы используют A ⊂ B и B ⊃ A, подразумевая, что A является любым подмножеством B (и не обязательно собственным подмножеством), [33] [24] в то время как другие резервируют A ⊂ B и B ⊃ A для случаев, когда A является собственным подмножеством B . [31]
Примеры:
- Совокупность всех людей является подмножеством совокупности всех млекопитающих.
- {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4} .
- {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4} .
Пустое множество является подмножеством каждого множества, [26] и каждое множество является подмножеством самого себя: [33]
- ∅ ⊆ А .
- А ⊆ А.
Диаграммы Эйлера и Венна
[ редактировать ]Диаграмма Эйлера — это графическое представление набора множеств; каждый набор изображается как плоская область, заключенная в петлю, с элементами внутри. Если A является подмножеством B , то область, представляющая , полностью находится внутри области, представляющей B. A Если два набора не имеют общих элементов, регионы не перекрываются.
Диаграмма Венна , напротив, представляет собой графическое представление n множеств, в которых n петель делят плоскость на 2 части. н зоны такие, что для каждого способа выбора некоторых из n наборов (возможно, всех или ни одного) существует зона для элементов, принадлежащих всем выбранным наборам и ни одному из других. Например, если множествами являются A , B и C , должна быть зона для элементов, находящихся внутри A и C и снаружи B (даже если такие элементы не существуют).
Специальные наборы чисел в математике
[ редактировать ]Существуют множества такой математической важности, к которым математики так часто обращаются, что они получили специальные названия и обозначения для их идентификации.
Многие из этих важных наборов представлены в математических текстах жирным шрифтом (например, ) или жирным шрифтом на доске (например, ) шрифт. [34] К ним относятся
- или , набор всех натуральных чисел : (часто авторы исключают 0 ); [34]
- или , набор всех целых чисел (положительных, отрицательных или нулевых): ; [34]
- или , набор всех рациональных чисел (то есть набор всех правильных и неправильных дробей ): . Например, — 7/4 5 ∈ Q и = 5 / 1 ∈ Q ; [34]
- или , набор всех действительных чисел , включая все рациональные числа и все иррациональные числа (в том числе алгебраические числа, такие как которые невозможно переписать в виде дробей, а также трансцендентных чисел, таких как π и e ); [34]
- или , множество всех комплексных чисел : C = { a + bi | a , b ∈ R } например, 1 + 2 i ∈ C. , [34]
Каждый из приведенных выше наборов чисел имеет бесконечное количество элементов. Каждый из них представляет собой подмножество наборов, перечисленных под ним.
Наборы положительных или отрицательных чисел иногда обозначаются надстрочными знаками плюс и минус соответственно. Например, представляет собой набор положительных рациональных чисел.
Функции
[ редактировать ]Функция — это (или отображение ) множества A в множество B правило, которое присваивает каждому «входному» элементу A «выходной элемент», который является элементом B ; более формально, функция — это особый вид отношения , которое связывает каждый элемент A с одним элементом B. ровно Функция называется
- инъективен (или взаимно однозначен), если он отображает любые два разных элемента A в разные элементы B ,
- сюръективен (или на), если для каждого элемента B существует хотя бы один элемент A , который отображается в него, и
- биективное (или взаимно однозначное соответствие), если функция одновременно инъективна и сюръективна - в этом случае каждый элемент A соединен с уникальным элементом B , а каждый элемент B соединен с уникальным элементом A , чтобы не было непарных элементов.
Инъективная функция называется инъекцией , сюръективная функция называется сюръекцией , а биективная функция называется биекцией или взаимно однозначным соответствием .
Мощность
[ редактировать ]Мощность множества S , обозначаемая | С | , число членов S . [35] Например, если B = {синий, белый, красный} , то | Б | = 3 . Повторные участники в записи реестра не учитываются, [36] [37] так | {синий, белый, красный, синий, белый} | = 3 тоже.
Более формально, два множества имеют одинаковую мощность, если между ними существует биекция.
Мощность пустого множества равна нулю. [38]
Бесконечные множества и бесконечная мощность
[ редактировать ]Список элементов некоторых множеств бесконечен или бесконечен . Например, набор натуральных чисел бесконечно. [20] Фактически, все специальные наборы чисел, упомянутые в разделе выше, бесконечны. Бесконечные множества имеют бесконечную мощность .
Некоторые бесконечные мощности больше других. Возможно, один из наиболее важных результатов теории множеств заключается в том, что набор действительных чисел имеет большую мощность, чем набор натуральных чисел. [39] Наборы с мощностью меньше или равной называются счетными множествами ; это либо конечные множества, либо счетно бесконечные множества (множества той же мощности, что и ); некоторые авторы используют слово «счетный» для обозначения «счетной бесконечности». Множества с мощностью строго большей, чем у называются несчетными множествами .
Однако можно показать, что мощность прямой линии (т. е. количество точек на прямой) такая же, как мощность любого отрезка этой линии, всей плоскости и даже любого конечномерного евклидова космос . [40]
Гипотеза континуума
[ редактировать ]Гипотеза континуума, сформулированная Георгом Кантором в 1878 году, представляет собой утверждение о том, что не существует множества с мощностью строго между мощностью натуральных чисел и мощностью прямой линии. [41] В 1963 году Пол Коэн доказал, что гипотеза континуума не зависит от системы аксиом ZFC, состоящей из теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора . [42] (ZFC — наиболее широко изученная версия аксиоматической теории множеств.)
Силовые наборы
[ редактировать ]Набор мощности набора S - это набор всех подмножеств S . [20] Пустое множество и само S являются элементами набора мощности S , поскольку оба они являются S. подмножествами Например, набор степеней {1, 2, 3} равен {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1 , 2, 3}} . Набор мощности набора S обычно записывается как P ( S ) или 2. С . [20] [43] [8]
Если S имеет n элементов, то P ( S ) имеет 2 н элементы. [44] Например, {1, 2, 3} состоит из трех элементов, а его набор мощности имеет 2 элемента. 3 = 8 элементов, как показано выше.
Если S бесконечно (неважно, счетно или несчетно ), то P ( S ) несчетно. Более того, набор степеней всегда строго «больше», чем исходный набор, в том смысле, что любая попытка объединить элементы S с элементами P ( S ) оставит некоторые элементы P ( S ) неспаренными. не существует биекции S P на S ( ( Никогда ) .) [45]
Перегородки
[ редактировать ]Раздел множества S — это набор непустых подмножеств S , такой, что каждый элемент x в S находится ровно в одном из этих подмножеств. То есть подмножества попарно не пересекаются (это означает, что любые два множества раздела не содержат общих элементов), а объединение всех подмножеств раздела равно S . [46] [47]
Основные операции
[ редактировать ]Предположим, что универсальное множество U (множество, содержащее все обсуждаемые элементы) фиксировано и что A является подмножеством U .
- Дополнением A не , является множество всех элементов U которые принадлежат A. ) ( Его можно обозначить А с или А ' . В обозначениях построителя множеств, . Дополнение также можно назвать абсолютным дополнением, чтобы отличить его от относительного дополнения, приведенного ниже. Пример: Если универсальный набор считается набором целых чисел, то дополнением набора четных целых чисел является набор нечетных целых чисел.
Учитывая любые два множества A и B ,
- их объединение A ∪ B представляет собой множество всех вещей, которые являются членами A или B, или того и другого.
- их пересечение A ∩ B представляет собой множество всех вещей, которые являются членами как A , так и B . Если A ∩ B = ∅ , то A и B называются непересекающимися .
- разность множеств A \ B (также обозначаемая как A − B ) — это набор всех вещей, которые принадлежат A , но не принадлежат B . Особенно когда B подмножеством A , его также называют дополнением B A. в является относительным С Б с как абсолютное дополнение к B (в универсальном множестве U ), A \ B = A ∩ B с .
- их симметричная разность A Δ B представляет собой совокупность всех вещей, принадлежащих A или B , но не обоим одновременно. У одного есть .
- их декартово произведение A × B — это набор всех упорядоченных пар ( a , b ) таких, что — элемент A , а b — элемент B. a
Примеры:
- {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5 }.
- {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3 }.
- {1, 2, 3} − {3, 4, 5} = {1, 2 }.
- {1, 2, 3} D {3, 4, 5} = {1, 2, 4, 5 }.
- { а , б } × {1, 2, 3} = {( а ,1), ( а ,2), ( а ,3), ( б ,1), ( б ,2), ( б ,3) }.
Вышеописанные операции удовлетворяют многим тождествам. Например, один из законов Де Моргана гласит, что ( A ∪ B )′ = A ′ ∩ B ′ (то есть элементы вне объединения A и B — это элементы, находящиеся вне A и вне B ).
Мощность A × B является произведением мощностей A и B .(Это элементарный факт, когда A и B конечны. Когда одно или оба бесконечны, для того чтобы это было верным, определено умножение кардинальных чисел.)
Набор степеней любого набора становится булевым кольцом с симметричной разницей как сложение кольца и пересечением как умножение кольца.
Приложения
[ редактировать ]Множества широко распространены в современной математике. Например, структуры в абстрактной алгебре , такие как группы , поля и кольца , представляют собой множества, замкнутые относительно одной или нескольких операций.
Одним из основных применений наивной теории множеств является построение отношений . Отношение области A к кодомену B является подмножеством декартова произведения A × B . Например, если рассматривать набор S = {камень, бумага, ножницы} фигур игре в одноименной , то отношение «бьется» от S к S — это набор B = {(ножницы, бумага), (бумага, камень ), (камень, ножницы)} ; таким образом, побеждает y в игре, если пара ( x , y ) является членом B. x Другим примером является множество F всех пар ( x , x 2 ) , где x вещественный. Это отношение является подмножеством R × R , поскольку множество всех квадратов является подмножеством множества всех действительных чисел. Поскольку для каждого x в R одна и только одна пара ( x ,...) находится в F , она называется функцией . В функциональной записи это соотношение можно записать как F ( x ) = x 2 .
Принцип включения и исключения
[ редактировать ]Принцип включения-исключения — это метод подсчета элементов в объединении двух конечных множеств с точки зрения размеров двух множеств и их пересечения. Символически это можно выразить как
Более общая форма принципа дает мощность любого конечного объединения конечных множеств:
История
[ редактировать ]Понятие множества возникло в математике в конце XIX века. [48] Немецкое слово Menge , обозначающее множество , было придумано Бернаром Больцано в его работе «Парадоксы бесконечности» . [49] [50] [51]
Георг Кантор , один из основателей теории множеств, дал следующее определение в начале своего вклада в создание трансфинитной теории множеств : [52] [1]
Набор — это совокупность в целое определенных, различных объектов нашего восприятия или нашего мышления, которые называются элементами набора.
Бертран Рассел ввел различие между множеством и классом (множество — это класс, но некоторые классы, например класс всех множеств, не являются множествами; см. парадокс Рассела ): [53]
Когда математики имеют дело с тем, что они называют многообразием, агрегатом, Менге , ансамблем или каким-либо эквивалентным именем, обычно, особенно когда число задействованных терминов конечно, рассматривают рассматриваемый объект (который на самом деле является классом) как определяется перечислением его терминов и состоит, возможно, из одного термина, которым в данном случае является класс.
Наивная теория множеств
[ редактировать ]Главным свойством множества является то, что оно может иметь элементы, также называемые членами . Два множества равны, если они содержат одинаковые элементы. Точнее, множества A и B равны, если каждый элемент A является элементом B , а каждый элемент B является элементом A ; это свойство называется экстенсиональностью множеств . [23] Как следствие, например, {2, 4, 6} и {4, 6, 4, 2} представляют один и тот же набор. В отличие от наборов, мультимножества можно отличить по количеству вхождений элемента; например, [2, 4, 6] и [4, 6, 4, 2] представляют разные мультимножества, а [2, 4, 6] и [6, 4, 2] равны. Кортежи можно различать даже по порядку элементов; например (2, 4, 6) и (6, 4, 2) представляют разные кортежи.
Простое понятие множества оказалось чрезвычайно полезным в математике, но возникают парадоксы , если не накладывать никаких ограничений на то, как могут быть построены множества:
- Парадокс Рассела показывает, что «множество всех множеств, которые не содержат самих себя », т. е. { x | x — множество и x ∉ x } не может существовать.
- Парадокс Кантора показывает, что «множество всех множеств» не может существовать.
Наивная теория множеств определяет множество как любую четко определенную совокупность различных элементов, но проблемы возникают из-за расплывчатости термина « четко определенный» .
Аксиоматическая теория множеств
[ редактировать ]В последующих попытках разрешить эти парадоксы со времени первоначальной формулировки наивной теории множеств свойства множеств определялись с помощью аксиом . Аксиоматическая теория множеств принимает понятие множества как примитивное понятие . [54] Цель аксиом — предоставить базовую основу, из которой можно вывести истинность или ложность конкретных математических утверждений (утверждений) о множествах, используя логику первого порядка . Однако, согласно теоремам Гёделя о неполноте , невозможно использовать логику первого порядка, чтобы доказать, что любая такая конкретная аксиоматическая теория множеств свободна от парадоксов. [55]
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Кантор, Георг; Журден, Филип Э.Б. (переводчик) (1915). Вклад в создание теории трансфинитных чисел . New York Dover Publications (английский перевод, 1954 г.).
Под «агрегатом» (Menge) мы должны понимать любую совокупность в целое (Zusammenfassung zu einem Ganzen) М определенных и отдельных объектов нашей интуиции или нашего мышления.
Здесь: стр.85 - ^ ПК Джайн; Халил Ахмад; Ом П. Ахуджа (1995). Функциональный анализ . Нью Эйдж Интернэшнл. п. 1. ISBN 978-81-224-0801-0 .
- ^ Сэмюэл Голдберг (1 января 1986 г.). Вероятность: Введение . Курьерская корпорация. п. 2. ISBN 978-0-486-65252-8 .
- ^ Томас Х. Кормен; Чарльз Э. Лейзерсон; Рональд Л. Ривест; Клиффорд Стейн (2001). Введение в алгоритмы . С Прессой. п. 1070. ИСБН 978-0-262-03293-3 .
- ^ Jump up to: а б с Халмош 1960 , с. 1 .
- ^ Jump up to: а б Столл, Роберт (1974). Множества, логика и аксиоматические теории . WH Фриман и компания. стр. 5 . ISBN 9780716704577 .
- ^ Сеймор Липшуц; Марк Липсон (22 июня 1997 г.). Очерк дискретной математики Шаума . МакГроу Хилл Профессионал. п. 1. ISBN 978-0-07-136841-4 .
- ^ Jump up to: а б с «Знакомство с наборами» . www.mathsisfun.com . Проверено 19 августа 2020 г.
- ^ Чарльз Робертс (24 июня 2009 г.). Введение в математические доказательства: переход . ЦРК Пресс. п. 45. ИСБН 978-1-4200-6956-3 .
- ^ Дэвид Джонсон; Дэвид Б. Джонсон; Томас А. Моури (июнь 2004 г.). Конечная математика: практические приложения (версия Docutech) . У. Х. Фриман. п. 220. ИСБН 978-0-7167-6297-3 .
- ^ Игнасио Белло; Антон Кауль; Джек Р. Бриттон (29 января 2013 г.). Темы современной математики . Cengage Обучение. п. 47. ИСБН 978-1-133-10742-2 .
- ^ Сюзанна С. Эпп (4 августа 2010 г.). Дискретная математика с приложениями . Cengage Обучение. п. 13. ISBN 978-0-495-39132-6 .
- ^ А. Канамори, « Пустое множество, синглтон и упорядоченная пара », стр.278. Бюллетень символической логики, том. 9, нет. 3, (2003). По состоянию на 21 августа 2023 г.
- ^ Стивен Б. Маурер; Энтони Ралстон (21 января 2005 г.). Дискретная алгоритмическая математика . ЦРК Пресс. п. 11. ISBN 978-1-4398-6375-6 .
- ^ Д. Ван Дален; ХК Доец; Х. Де Сварт (9 мая 2014 г.). Множества: наивные, аксиоматические и прикладные: базовый сборник с упражнениями для использования в теории множеств для нелогиков, работающих и преподающих математиков и студентов . Эльзевир Наука. п. 1. ISBN 978-1-4831-5039-0 .
- ^ Альфред Баста; Стефан Делонг; Надин Баста (1 января 2013 г.). Математика для информационных технологий . Cengage Обучение. п. 3. ISBN 978-1-285-60843-3 .
- ^ Лора Брекен; Эд Миллер (15 февраля 2013 г.). Элементарная алгебра . Cengage Обучение. п. 36. ISBN 978-0-618-95134-5 .
- ^ Халмош 1960 , с. 4 .
- ^ Jump up to: а б с Фрэнк Руда (6 октября 2011 г.). Сброд Гегеля: исследование философии права Гегеля . Издательство Блумсбери. п. 151. ИСБН 978-1-4411-7413-0 .
- ^ Jump up to: а б с д и Джон Ф. Лукас (1990). Введение в абстрактную математику . Роуман и Литтлфилд. п. 108. ИСБН 978-0-912675-73-2 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Сет» . Вольфрам Математический мир . Проверено 19 августа 2020 г.
- ^ Ральф К. Стейнлейдж (1987). Колледж алгебры . Западная издательская компания. ISBN 978-0-314-29531-6 .
- ^ Jump up to: а б Халмош 1960 , с. 2 .
- ^ Jump up to: а б Марек Капински; Питер Э. Копп (2004). Мера, интеграл и вероятность . Springer Science & Business Media. п. 2. ISBN 978-1-85233-781-0 .
- ^ «Установить символы» . www.mathsisfun.com . Проверено 19 августа 2020 г.
- ^ Jump up to: а б Халмош 1960 , с. 8 .
- ^ К. Т. Люнг; Дорис Лай-чу Чен (1 июля 1992 г.). Элементарная теория множеств, часть I/II . Издательство Гонконгского университета. п. 27. ISBN 978-962-209-026-2 .
- ^ Аггарвал, МЛ (2021). «1. Наборы». Понимание XI класса математики ISC . Том. 1. Arya Publications (Издательство «Авичал»). п. А=3.
- ^ Сурендра Натх, Де (январь 2015 г.). «Наборы и функции модуля 1: 1. Теория множеств». Чхая Ганит (Экадаш Шрени) . Scholar Books Pvt. ООО с. 5.
- ^ Халмош 1960 , разд.2 .
- ^ Jump up to: а б Феликс Хаусдорф (2005). Теория множеств . Американское математическое соц. п. 30. ISBN 978-0-8218-3835-8 .
- ^ Питер Комнинос (6 апреля 2010 г.). Методы математического и компьютерного программирования для компьютерной графики . Springer Science & Business Media. п. 7. ISBN 978-1-84628-292-8 .
- ^ Jump up to: а б Халмош 1960 , с. 3 .
- ^ Jump up to: а б с д и ж Джордж Турлакис (13 февраля 2003 г.). Лекции по логике и теории множеств: Том 2, Теория множеств . Издательство Кембриджского университета. п. 137. ИСБН 978-1-139-43943-5 .
- ^ Яннис Н. Мошовакис (1994). Заметки по теории множеств . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-94180-4 .
- ^ Артур Чарльз Флек (2001). Формальные модели вычислений: окончательные ограничения вычислений . Всемирная научная. п. 3. ISBN 978-981-02-4500-9 .
- ^ Уильям Джонстон (25 сентября 2015 г.). Интеграл Лебега для студентов . Математическая ассоциация Америки. п. 7. ISBN 978-1-939512-07-9 .
- ^ Карл Дж. Смит (7 января 2008 г.). Математика: ее сила и полезность . Cengage Обучение. п. 401. ИСБН 978-0-495-38913-2 .
- ^ Джон Стиллвелл (16 октября 2013 г.). Действительные числа: введение в теорию множеств и анализ . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-01577-4 .
- ^ Дэвид Талл (11 апреля 2006 г.). Развитое математическое мышление . Springer Science & Business Media. п. 211. ИСБН 978-0-306-47203-9 .
- ^ Кантор, Джордж (1878). «Вклад в теорию разнообразия» . Журнал чистой и прикладной математики . 1878 (84): 242–258. дои : 10.1515/crll.1878.84.242 .
- ^ Коэн, Пол Дж. (15 декабря 1963 г.). «Независимость гипотезы континуума» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 50 (6): 1143–1148. Бибкод : 1963PNAS...50.1143C . дои : 10.1073/pnas.50.6.1143 . JSTOR 71858 . ПМК 221287 . ПМИД 16578557 .
- ^ Халмош 1960 , с. 19 .
- ^ Халмош 1960 , с. 20 .
- ^ Эдвард Б. Бургер; Майкл Старберд (18 августа 2004 г.). Сердце математики: приглашение к эффективному мышлению . Springer Science & Business Media. п. 183. ИСБН 978-1-931914-41-3 .
- ^ Туфик Мансур (27 июля 2012 г.). Комбинаторика разбиений множеств . ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4398-6333-6 .
- ^ Халмош 1960 , с. 28 .
- ^ Хосе Феррейрос (16 августа 2007 г.). Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике . Биркхойзер Базель. ISBN 978-3-7643-8349-7 .
- ^ Стив Расс (9 декабря 2004 г.). Математические труды Бернара Больцано . ОУП Оксфорд. ISBN 978-0-19-151370-1 .
- ^ Уильям Эвальд; Уильям Брэгг Эвальд (1996). От Канта до Гильберта. Том 1: Справочник по основам математики . ОУП Оксфорд. п. 249. ИСБН 978-0-19-850535-8 .
- ^ Пол Раснок; Ян Себестик (25 апреля 2019 г.). Бернар Больцано: его жизнь и творчество . ОУП Оксфорд. п. 430. ИСБН 978-0-19-255683-7 .
- ^ Георг Кантор (ноябрь 1895 г.). «Вклад в обоснование трансфинитной теории множеств (1)» . Математические анналы (на немецком языке). 46 (4): 481–512.
- ^ Бертран Рассел (1903) Принципы математики , глава VI: Классы
- ^ Хосе Феррейрос (1 ноября 2001 г.). Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-5749-8 .
- ^ Раатикайнен, Пану (2022). Залта, Эдвард Н. (ред.). «Теоремы Гёделя о неполноте» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 3 июня 2024 г.
Ссылки
[ редактировать ]- Добен, Джозеф В. (1979). Георг Кантор: Его математика и философия бесконечного . Бостон: Издательство Гарвардского университета . ISBN 0-691-02447-2 .
- Халмос, Пол Р. (1960). Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Ван Ностранд. ISBN 0-387-90092-6 .
- Столл, Роберт Р. (1979). Теория множеств и логика . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 0-486-63829-4 .
- Веллеман, Дэниел (2006). Как это доказать: структурированный подход . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-67599-5 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Словарное определение множества в Викисловаре
- «Вклад Кантора в обоснование теории трансфинитных множеств» (на немецком языке)