Jump to content

Набор (математика)

(Перенаправлено из конечного подмножества )
Набор многоугольников на диаграмме Эйлера
Этот набор аналогичен изображенному выше, поскольку оба состоят из одних и тех же элементов.

В математике множество это совокупность различных [1] вещи; [2] [3] [4] эти вещи называются элементами или членами множества и обычно представляют собой математические объекты любого типа: числа, символы, точки в пространстве, линии, другие геометрические фигуры, переменные или даже другие множества. [5] Множество может иметь конечное число элементов или быть бесконечным . Существует уникальный набор без элементов, называемый пустым набором ; набор с одним элементом является синглтоном .

Наборы уникально характеризуются своими элементами; это означает, что два множества, состоящие из одних и тех же элементов, равны (это один и тот же набор). [6] Это свойство называется экстенсиональностью . В частности, это означает, что существует только одно пустое множество.

Множества широко распространены в современной математике. Действительно, теория множеств , а точнее теория множеств Цермело-Френкеля , была стандартным способом обеспечения строгих основ для всех областей математики с первой половины 20-го века. [5]

Определение и обозначения

[ редактировать ]

В математических текстах множества обычно обозначаются заглавными буквами. [7] [5] курсивом например A , B , C. , [8] Набор также можно называть коллекцией или семейством , особенно если его элементы сами являются наборами.

Обозначение реестра

[ редактировать ]

Нотация реестра или перечисления определяет набор путем перечисления его элементов в фигурных скобках , разделенных запятыми: [9] [10] [11] [12]

А = {4, 2, 1, 3}
B = {синий, белый, красный} .

Это обозначение было введено Эрнстом Цермело в 1908 году. [13] В наборе все, что имеет значение, это то, находится ли в нем каждый элемент или нет, поэтому порядок элементов в записи списка не имеет значения (напротив, в последовательности , кортеже или перестановке набора порядок элементов в наборе не имеет значения). условия имеют значение). Например, {2, 4, 6} и {4, 6, 4, 2} представляют один и тот же набор. [14] [8] [15]

Для наборов со многими элементами, особенно тех, которые следуют неявному шаблону, список членов можно сократить с помощью многоточия ' ... ' . [16] [17] Например, набор из первой тысячи положительных целых чисел может быть указан в записи реестра как

{1, 2, 3, ..., 1000} .

Бесконечные множества в реестровых обозначениях

[ редактировать ]

Бесконечное множество — это множество с бесконечным списком элементов. Чтобы описать бесконечное множество в записи списка, в конце списка или на обоих концах ставится многоточие, чтобы указать, что список продолжается вечно. Например, набор неотрицательных целых чисел равен

{0, 1, 2, 3, 4, ...} ,

и набор всех целых чисел равен

{..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} .

Семантическое определение

[ редактировать ]

Другой способ определить набор — использовать правило для определения элементов:

Пусть A — множество, членами которого являются первые четыре положительных целых числа .
Пусть B — набор цветов французского флага .

Такое определение называется семантическим описанием . [18] [19]

Обозначение построителя множеств

[ редактировать ]

Обозначение построителя множеств определяет набор как выборку из большего набора, определяемого условием элементов. [19] [20] [21] Например, набор F можно определить следующим образом:

В этом обозначении вертикальная черта "|" означает «такой, что», а описание можно интерпретировать как « F — множество всех чисел n таких, что n — целое число в диапазоне от 0 до 19 включительно». используют двоеточие «:». Некоторые авторы вместо вертикальной черты [22]

Классификация методов определения

[ редактировать ]

Философия использует конкретные термины для классификации типов определений:

  • Интенсиональное определение использует правило для определения членства. Примерами являются семантические определения и определения, использующие нотацию построителя множеств.
  • Экстенсиональное определение описывает множество, перечисляя все его элементы . [19] Такие определения еще называют перечислительными .
  • Указательное определение — это определение, которое описывает множество, приводя примеры элементов; Примером может служить список с многоточием.

Членство

[ редактировать ]

Если B — множество, а x — элемент B , это сокращенно записывается как x B , что также можно прочитать как « x принадлежит B » или « x находится в B ». [23] Утверждение « y не является элементом B » записывается как y B , что также можно прочитать как « y не является элементом B ». [24] [25]

Например, относительно множеств A = {1, 2, 3, 4} , B = {blue, white, red} и F = { n | n — целое число и 0 ≤ n ≤ 19} ,

4 € А и 12 € F ; и
20 ∉ F и зеленый B.

Пустой набор

[ редактировать ]

Пустой набор (или нулевой набор ) — это уникальный набор, не имеющий членов. Обозначается , , { }, [26] [27] φ , [28] или φ . [29]

Наборы синглтонов

[ редактировать ]

Одноэлементный набор — это набор, состоящий ровно из одного элемента; такой набор также можно назвать единичным набором . [6] Любой такой набор можно записать как { x }, где x — элемент.Набор { x } и элемент x означают разные вещи; Халмош [30] проводит аналогию с тем, что коробка со шляпой — это не то же самое, что шляпа.

Подмножества

[ редактировать ]

Если каждый элемент множества A также находится в B , то A описывается как подмножество B или содержится в B , записывая A B , [31] или Б А. [32] Последнее обозначение может быть прочитано как B содержит A , B включает A или B является расширенным набором A . Отношения между множествами , установленные ⊆, называются включением или включением . Два множества равны, если они содержат друг друга: A B и B A эквивалентно A = B . [20]

Если A является подмножеством B , но не равно B , то A называется подмножеством B. собственным A Это можно записать A B . Аналогично, B A означает, что является собственным надмножеством A , т. е. B содержит A и не равно A. B

Третья пара операторов ⊂ и ⊃ используется разными авторами по-разному: некоторые авторы используют A B и B A, подразумевая, что A является любым подмножеством B (и не обязательно собственным подмножеством), [33] [24] в то время как другие резервируют A B и B A для случаев, когда A является собственным подмножеством B . [31]

Примеры:

  • Совокупность всех людей является подмножеством совокупности всех млекопитающих.
  • {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4} .
  • {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4} .

Пустое множество является подмножеством каждого множества, [26] и каждое множество является подмножеством самого себя: [33]

  • ∅ ⊆ А .
  • А А.

Диаграммы Эйлера и Венна

[ редактировать ]
A подмножеством B. является
B надмножеством A. является

Диаграмма Эйлера — это графическое представление набора множеств; каждый набор изображается как плоская область, заключенная в петлю, с элементами внутри. Если A является подмножеством B , то область, представляющая , полностью находится внутри области, представляющей B. A Если два набора не имеют общих элементов, регионы не перекрываются.

Диаграмма Венна , напротив, представляет собой графическое представление n множеств, в которых n петель делят плоскость на 2 части. н зоны такие, что для каждого способа выбора некоторых из n наборов (возможно, всех или ни одного) существует зона для элементов, принадлежащих всем выбранным наборам и ни одному из других. Например, если множествами являются A , B и C , должна быть зона для элементов, находящихся внутри A и C и снаружи B (даже если такие элементы не существуют).

Специальные наборы чисел в математике

[ редактировать ]
Натуральные числа содержатся в целых числах , которые содержатся в рациональных числах , которые содержатся в действительных числах , которые содержатся в комплексных числах

Существуют множества такой математической важности, к которым математики так часто обращаются, что они получили специальные названия и обозначения для их идентификации.

Многие из этих важных наборов представлены в математических текстах жирным шрифтом (например, ) или жирным шрифтом на доске (например, ) шрифт. [34] К ним относятся

  • или , набор всех натуральных чисел : (часто авторы исключают 0 ); [34]
  • или , набор всех целых чисел (положительных, отрицательных или нулевых): ; [34]
  • или , набор всех рациональных чисел (то есть набор всех правильных и неправильных дробей ): . Например, 7/4 5 Q и = 5 / 1 Q ; [34]
  • или , набор всех действительных чисел , включая все рациональные числа и все иррациональные числа (в том числе алгебраические числа, такие как которые невозможно переписать в виде дробей, а также трансцендентных чисел, таких как π и e ); [34]
  • или , множество всех комплексных чисел : C = { a + bi | a , b R } например, 1 + 2 i C. , [34]

Каждый из приведенных выше наборов чисел имеет бесконечное количество элементов. Каждый из них представляет собой подмножество наборов, перечисленных под ним.

Наборы положительных или отрицательных чисел иногда обозначаются надстрочными знаками плюс и минус соответственно. Например, представляет собой набор положительных рациональных чисел.

Функция — это (или отображение ) множества A в множество B правило, которое присваивает каждому «входному» элементу A «выходной элемент», который является элементом B ; более формально, функция — это особый вид отношения , которое связывает каждый элемент A с одним элементом B. ровно Функция называется

  • инъективен (или взаимно однозначен), если он отображает любые два разных элемента A в разные элементы B ,
  • сюръективен (или на), если для каждого элемента B существует хотя бы один элемент A , который отображается в него, и
  • биективное (или взаимно однозначное соответствие), если функция одновременно инъективна и сюръективна - в этом случае каждый элемент A соединен с уникальным элементом B , а каждый элемент B соединен с уникальным элементом A , чтобы не было непарных элементов.

Инъективная функция называется инъекцией , сюръективная функция называется сюръекцией , а биективная функция называется биекцией или взаимно однозначным соответствием .

Мощность

[ редактировать ]

Мощность множества S , обозначаемая | С | , число членов S . [35] Например, если B = {синий, белый, красный} , то | Б | = 3 . Повторные участники в записи реестра не учитываются, [36] [37] так | {синий, белый, красный, синий, белый} | = 3 тоже.

Более формально, два множества имеют одинаковую мощность, если между ними существует биекция.

Мощность пустого множества равна нулю. [38]

Бесконечные множества и бесконечная мощность

[ редактировать ]

Список элементов некоторых множеств бесконечен или бесконечен . Например, набор натуральных чисел бесконечно. [20] Фактически, все специальные наборы чисел, упомянутые в разделе выше, бесконечны. Бесконечные множества имеют бесконечную мощность .

Некоторые бесконечные мощности больше других. Возможно, один из наиболее важных результатов теории множеств заключается в том, что набор действительных чисел имеет большую мощность, чем набор натуральных чисел. [39] Наборы с мощностью меньше или равной называются счетными множествами ; это либо конечные множества, либо счетно бесконечные множества (множества той же мощности, что и ); некоторые авторы используют слово «счетный» для обозначения «счетной бесконечности». Множества с мощностью строго большей, чем у называются несчетными множествами .

Однако можно показать, что мощность прямой линии (т. е. количество точек на прямой) такая же, как мощность любого отрезка этой линии, всей плоскости и даже любого конечномерного евклидова космос . [40]

Гипотеза континуума

[ редактировать ]

Гипотеза континуума, сформулированная Георгом Кантором в 1878 году, представляет собой утверждение о том, что не существует множества с мощностью строго между мощностью натуральных чисел и мощностью прямой линии. [41] В 1963 году Пол Коэн доказал, что гипотеза континуума не зависит от системы аксиом ZFC, состоящей из теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора . [42] (ZFC — наиболее широко изученная версия аксиоматической теории множеств.)

Силовые наборы

[ редактировать ]

Набор мощности набора S - это набор всех подмножеств S . [20] Пустое множество и само S являются элементами набора мощности S , поскольку оба они являются S. подмножествами Например, набор степеней {1, 2, 3} равен {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1 , 2, 3}} . Набор мощности набора S обычно записывается как P ( S ) или 2. С . [20] [43] [8]

Если S имеет n элементов, то P ( S ) имеет 2 н элементы. [44] Например, {1, 2, 3} состоит из трех элементов, а его набор мощности имеет 2 элемента. 3 = 8 элементов, как показано выше.

Если S бесконечно (неважно, счетно или несчетно ), то P ( S ) несчетно. Более того, набор степеней всегда строго «больше», чем исходный набор, в том смысле, что любая попытка объединить элементы S с элементами P ( S ) оставит некоторые элементы P ( S ) неспаренными. не существует биекции S P на S ( ( Никогда ) .) [45]

Перегородки

[ редактировать ]

Раздел множества S — это набор непустых подмножеств S , такой, что каждый элемент x в S находится ровно в одном из этих подмножеств. То есть подмножества попарно не пересекаются (это означает, что любые два множества раздела не содержат общих элементов), а объединение всех подмножеств раздела равно S . [46] [47]

Основные операции

[ редактировать ]
Дополнение A в U

Предположим, что универсальное множество U (множество, содержащее все обсуждаемые элементы) фиксировано и что A является подмножеством U .

  • Дополнением A не , является множество всех элементов U которые принадлежат A. ) ( Его можно обозначить А с или А ' . В обозначениях построителя множеств, . Дополнение также можно назвать абсолютным дополнением, чтобы отличить его от относительного дополнения, приведенного ниже. Пример: Если универсальный набор считается набором целых чисел, то дополнением набора четных целых чисел является набор нечетных целых чисел.
Объединение A B и B , A обозначаемое
Пересечение A B и B , A обозначаемое
Установленная разница А \ В
Симметричная разность A и B

Учитывая любые два множества A и B ,

  • их объединение A B представляет собой множество всех вещей, которые являются членами A или B, или того и другого.
  • их пересечение A B представляет собой множество всех вещей, которые являются членами как A , так и B . Если A B = ∅ , то A и B называются непересекающимися .
  • разность множеств A \ B (также обозначаемая как A B ) — это набор всех вещей, которые принадлежат A , но не принадлежат B . Особенно когда B подмножеством A , его также называют дополнением B A. в является относительным С Б с как абсолютное дополнение к B (в универсальном множестве U ), A \ B = A B с .
  • их симметричная разность A Δ B представляет собой совокупность всех вещей, принадлежащих A или B , но не обоим одновременно. У одного есть .
  • их декартово произведение A × B — это набор всех упорядоченных пар ( a , b ) таких, что элемент A , а b — элемент B. a

Примеры:

  • {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5 }.
  • {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3 }.
  • {1, 2, 3} − {3, 4, 5} = {1, 2 }.
  • {1, 2, 3} D {3, 4, 5} = {1, 2, 4, 5 }.
  • { а , б } × {1, 2, 3} = {( а ,1), ( а ,2), ( а ,3), ( б ,1), ( б ,2), ( б ,3) }.

Вышеописанные операции удовлетворяют многим тождествам. Например, один из законов Де Моргана гласит, что ( A B )′ = A ′ ∩ B (то есть элементы вне объединения A и B — это элементы, находящиеся вне A и вне B ).

Мощность A × B является произведением мощностей A и B .(Это элементарный факт, когда A и B конечны. Когда одно или оба бесконечны, для того чтобы это было верным, определено умножение кардинальных чисел.)

Набор степеней любого набора становится булевым кольцом с симметричной разницей как сложение кольца и пересечением как умножение кольца.

Приложения

[ редактировать ]

Множества широко распространены в современной математике. Например, структуры в абстрактной алгебре , такие как группы , поля и кольца , представляют собой множества, замкнутые относительно одной или нескольких операций.

Одним из основных применений наивной теории множеств является построение отношений . Отношение области A к кодомену B является подмножеством декартова произведения A × B . Например, если рассматривать набор S = {камень, бумага, ножницы} фигур игре в одноименной , то отношение «бьется» от S к S — это набор B = {(ножницы, бумага), (бумага, камень ), (камень, ножницы)} ; таким образом, побеждает y в игре, если пара ( x , y ) является членом B. x Другим примером является множество F всех пар ( x , x 2 ) , где x вещественный. Это отношение является подмножеством R × R , поскольку множество всех квадратов является подмножеством множества всех действительных чисел. Поскольку для каждого x в R одна и только одна пара ( x ,...) находится в F , она называется функцией . В функциональной записи это соотношение можно записать как F ( x ) = x 2 .

Принцип включения и исключения

[ редактировать ]
Принцип включения-исключения для двух конечных множеств гласит, что размер их объединения равен сумме размеров множеств минус размер их пересечения.

Принцип включения-исключения — это метод подсчета элементов в объединении двух конечных множеств с точки зрения размеров двух множеств и их пересечения. Символически это можно выразить как

Более общая форма принципа дает мощность любого конечного объединения конечных множеств:


Понятие множества возникло в математике в конце XIX века. [48] Немецкое слово Menge , обозначающее множество , было придумано Бернаром Больцано в его работе «Парадоксы бесконечности» . [49] [50] [51]

Отрывок с переводом оригинального определения Георга Кантора. Немецкое слово Menge, означающее «множество», здесь переводится словом «агрегат» .

Георг Кантор , один из основателей теории множеств, дал следующее определение в начале своего вклада в создание трансфинитной теории множеств : [52] [1]

Набор — это совокупность в целое определенных, различных объектов нашего восприятия или нашего мышления, которые называются элементами набора.

Бертран Рассел ввел различие между множеством и классом (множество — это класс, но некоторые классы, например класс всех множеств, не являются множествами; см. парадокс Рассела ): [53]

Когда математики имеют дело с тем, что они называют многообразием, агрегатом, Менге , ансамблем или каким-либо эквивалентным именем, обычно, особенно когда число задействованных терминов конечно, рассматривают рассматриваемый объект (который на самом деле является классом) как определяется перечислением его терминов и состоит, возможно, из одного термина, которым в данном случае является класс.

Наивная теория множеств

[ редактировать ]

Главным свойством множества является то, что оно может иметь элементы, также называемые членами . Два множества равны, если они содержат одинаковые элементы. Точнее, множества A и B равны, если каждый элемент A является элементом B , а каждый элемент B является элементом A ; это свойство называется экстенсиональностью множеств . [23] Как следствие, например, {2, 4, 6} и {4, 6, 4, 2} представляют один и тот же набор. В отличие от наборов, мультимножества можно отличить по количеству вхождений элемента; например, [2, 4, 6] и [4, 6, 4, 2] представляют разные мультимножества, а [2, 4, 6] и [6, 4, 2] равны. Кортежи можно различать даже по порядку элементов; например (2, 4, 6) и (6, 4, 2) представляют разные кортежи.

Простое понятие множества оказалось чрезвычайно полезным в математике, но возникают парадоксы , если не накладывать никаких ограничений на то, как могут быть построены множества:

  • Парадокс Рассела показывает, что «множество всех множеств, которые не содержат самих себя », т. е. { x | x — множество и x x } не может существовать.
  • Парадокс Кантора показывает, что «множество всех множеств» не может существовать.

Наивная теория множеств определяет множество как любую четко определенную совокупность различных элементов, но проблемы возникают из-за расплывчатости термина « четко определенный» .

Аксиоматическая теория множеств

[ редактировать ]

В последующих попытках разрешить эти парадоксы со времени первоначальной формулировки наивной теории множеств свойства множеств определялись с помощью аксиом . Аксиоматическая теория множеств принимает понятие множества как примитивное понятие . [54] Цель аксиом — предоставить базовую основу, из которой можно вывести истинность или ложность конкретных математических утверждений (утверждений) о множествах, используя логику первого порядка . Однако, согласно теоремам Гёделя о неполноте , невозможно использовать логику первого порядка, чтобы доказать, что любая такая конкретная аксиоматическая теория множеств свободна от парадоксов. [55]

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Jump up to: а б Кантор, Георг; Журден, Филип Э.Б. (переводчик) (1915). Вклад в создание теории трансфинитных чисел . New York Dover Publications (английский перевод, 1954 г.). Под «агрегатом» (Menge) мы должны понимать любую совокупность в целое (Zusammenfassung zu einem Ganzen) М определенных и отдельных объектов нашей интуиции или нашего мышления. Здесь: стр.85
  2. ^ ПК Джайн; Халил Ахмад; Ом П. Ахуджа (1995). Функциональный анализ . Нью Эйдж Интернэшнл. п. 1. ISBN  978-81-224-0801-0 .
  3. ^ Сэмюэл Голдберг (1 января 1986 г.). Вероятность: Введение . Курьерская корпорация. п. 2. ISBN  978-0-486-65252-8 .
  4. ^ Томас Х. Кормен; Чарльз Э. Лейзерсон; Рональд Л. Ривест; Клиффорд Стейн (2001). Введение в алгоритмы . С Прессой. п. 1070. ИСБН  978-0-262-03293-3 .
  5. ^ Jump up to: а б с Халмош 1960 , с. 1 .
  6. ^ Jump up to: а б Столл, Роберт (1974). Множества, логика и аксиоматические теории . WH Фриман и компания. стр. 5 . ISBN  9780716704577 .
  7. ^ Сеймор Липшуц; Марк Липсон (22 июня 1997 г.). Очерк дискретной математики Шаума . МакГроу Хилл Профессионал. п. 1. ISBN  978-0-07-136841-4 .
  8. ^ Jump up to: а б с «Знакомство с наборами» . www.mathsisfun.com . Проверено 19 августа 2020 г.
  9. ^ Чарльз Робертс (24 июня 2009 г.). Введение в математические доказательства: переход . ЦРК Пресс. п. 45. ИСБН  978-1-4200-6956-3 .
  10. ^ Дэвид Джонсон; Дэвид Б. Джонсон; Томас А. Моури (июнь 2004 г.). Конечная математика: практические приложения (версия Docutech) . У. Х. Фриман. п. 220. ИСБН  978-0-7167-6297-3 .
  11. ^ Игнасио Белло; Антон Кауль; Джек Р. Бриттон (29 января 2013 г.). Темы современной математики . Cengage Обучение. п. 47. ИСБН  978-1-133-10742-2 .
  12. ^ Сюзанна С. Эпп (4 августа 2010 г.). Дискретная математика с приложениями . Cengage Обучение. п. 13. ISBN  978-0-495-39132-6 .
  13. ^ А. Канамори, « Пустое множество, синглтон и упорядоченная пара », стр.278. Бюллетень символической логики, том. 9, нет. 3, (2003). По состоянию на 21 августа 2023 г.
  14. ^ Стивен Б. Маурер; Энтони Ралстон (21 января 2005 г.). Дискретная алгоритмическая математика . ЦРК Пресс. п. 11. ISBN  978-1-4398-6375-6 .
  15. ^ Д. Ван Дален; ХК Доец; Х. Де Сварт (9 мая 2014 г.). Множества: наивные, аксиоматические и прикладные: базовый сборник с упражнениями для использования в теории множеств для нелогиков, работающих и преподающих математиков и студентов . Эльзевир Наука. п. 1. ISBN  978-1-4831-5039-0 .
  16. ^ Альфред Баста; Стефан Делонг; Надин Баста (1 января 2013 г.). Математика для информационных технологий . Cengage Обучение. п. 3. ISBN  978-1-285-60843-3 .
  17. ^ Лора Брекен; Эд Миллер (15 февраля 2013 г.). Элементарная алгебра . Cengage Обучение. п. 36. ISBN  978-0-618-95134-5 .
  18. ^ Халмош 1960 , с. 4 .
  19. ^ Jump up to: а б с Фрэнк Руда (6 октября 2011 г.). Сброд Гегеля: исследование философии права Гегеля . Издательство Блумсбери. п. 151. ИСБН  978-1-4411-7413-0 .
  20. ^ Jump up to: а б с д и Джон Ф. Лукас (1990). Введение в абстрактную математику . Роуман и Литтлфилд. п. 108. ИСБН  978-0-912675-73-2 .
  21. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Сет» . Вольфрам Математический мир . Проверено 19 августа 2020 г.
  22. ^ Ральф К. Стейнлейдж (1987). Колледж алгебры . Западная издательская компания. ISBN  978-0-314-29531-6 .
  23. ^ Jump up to: а б Халмош 1960 , с. 2 .
  24. ^ Jump up to: а б Марек Капински; Питер Э. Копп (2004). Мера, интеграл и вероятность . Springer Science & Business Media. п. 2. ISBN  978-1-85233-781-0 .
  25. ^ «Установить символы» . www.mathsisfun.com . Проверено 19 августа 2020 г.
  26. ^ Jump up to: а б Халмош 1960 , с. 8 .
  27. ^ К. Т. Люнг; Дорис Лай-чу Чен (1 июля 1992 г.). Элементарная теория множеств, часть I/II . Издательство Гонконгского университета. п. 27. ISBN  978-962-209-026-2 .
  28. ^ Аггарвал, МЛ (2021). «1. Наборы». Понимание XI класса математики ISC . Том. 1. Arya Publications (Издательство «Авичал»). п. А=3.
  29. ^ Сурендра Натх, Де (январь 2015 г.). «Наборы и функции модуля 1: 1. Теория множеств». Чхая Ганит (Экадаш Шрени) . Scholar Books Pvt. ООО с. 5.
  30. ^ Халмош 1960 , разд.2 .
  31. ^ Jump up to: а б Феликс Хаусдорф (2005). Теория множеств . Американское математическое соц. п. 30. ISBN  978-0-8218-3835-8 .
  32. ^ Питер Комнинос (6 апреля 2010 г.). Методы математического и компьютерного программирования для компьютерной графики . Springer Science & Business Media. п. 7. ISBN  978-1-84628-292-8 .
  33. ^ Jump up to: а б Халмош 1960 , с. 3 .
  34. ^ Jump up to: а б с д и ж Джордж Турлакис (13 февраля 2003 г.). Лекции по логике и теории множеств: Том 2, Теория множеств . Издательство Кембриджского университета. п. 137. ИСБН  978-1-139-43943-5 .
  35. ^ Яннис Н. Мошовакис (1994). Заметки по теории множеств . Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-94180-4 .
  36. ^ Артур Чарльз Флек (2001). Формальные модели вычислений: окончательные ограничения вычислений . Всемирная научная. п. 3. ISBN  978-981-02-4500-9 .
  37. ^ Уильям Джонстон (25 сентября 2015 г.). Интеграл Лебега для студентов . Математическая ассоциация Америки. п. 7. ISBN  978-1-939512-07-9 .
  38. ^ Карл Дж. Смит (7 января 2008 г.). Математика: ее сила и полезность . Cengage Обучение. п. 401. ИСБН  978-0-495-38913-2 .
  39. ^ Джон Стиллвелл (16 октября 2013 г.). Действительные числа: введение в теорию множеств и анализ . Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-319-01577-4 .
  40. ^ Дэвид Талл (11 апреля 2006 г.). Развитое математическое мышление . Springer Science & Business Media. п. 211. ИСБН  978-0-306-47203-9 .
  41. ^ Кантор, Джордж (1878). «Вклад в теорию разнообразия» . Журнал чистой и прикладной математики . 1878 (84): 242–258. дои : 10.1515/crll.1878.84.242 .
  42. ^ Коэн, Пол Дж. (15 декабря 1963 г.). «Независимость гипотезы континуума» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 50 (6): 1143–1148. Бибкод : 1963PNAS...50.1143C . дои : 10.1073/pnas.50.6.1143 . JSTOR   71858 . ПМК   221287 . ПМИД   16578557 .
  43. ^ Халмош 1960 , с. 19 .
  44. ^ Халмош 1960 , с. 20 .
  45. ^ Эдвард Б. Бургер; Майкл Старберд (18 августа 2004 г.). Сердце математики: приглашение к эффективному мышлению . Springer Science & Business Media. п. 183. ИСБН  978-1-931914-41-3 .
  46. ^ Туфик Мансур (27 июля 2012 г.). Комбинаторика разбиений множеств . ЦРК Пресс. ISBN  978-1-4398-6333-6 .
  47. ^ Халмош 1960 , с. 28 .
  48. ^ Хосе Феррейрос (16 августа 2007 г.). Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике . Биркхойзер Базель. ISBN  978-3-7643-8349-7 .
  49. ^ Стив Расс (9 декабря 2004 г.). Математические труды Бернара Больцано . ОУП Оксфорд. ISBN  978-0-19-151370-1 .
  50. ^ Уильям Эвальд; Уильям Брэгг Эвальд (1996). От Канта до Гильберта. Том 1: Справочник по основам математики . ОУП Оксфорд. п. 249. ИСБН  978-0-19-850535-8 .
  51. ^ Пол Раснок; Ян Себестик (25 апреля 2019 г.). Бернар Больцано: его жизнь и творчество . ОУП Оксфорд. п. 430. ИСБН  978-0-19-255683-7 .
  52. ^ Георг Кантор (ноябрь 1895 г.). «Вклад в обоснование трансфинитной теории множеств (1)» . Математические анналы (на немецком языке). 46 (4): 481–512.
  53. ^ Бертран Рассел (1903) Принципы математики , глава VI: Классы
  54. ^ Хосе Феррейрос (1 ноября 2001 г.). Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике . Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-7643-5749-8 .
  55. ^ Раатикайнен, Пану (2022). Залта, Эдвард Н. (ред.). «Теоремы Гёделя о неполноте» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 3 июня 2024 г.
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 520d12ecf6d421edc15db49ddbc85111__1719987300
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/52/11/520d12ecf6d421edc15db49ddbc85111.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Set (mathematics) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)