Число Алеф
В математике , особенно в теории множеств , числа алефа представляют собой последовательность чисел, используемую для представления мощности (или размера) бесконечных множеств , которые могут быть хорошо упорядочены . Их ввел математик Георг Кантор. [1] и названы в честь символа, который он использовал для их обозначения, — еврейской буквы алеф (ℵ). [2] [а]
Мощность натуральных чисел равна ℵ 0 (читай алеф-ноль или алеф-ноль или алеф-нуль ), следующая большая мощность хорошо упорядоченного набора — алеф-один ℵ 1 , затем ℵ 2 и так далее. Продолжая таким же образом, можно определить кардинальное число ℵ α для каждого порядкового числа α , как описано ниже.
Концепция и обозначения принадлежат Георгу Кантору , [5] который определил понятие мощности и понял, что бесконечные множества могут иметь разную мощность .
Числа алеф отличаются от бесконечности (∞), обычно встречающейся в алгебре и исчислении, тем, что алефы измеряют размеры множеств, тогда как бесконечность обычно определяется либо как крайний предел прямой числовой линии (применяется к функции или последовательности , которая « расходится до бесконечности» или «безгранично возрастает»), или как крайняя точка расширенной прямой вещественных чисел .
Алеф-ноль [ править ]
ℵ 0 (алеф-ноль, также алеф-ноль или алеф-ноль) — это мощность множества всех натуральных чисел и является бесконечным кардиналом . Набор всех конечных ординалов , называемый ω или ω 0 (где ω — строчная греческая буква омега ), имеет мощность ℵ 0 . Множество имеет мощность ℵ 0 тогда и только тогда, когда оно счетно бесконечно , то есть существует взаимно однозначное соответствие между ним и натуральными числами. Примерами таких наборов являются
- множество натуральных чисел , независимо от того, включая или исключая ноль,
- множество всех целых чисел ,
- любое бесконечное подмножество целых чисел, например набор всех квадратных чисел или набор всех простых чисел ,
- совокупность всех рациональных чисел ,
- множество всех конструктивных чисел (в геометрическом смысле),
- совокупность всех алгебраических чисел ,
- совокупность всех вычислимых чисел ,
- совокупность всех вычислимых функций ,
- набор всех двоичных строк конечной длины и
- множество всех конечных подмножеств любого данного счетно-бесконечного множества.
Эти бесконечные ординалы: ω, ω + 1, ω⋅2, ω 2 , ой ой , и ε 0 относятся к счетным множествам. [6] Например, последовательность ( порядкового порядка ω⋅2) всех положительных нечетных целых чисел, за которыми следуют все положительные четные целые числа.
- {1, 3, 5, 7, 9, ...; 2, 4, 6, 8, 10, ...}
— это упорядочение множества (мощности ℵ 0 ) целых положительных чисел.
Если аксиома счетного выбора (более слабая версия аксиомы выбора ) верна, то ℵ 0 меньше любого другого бесконечного кардинала и, следовательно, является (уникальным) наименьшим бесконечным порядковым номером.
Алеф-один [ править ]
 |
ℵ 1 — это, по определению, мощность множества всех счетных порядковых чисел . Это множество обозначается ω 1 (или иногда Ω). Множество ω 1 само по себе является порядковым числом, большим, чем все счетные числа, поэтому оно является несчетным множеством . Следовательно, ℵ 1 отличается от ℵ 0 . Определение ℵ 1 подразумевает (в ZF, теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора), что никакое кардинальное число не находится между ℵ 0 и ℵ 1 . Если используется аксиома выбора , можно дополнительно доказать, что класс кардинальных чисел полностью упорядочен , и, таким образом, ℵ 1 является вторым по величине бесконечным кардинальным числом. Можно показать одно из наиболее полезных свойств множества ω 1 : любое счетное подмножество ω 1 имеет верхнюю границу в ω 1 (это следует из того, что объединение счетного числа счетных множеств само по себе счетно). Этот факт аналогичен ситуации в ℵ 0 : каждое конечное множество натуральных чисел имеет максимум, который также является натуральным числом, а конечные объединения конечных множеств конечны.
Порядковый номер ω 1 на самом деле является полезным понятием, хотя и звучит несколько экзотично. Пример приложения является «замыкающим» по отношению к счетным операциям; например, пытаясь явно описать σ-алгебру, порожденную произвольным набором подмножеств (см., например, иерархию Бореля ). Это сложнее, чем большинство явных описаний «поколения» в алгебре ( векторных пространствах , группах и т. д.), потому что в этих случаях нам нужно замыкаться только по отношению к конечным операциям – суммам, произведениям и т. д. Этот процесс включает в себя определение для каждого счетный порядковый номер, посредством трансфинитной индукции , набор, полученный путем «добавления» всех возможных счетных объединений и дополнений и объединения всего этого по всему ω 1 .
континуума Гипотеза
Мощность . множества действительных чисел ( мощность континуума ) равна 2 ℵ 0 . Его нельзя определить с помощью ZFC ( теории множеств Цермело–Френкеля , дополненной аксиомой выбора ), где это число точно вписывается в иерархию чисел алефа, но из ZFC следует, что гипотеза континуума (CH) эквивалентна тождеству
- 2 ℵ 0 = ℵ 1 . [7]
CH утверждает, что не существует множества, мощность которого находилась бы строго между мощностью целых и действительных чисел. [8] CH не зависит от ZFC : его нельзя ни доказать, ни опровергнуть в контексте этой системы аксиом (при условии, что непротиворечив ) ZFC . То, что CH совместимо с ZFC, было продемонстрировано Куртом Гёделем в 1940 году, когда он показал, что его отрицание не является теоремой ZFC . То, что он не зависит от ZFC, было продемонстрировано Полом Коэном в 1963 году, когда он показал обратное, что CH сам по себе не является теоремой ZFC – с помощью (тогда нового) метода принуждения . [7] [9]
Алеф-омега [ править ]
Алеф-омега – это
- ℵ ω знак равно суп { ℵ п | п ∈ ω } знак равно суп { ℵ п | n ∈ {0, 1, 2, ...} }
где наименьший бесконечный ординал обозначается как ω. То есть кардинальное число ℵ ω является наименьшей верхней границей
- { ℵ п | n ∈ {0, 1, 2, ...} }.
Примечательно, что ℵ ω - первое несчетное кардинальное число, которое, как можно продемонстрировать в рамках теории множеств Цермело – Френкеля, не равно мощности множества всех действительных чисел 2. ℵ 0 : Для любого натурального числа n ≥ 1 мы можем последовательно предположить, что 2 ℵ 0 = ℵ n , причем можно предположить, что 2 ℵ 0 по крайней мере не меньше любого кардинального числа, которое нам нравится. Основное ограничение ZFC накладывает на значение 2. ℵ 0 заключается в том, что он не может равняться некоторым специальным кардиналам с конфинальностью ℵ 0 . Несчетный бесконечный кардинал κ, имеющий конфинальность ℵ 0, означает, что существует последовательность (счетной длины) κ 0 ≤ κ 1 ≤ κ 2 ≤ ... кардиналов κ i < κ, предел которой (т.е. ее наименьшая верхняя граница) равен κ ( см. теорему Истона ). Согласно приведенному выше определению, ℵ ω является пределом последовательности меньших кардиналов счетной длины.
Алеф- α для общего α [ править ]
Чтобы определить ℵ α для произвольного порядкового числа α, мы должны определить последующую кардинальную операцию , которая присваивает любому кардинальному числу ρ следующий больший хорошо упорядоченный кардинал ρ + (если аксиома выбора верна, это (уникальный) следующий больший кардинал).
Затем мы можем определить числа алефов следующим образом:
- ℵ 0 = ω
- ℵ α +1 = (ℵ α ) +
- ℵ λ знак равно ⋃ { ℵ α | α < λ } для λ бесконечный предельный ординал ,
α - й бесконечный начальный ординал обозначается ω α . Его мощность обозначается ℵ α .
Неформально функция алефа ℵ: On → Cd представляет собой биекцию ординалов в бесконечные кардиналы.Формально в ZFC ℵ — это не функция , а функционально-подобный класс, так как он не является множеством (из-за парадокса Бурали-Форти ).
Фиксированные точки омеги [ править ]
Для любого порядкового номера α имеем
- α ≤ ω α .
Во многих случаях ωα строго больше α . Например, это верно для любого порядкового номера- преемника : выполняется α + 1 < ω α +1 . Однако существуют некоторые предельные ординалы, которые являются фиксированными точками омега-функции из-за леммы о фиксированной точке для нормальных функций . Первым из них является предел последовательности
- ох, ох ох , ох ох ох , ...,
который иногда обозначается ω ω ... .
Любой слабо недостижимый кардинал также является неподвижной точкой функции алеф. [10] Это можно отобразить в ZFC следующим образом. Предположим, что κ = ℵ λ — слабо недостижимый кардинал. Если бы λ был порядковым номером-преемником , то ℵ λ был бы кардинальным-преемником и, следовательно, не был бы слабо недоступным. Если бы λ был предельным ординалом меньшим, чем κ, то его конфинальность (и, следовательно, конфинальность ℵ λ ) была бы меньше, чем κ , и поэтому κ не было бы регулярным и, следовательно, не было бы слабо недостижимым. Таким образом, λ ≥ κ и, следовательно, λ = κ , что делает его неподвижной точкой.
выбора аксиомы Роль
Мощность любого бесконечного порядкового числа является числом алефа. Каждый алеф представляет собой мощность некоторого порядкового номера. Наименьшим из них является его начальный порядковый номер . Любое множество, мощность которого равна алефу, равнозначно порядковому номеру и, следовательно, является хорошо упорядочиваемым .
Каждое конечное множество вполне упорядочиваемо, но не имеет алефа в качестве мощности.
В ZF предположение о том, что мощность каждого бесконечного множества является числом алефа, эквивалентно существованию хорошего порядка каждого набора, что, в свою очередь, эквивалентно аксиоме выбора . Теория множеств ZFC, которая включает в себя аксиому выбора, подразумевает, что каждое бесконечное множество имеет число алефа в качестве своей мощности (т.е. равнозначно своему начальному порядковому номеру), и, таким образом, начальные порядковые номера чисел алефа служат классом представителей для всех возможные бесконечные кардинальные числа.
Когда мощность изучается в ZF без аксиомы выбора, больше невозможно доказать, что каждое бесконечное множество имеет какое-то число алефа в качестве своей мощности; множества, мощность которых равна числу алефа, представляют собой в точности бесконечные множества, которые можно хорошо упорядочить. Метод трюка Скотта иногда используется как альтернативный способ построения представителей кардинальных чисел в условиях ZF. Например, можно определить card( S ) как набор множеств с той же мощностью, что и S , минимально возможного ранга. Это свойство card( S ) = card( T ) тогда и только тогда, когда S и T имеют одинаковую мощность. (Набор card( S ) не имеет такой же мощности, как S в целом, но все его элементы имеют.)
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ В старых книгах по математике буква алеф часто случайно печаталась перевернутой – например, у Серпинского (1958). [3] : 402 буква алеф появляется как правильно, так и перевернуто – отчасти потому, что матрица монотипии для алефа была ошибочно построена неправильно. [4]
Цитаты [ править ]
- ^ «Алеф» . Энциклопедия математики .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Алеф» . mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2020 г.
- ^ Серпинский, Вацлав (1958). Кардинальные и порядковые числительные . Математические монографии Польской академии наук. Том 34. Варшава, Польша: Национальное научное издательство. МР 0095787 .
- ^ Суонсон, Эллен; О'Шон, Арлин Энн; Шлейер, Антуанетта Тингли (2000) [1979]. Математика в шрифт: Редактирование и корректура математики для помощников редакции и авторов (обновленная ред.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 16. ISBN 0-8218-0053-1 . МР 0553111 .
- ^ Миллер, Джефф. «Самые ранние использования символов теории множеств и логики» . jeff560.tripod.com . Проверено 5 мая 2016 г .; кто цитирует Добен, Джозеф Уоррен (1990). Георг Кантор: Его математика и философия бесконечного . Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691024479 .
Его новые номера заслуживали чего-то уникального. ... Не желая самому изобретать новый символ, он выбрал алеф, первую букву еврейского алфавита... алеф можно было считать символом новых начинаний...
- ^ Джех, Томас (2003). Теория множеств . Монографии Спрингера по математике. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Судзик, Мэттью (31 июля 2018 г.). «Гипотеза континуума» . Вольфрам Математический мир . Веб-ресурсы Wolfram . Проверено 15 августа 2018 г.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза континуума» . mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2020 г.
- ^ Чоу, Тимоти Ю. (2007). «Руководство по форсированию для начинающих». arXiv : 0712.1320 [ math.LO ].
- ^ Харрис, Кеннет А. (6 апреля 2009 г.). «Лекция 31» (PDF) . Кафедра математики. kaharris.org . Введение в теорию множеств. Мичиганский университет . Math 582. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 года . Проверено 1 сентября 2012 г.
Внешние ссылки [ править ]
- «Алеф-ноль» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик В. «Алеф-0» . Математический мир .
