Тип заказа

Не путать с упорядоченными типами .

В математике , особенно в теории множеств два упорядоченных множества X и Y , говорят, что имеют один и тот же тип порядка , если они изоморфны по порядку , то есть если существует биекция (каждый элемент соединяется ровно с одним в другом наборе) $f\colon X\to Y$ такие, что и f ней , и обратное монотонны к (сохраняют порядок элементов).

В частном случае, когда X , полностью упорядочено монотонность f уже подразумевает монотонность его обратного.

Один и тот же комплект может комплектоваться разными ордерами. Поскольку порядковая эквивалентность является отношением эквивалентности , оно разбивает класс всех упорядоченных множеств на классы эквивалентности .

Обозначения

Если набор $X$ имеет тип заказа, обозначенный $\sigma$, тип ордера обратного ордера, двойственный ордеру $X$, обозначается $\sigma ^{*}$.

Тип порядка хорошо упорядоченного множества X иногда выражается как ord( X ) .

Примеры

Тип порядка целых и рациональных чисел обычно обозначается $\pi$ и $\eta$, соответственно. Набор чисел имеют один и целых чисел и набор четных целых тот же тип порядка, поскольку отображение $n\mapsto 2n$ является биекцией, сохраняющей порядок. Но набор целых чисел и набор рациональных чисел (со стандартным порядком) не имеют одного и того же типа порядка, потому что, хотя множества имеют одинаковый размер (они оба счетно бесконечны ), не существует сохраняющей порядок биективы отображение между ними. Открытый интервал (0, 1) рациональных чисел порядком изоморфен рациональным числам, поскольку, например, $f(x)={\tfrac {2x-1}{1-\vert {2x-1}\vert }}$ является строго возрастающей биекцией от первого ко второму. Соответствующие теоремы такого рода подробно рассматриваются ниже.

Теперь можно привести больше примеров: набор положительных целых чисел (который имеет наименьший элемент) и набор отрицательных целых чисел (который имеет наибольший элемент). Натуральные числа имеют тип порядка, обозначаемый ω, как объяснено ниже.

Рациональные числа, содержащиеся в полуинтервалах [0,1) и (0,1], а также в замкнутом интервале [0,1], являются тремя дополнительными примерами типов порядка.

Тип заказа хорошо упорядоченный

Три правильного порядка на множестве натуральных чисел с различными типами порядка ( сверху вниз ): $\omega$, $\omega +5$, и $\omega +\omega$.

Каждое хорошо упорядоченное множество по определению эквивалентно ровно одному порядковому числу . Порядковые числа считаются каноническими представителями своих классов, поэтому тип порядка упорядоченного множества обычно отождествляется с соответствующим порядковым номером. Таким образом, типы заказов часто принимают форму арифметических выражений порядковых чисел.

Примеры

Во-первых, типом порядка множества натуральных чисел является ω . Любая другая модель арифметики Пеано , то есть любая нестандартная модель , начинается с отрезка, изоморфного ω, но затем добавляются дополнительные числа. Например, любая счетная такая модель имеет тип порядка ω + (ω* + ω) ⋅ η .

Во-вторых, рассмотрим множество V четных ординалов меньше ω ⋅ 2 + 7 :

$V=\{0,2,4,\ldots ;\omega ,\omega +2,\omega +4,\ldots ;\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+2,\omega \cdot 2+4,\omega \cdot 2+6\}.$

Поскольку он состоит из двух отдельных последовательностей подсчета, за которыми в конце следуют четыре элемента, тип заказа:

$\operatorname {ord} (V)=\omega \cdot 2+4=\{0,1,2,\ldots ;\omega ,\omega +1,\omega +2,\ldots ;\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\omega \cdot 2+2,\omega \cdot 2+3\},$

Рациональные числа

Что касается их стандартного порядка в виде чисел, набор рациональных чисел не является упорядоченным. Если уж на то пошло, то это и не полный набор реалов.

Любое счетное полностью упорядоченное множество можно инъективно отобразить в рациональные числа сохраняющим порядок способом. Более того, когда порядок плотен и не имеет ни старшего, ни младшего элемента, такое отображение даже существует биективно.

См. также

• порядок

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Тип заказа» . Математический мир .