Четные и нечетные ординалы
В математике расширяют четные и нечетные ординалы понятие четности от натуральных чисел до порядковых чисел . Они полезны в некоторых трансфинитной индукции доказательствах .
В литературе имеется несколько эквивалентных определений четности ординала α:
- Каждый предельный порядковый номер (включая 0) четный. Преемником . четного порядкового номера является нечетный, и наоборот [1] [2]
- Пусть α = λ + n , где λ — предельный ординал, а n — натуральное число. Четность α равна четности n . [3]
- Пусть n — конечный член канторовой нормальной формы α. Четность α равна четности n . [4]
- Пусть α = ωβ + n , где n — натуральное число. Четность α равна четности n . [5]
- Если α = 2β, то α четное. В противном случае α = 2β + 1 и α нечетно. [5] [6]
В отличие от случая четных целых чисел , нельзя далее характеризовать четные ординалы как порядковые числа вида β2 = β + β. Порядковое умножение не коммутативно, поэтому в общем случае 2β ≠ β2. В самом деле, четный порядковый номер ω + 4 не может быть выражен как β + β, а порядковый номер
- (ω + 3)2 = (ω + 3) + (ω + 3) = ω + (3 + ω) + 3 = ω + ω + 3 = ω2 + 3
это не даже.
Простым применением порядковой четности является закон идемпотентности для кардинального сложения (с учетом теоремы о хорошем порядке ). Учитывая бесконечный кардинал κ или, вообще говоря, любой предельный ординал κ, κ порядково изоморфен как своему подмножеству четных ординалов, так и своему подмножеству нечетных ординалов. Следовательно, имеем кардинальную сумму κ + κ = κ. [2] [7]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Брукнер, Эндрю М.; Джудит Б. Брукнер и Брайан С. Томсон (1997). Реальный анализ . стр. 37 . ISBN 0-13-458886-Х .
- ^ Перейти обратно: а б Зальцманн Х., Т. Грундхёфер, Х. Хель и Р. Лёвен (2007). Классические поля: структурные особенности действительных и рациональных чисел . Издательство Кембриджского университета. стр. 168 . ISBN 978-0-521-86516-6 .
{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) - ^ Форан, Джеймс (1991). Основы реального анализа . ЦРК Пресс. стр. 110 . ISBN 0-8247-8453-7 .
- ^ Харцхайм, Эгберт (2005). Заказанные наборы . Спрингер. стр. 296 . ISBN 0-387-24219-8 .
- ^ Перейти обратно: а б Камке, Эрих (1950). Теория множеств . Курьер Дувр. п. 96. ИСБН 0-486-60141-2 .
- ^ Хаусдорф, Феликс (1978). Теория множеств . Американское математическое общество. п. 99. ИСБН 0-8284-0119-5 .
- ^ Ройтман, Джудит (1990). Введение в современную теорию множеств . Wiley-IEEE. стр. 88 . ISBN 0-471-63519-7 .