Лемма о фиксированной точке для нормальных функций

Лемма о неподвижной точке для нормальных функций является основным результатом аксиоматической теории множеств, утверждающим, что любая нормальная функция имеет сколь угодно большие неподвижные точки (Леви 1979: стр. 117). Впервые это доказал Освальд Веблен в 1908 году.

и заявление официальное Предыстория

— Обычная функция это класса функция $f$ из класса Ord порядковых чисел в себя такой, что:

$f$ возрастает строго : $f(\alpha )<f(\beta )$ в любое время $\alpha <\beta$ .
$f$ является непрерывным : для каждого предельного порядкового номера $\lambda$ (т.е. $\lambda$ не является ни нулем, ни преемником), $f(\lambda )=\sup\{f(\alpha ):\alpha <\lambda \}$ .

Можно показать, что если $f$ тогда это нормально $f$ ездит с супремой ; для любого непустого множества $A$ ординалов,

f(\sup A)=\sup f(A)=\sup\{f(\alpha ):\alpha \in A\}

.

Действительно, если $\sup A$ является порядковым номером преемника, тогда $\sup A$ является элементом $A$ и равенство следует из возрастающего свойства $f$ . Если $\sup A$ является предельным ординалом, то равенство следует из свойства непрерывности $f$ .

Неподвижной точкой нормальной функции является порядковый номер $\beta$ такой, что $f(\beta )=\beta$ .

Лемма о неподвижной точке утверждает, что класс неподвижных точек любой нормальной функции непуст и фактически неограничен: для любого порядкового номера $\alpha$ , существует порядковый номер $\beta$ такой, что $\beta \geq \alpha$ и $f(\beta )=\beta$ .

Непрерывность нормальной функции означает, что класс неподвижных точек замкнут (супремум любого подмножества класса неподвижных точек снова является неподвижной точкой). Таким образом, лемма о неподвижной точке эквивалентна утверждению, что неподвижные точки нормальной функции образуют замкнутый и неограниченный класс.

Доказательство [ править ]

Первым шагом доказательства является проверка того, что $f(\gamma )\geq \gamma$ для всех порядковых номеров $\gamma$ и это $f$ ездит с супремой. Учитывая эти результаты, индуктивно определите возрастающую последовательность $\langle \alpha _{n}\rangle _{n<\omega }$ установив $\alpha _{0}=\alpha$ , и $\alpha _{n+1}=f(\alpha _{n})$ для $n\in \omega$ . Позволять $\beta =\sup _{n<\omega }\alpha _{n}$ , так $\beta \geq \alpha$ . Более того, поскольку $f$ ездит с супремой,

f(\beta )=f(\sup _{n<\omega }\alpha _{n})

\qquad =\sup _{n<\omega }f(\alpha _{n})

\qquad =\sup _{n<\omega }\alpha _{n+1}

\qquad =\beta

Последнее равенство следует из того, что последовательность $\langle \alpha _{n}\rangle _{n}$ увеличивается. $\square$

Кроме того, можно продемонстрировать, что $\beta$ найденная таким образом наименьшая неподвижная точка, большая или равная $\alpha$ .

Пример приложения [ править ]

Функция f : Ord → Ord, f ( α ) = ω _α нормальна (см. начальный ординал ). Таким образом, существует ординал θ такой, что θ = ω _θ . Фактически лемма показывает, что существует замкнутый неограниченный класс таких θ .

Ссылки [ править ]

Леви, А. (1979). Базовая теория множеств . Спрингер. ISBN 978-0-387-08417-6 . Переиздано, Дувр, 2002 г.
Веблен, О. (1908). «Непрерывные возрастающие функции конечных и трансфинитных ординалов» . Пер. амер. Математика. Соц . 9 (3): 280–292. дои : 10.2307/1988605 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1988605 . Доступно через JSTOR .