Нормальная функция

В аксиоматической теории множеств функция f : Ord → Ord называется нормальной (или нормальной функцией ), если она непрерывна (относительно топологии порядка ) и строго монотонно возрастает . Это эквивалентно следующим двум условиям:

1. Для каждого предельного ординала γ (т. е. γ не является ни нулем, ни преемником ) это тот случай, когда f ( γ ) = sup { f ( ν ) : ν < γ } .
2. Для всех ординалов α < β это тот случай, когда f ( α ) < f ( β ) .

Примеры

Простая нормальная функция задается формулой f ( α ) = 1 + α (см. порядковую арифметику ). Но f ( α ) = α + 1 является не нормальным, поскольку оно не является непрерывным ни в одном предельном ординале; то есть прообразом одноточечного открытого множества { λ + 1} является множество { λ } , которое не является открытым, когда λ является предельным ординалом. Если β — фиксированный ординал, то функции f ( α ) = β + α , f ( α ) = β × α (при β ≥ 1 ) и f ( α ) = β ^а (при β ≥ 2 ) все нормальны.

Более важные примеры нормальных функций представляют собой числа алефов. $f(\alpha )=\aleph _{\alpha }$, которые соединяют порядковые и кардинальные числительные , а также бет-числа $f(\alpha )=\beth _{\alpha }$.

Свойства

Если f нормальна, то для любого α ординала

ж ( α ) ≥ α .

Доказательство : если нет, выберите γ минимальным так, чтобы f ( γ ) < γ . Поскольку f строго монотонно возрастает, f ( f ( γ )) < f ( γ ) , что противоречит минимальности γ .

Более того, для любого непустого множества S ординалов имеем

ж (суп S ) знак равно суп ж ( S ) .

Доказательство : «≥» следует из монотонности f и определения супремума . Для « ≤ » положим δ = sup S и рассмотрим три случая:

• если δ = 0 , то S = {0} и sup f ( S ) = f (0) ;
• если δ = ν + 1 является преемником, то существует s в S такой, что ν < s , так что δ ≤ s . Следовательно, f ( δ ) ≤ f ( s ) , из чего следует f (δ) ≤ sup f ( S ) ;
• если δ — ненулевой предел, выберите любое ν < δ и s из S такие, что ν < s (возможно, поскольку δ = sup S ). Следовательно, f ( ν ) < f ( s ) так, что f ( ν ) < sup f ( S ) , что дает f ( δ ) = sup { f (ν) : ν < δ } ⩽ sup f ( S ) , как и требуется . .

Каждая нормальная функция f имеет сколь угодно большие неподвижные точки; см . в лемме о неподвижной точке для нормальных функций доказательство . Можно создать нормальную функцию f ′ : Ord → Ord , называемую производной f -той , такую, что f ′ ( α ) является α неподвижной точкой f . Иерархию нормальных функций см. в разделе Функции Веблена .

Ссылки

• Джонстон, Питер (1987), Заметки по логике и теории множеств , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-33692-5