Недесарговский самолет
В математике недезаргова плоскость — это проективная плоскость , не удовлетворяющая теореме Дезарга (названной в честь Жирара Дезарга ), или, другими словами, плоскость, не являющаяся дезарговой плоскостью . Теорема Дезарга верна во всех проективных пространствах размерности, отличной от 2; [1] другими словами, единственные проективные пространства размерности, не равной 2, — это классические проективные геометрии над полем (или телом ). Однако Дэвид Гильберт обнаружил, что некоторые проективные плоскости ему не удовлетворяют. [2] [3] Текущее состояние знаний об этих примерах не является полным. [4]
Примеры [ править ]
Существует множество примеров как конечных , так и бесконечных недесарговых плоскостей. Некоторые из известных примеров бесконечных недесарговых плоскостей включают:
- Моултона Самолет .
- Плоскости Муфанг над альтернативными алгебрами с делением, которые не являются ассоциативными, такими как проективная плоскость над октонионами . Поскольку все конечные альтернативные тела являются полями ( теорема Артина–Цорна ), единственные недесарговы плоскости Муфанга бесконечны.
Что касается конечных недезарговых плоскостей, каждая проективная плоскость порядка не выше 8 является дезарговой, но существует три недезарговых примера 9-го порядка, каждый из которых имеет 91 точку и 91 прямую. [5] Они есть:
- Самолет Хьюза 9-го порядка.
- Плоскость Холла порядка 9 . Первоначально открытая Вебленом и Веддерберном до бесконечного семейства плоскостей , эта плоскость была обобщена Маршаллом Холлом . Плоскости Холла являются подклассом более общих плоскостей Андре .
- Двойник . плоскости Холла 9-го порядка
Известны многочисленные другие конструкции как конечных, так и бесконечных недесарговых плоскостей, см., например, Дембовский (1968) . Все известные конструкции конечных недесарговых плоскостей порождают плоскости, порядок которых является собственной простой степенью, т. е. целым числом вида p Это , где p — простое число, а e — целое число, большее 1.
Классификация [ править ]
Ханфрид Ленц дал схему классификации проективных плоскостей в 1954 году: [6] который был усовершенствован Адриано Барлотти в 1957 году. [7] Эта схема классификации основана на типах транзитивности точки и прямой, допускаемых группой коллинеации плоскости, и известна как классификация проективных плоскостей Ленца – Барлотти . Список из 53 типов дан у Дембовского (1968 , стр. 124–125), а таблица известных на тот момент результатов существования (как для групп коллинеации, так и для плоскостей, имеющих такую группу коллинеации) как в конечном, так и в бесконечном случаях появляется на странице. 126. По состоянию на 2007 год «36 из них существуют как конечные группы. От 7 до 12 существуют как конечные проективные плоскости, а 14 или 15 существуют как бесконечные проективные плоскости». [4]
Существуют и другие схемы классификации. Один из самых простых основан на специальных типах планарных тройных колец (ПТР), которые можно использовать для координации проективной плоскости. Этими типами являются поля , тела , альтернативные тела , полуполя , почтиполя , правые почтиполя , квазиполя и правые квазиполя . [8]
Коники и овалы [ править ]
В дезарговой проективной плоскости коника может быть определена несколькими различными способами, эквивалентность которых может быть доказана. В недезарговых плоскостях эти доказательства больше не действительны, и различные определения могут привести к неэквивалентным объектам. [9] Теодор Г. Остром предложил название «коникоид» для этих конических фигур, но не дал формального определения, и этот термин, похоже, не получил широкого распространения. [10]
Есть несколько способов определения коник в дезарговых плоскостях:
- Множество абсолютных точек полярности известно как коника фон Штаудта . Если плоскость определена над полем характеристики два только вырожденные коники . , получаются
- Множество точек пересечения соответствующих прямых двух пучков, связанных проективно, но не перспективно, известно как коника Штейнера . Если карандаши связаны в перспективе, то коника вырождена.
- Множество точек, координаты которых удовлетворяют неприводимому однородному уравнению второй степени.
Более того, в конечной дезарговой плоскости:
- Набор из q + 1 точек, ни одна из которых не лежит на одной прямой в PG(2, q ), называется овалом . Если q нечетно, по теореме Сегре овал в PG(2, q ) является коникой в смысле 3 выше.
- основана Коника Острома на обобщении гармонических множеств.
Артци привел пример коники Штейнера в плоскости Муфанга, которая не является коикой фон Штаудта. [11] Гарнер приводит пример коники фон Штаудта, которая не является коникой Острома в конечной плоскости полуполя. [9]
Примечания [ править ]
- ^ Теорема Дезарга бессмысленно верна в размерности 1; это проблематично только в измерении 2.
- ^ Гильберт, Дэвид (1950) [впервые опубликовано в 1902 году], « Основы геометрии» [Grundlagen der Geometrie] (PDF) , английский перевод Э. Дж. Таунсенда (2-е изд.), La Salle, IL: Open Court Publishing, стр. 48
- ^ Гильберт, Дэвид (1990) [1971], Основы геометрии [Grundlagen der Geometrie] , перевод Лео Унгера из 10-го немецкого издания (2-е английское изд.), La Salle, IL: Open Court Publishing, стр. 74, ISBN 0-87548-164-7 . Согласно сноске на этой странице, исходный «первый» пример, появившийся в более ранних изданиях, был заменен более простым примером Моултона в более поздних изданиях.
- ^ Перейти обратно: а б Вейбель 2007 , с. 1296
- ^ см. Room & Kirkpatrick 1971, где описаны все четыре самолета 9-го порядка.
- ^ Ленц, Ханфрид (1954). «Маленькая теорема Дезарга и двойственность в проективных плоскостях». Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков . 57 :20-31. МР 0061844 .
- ^ Барлотти, Адриано (1957). «Возможные конфигурации системы пар точка-прямая (A,a), для которых графическая плоскость (A,a)-транзитивна». Бык. Мэтт. Итал . 12 : 212–226. МР 0089435 .
- ^ Колборн и Диниц 2007 , стр. 723 статья Лео Сторма о конечной геометрии.
- ^ Перейти обратно: а б Гарнер, Сирил В. Л. (1979), «Коники в конечных проективных плоскостях», Journal of Geometry , 12 (2): 132–138, doi : 10.1007/bf01918221 , MR 0525253
- ^ Остром, Т.Г. (1981), «Коникоиды: конические фигуры в непапповых плоскостях», Плауманн, Питер; Штрамбах, Карл (ред.), Геометрия - точка зрения фон Штаудта , Д. Райдель, стр. 175–196, ISBN 90-277-1283-2 , МР 0621316
- ^ Артзи, Р. (1971), «Коническая y = x 2 в плоскостях Муфанг», Mathematical Equations , 6 : 30–35, doi : 10.1007/bf01833234
Ссылки [ править ]
- Альберт, А. Адриан; Сэндлер, Рубен (1968), Введение в конечные проективные плоскости , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон.
- Колборн, Чарльз Дж.; Диниц, Джеффри Х. (2007), Справочник по комбинаторным планам (2-е изд.), Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC, ISBN 1-58488-506-8
- Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия , Берлин: Springer Verlag
- Холл, Маршалл (1943), «Проективные плоскости», Труды Американского математического общества , 54 (2), Американское математическое общество: 229–277, doi : 10.2307/1990331 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990331 , MR 0008892
- Хьюз, Дэниел Р.; Пайпер, Фред К. (1973), Проекционные плоскости , Нью-Йорк: Springer Verlag, ISBN 0-387-90044-6
- Картези, Ф. (1976), Введение в конечную геометрию , Амстердам: Северная Голландия, ISBN 0-7204-2832-7
- Люнебург, Хайнц (1980), Самолеты перевода , Берлин: Springer Verlag, ISBN 0-387-09614-0
- Комната, ТГ; Киркпатрик, П.Б. (1971), Геометрия миникватернионов , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-07926-8
- Сидоров, Л.А. (2001) [1994], «Недесаргова геометрия» , Энциклопедия математики , EMS Press
- Стивенсон, Фредерик В. (1972), Проекционные плоскости , Сан-Франциско: WH Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9
- Вейбель, Чарльз (2007), «Обзор недесарговых самолетов» , Уведомления AMS , 54 (10): 1294–1303.