Из конического Штаудта

В проективной геометрии коника фон Штаудта — это набор точек, определяемый всеми абсолютными точками полярности, имеющей абсолютные точки. В вещественной проективной плоскости коника фон Штаудта представляет собой коническое сечение в обычном смысле. В более общих проективных плоскостях это не всегда так. Карл Георг Кристиан фон Штаудт представил это определение в «Геометрии дер Лаге» (1847) как часть своей попытки удалить все метрические концепции из проективной геометрии.

Полярности

Полярность π биекцию $точками$ проективной плоскости $P$ представляет собой инволютивную (т. е. второго порядка) между и прямыми плоскости $P$ , которая сохраняет отношение инцидентности . образом, полярность связывает точку $Q$ с линией $q$ , и, следуя Жергонну , $q$ называется полярой Q $-$ а $Q$ полюсом , q $Таким$ . ^[1] Абсолютная точка ( линия ) полярности — это точка, падающая с ее поляром (полюсом). ^[2]^[3]

Полярность может иметь или не иметь абсолютные точки. Полярность с абсолютными точками называется гиперболической полярностью , а полярность без абсолютных точек — эллиптической полярностью . ^[4] В комплексной проективной плоскости все полярности гиперболичны, но в вещественной проективной плоскости гиперболическими являются лишь некоторые из них. ^[4]

Классификация полярностей над произвольными полями следует из классификации полуторалинейных форм, данной Биркгофом и фон Нейманом. ^[5] Ортогональные полярности, соответствующие симметричным билинейным формам, также называются обычными полярностями , а место абсолютных точек образует невырожденную конику (множество точек, координаты которых удовлетворяют неприводимому однородному квадратному уравнению), если поле не имеет характеристики два. Во второй характеристике ортогональные полярности называются псевдополярностями , а на плоскости абсолютные точки образуют линию. ^[6]

Конечные проективные плоскости

Если $π$ — полярность конечной проективной плоскости (которая не обязательно должна быть дезарговой) $P$ порядка $n,$ то количество ее абсолютных точек (или абсолютных линий) $a (π)$ определяется выражением:

а (π) знак равно п + 2 р \sqrt п + 1

,

где $r$ — неотрицательное целое число. ^[7]Поскольку $a (π)$ — целое число, $a (π) = n + 1$ , если $n$ не является квадратом, и в этом случае $π$ называется ортогональной полярностью .

Р. Бэр показал, что если $n$ нечетно, абсолютные точки ортогональной полярности образуют овал (т. е. $n + 1$ точка, никаких трех коллинеарных ), а если $n$ четно, абсолютные точки лежат на неабсолютной полярности. линия. ^[8]

Таким образом, коники фон Штаудта не являются овалами в конечных проективных плоскостях (дезарговых или нет) четного порядка. ^[9]^[10]

Связь с другими типами коник

В папповской плоскости (т. е. проективной плоскости, координируемой полем ) , если поле не имеет характеристики два, коника фон Штаудта эквивалентна конике Штейнера . ^[11] Однако Р. Арци показал, что эти два определения коник могут создавать неизоморфные объекты в (бесконечных) плоскостях Муфанга . ^[12]

Примечания

^ Коксетер 1964 , с. 60
^ Гарнер 1979 , с. 132
^ Коксетер и несколько других авторов используют термин самосопряженный вместо абсолютного.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Коксетер 1964 , с. 72
^ Биркгоф, Г.; фон Нейман, Дж. (1936), «Логика квантовой механики», Ann. Математика. , 37 : 823–843
^ Барвик, Сьюзен; Эберт, Гэри (2008), Юнитали в проективных плоскостях , Springer, стр. 16–18, ISBN 978-0-387-76364-4
^ Болл, Р.В. (1948), «Двойственность конечных проективных плоскостей», Duke Mathematical Journal , 15 : 929–940, doi : 10.1215/s0012-7094-48-01581-6
^ Баер, Рейнхольд (1946), «Полярности в конечных проективных плоскостях», Бюллетень Американского математического общества , 52 : 77–93, doi : 10.1090/s0002-9904-1946-08506-7
^ Гарнер 1979 , с. 133
^ Дембовский 1968 , стр. 154–155.
^ Коксетер 1964 , с. 80
^ Артзи, Р. (1971), «Коническая y = x ² в плоскостях Муфанг», Mathematical Equations , 6 : 30–35, doi : 10.1007/bf01833234

Ссылки

Коксетер, HSM (1964), Проективная геометрия , Блейсделл
Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия , результаты математики и ее пограничные области , Том 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , МР 0233275
Гарнер, Сирил В. Л. (1979), «Коники в конечных проективных плоскостях», Journal of Geometry , 12 (2): 132–138, doi : 10.1007/bf01918221

Дальнейшее чтение

Остром, Т.Г. (1981), «Коникоиды: конические фигуры в непапповых плоскостях», Плауманн, Питер; Штрамбах, Карл (ред.), Геометрия - точка зрения фон Штаудта , Д. Райдель, стр. 175–196, ISBN 90-277-1283-2

[1] Коксетер 1964 , с. 60

[2] Гарнер 1979 , с. 132

[3] Коксетер и несколько других авторов используют термин самосопряженный вместо абсолютного.

[Coxeter72-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Коксетер 1964 , с. 72

[5] Биркгоф, Г.; фон Нейман, Дж. (1936), «Логика квантовой механики», Ann. Математика. , 37 : 823–843

[6] Барвик, Сьюзен; Эберт, Гэри (2008), Юнитали в проективных плоскостях , Springer, стр. 16–18, ISBN 978-0-387-76364-4

[7] Болл, Р.В. (1948), «Двойственность конечных проективных плоскостей», Duke Mathematical Journal , 15 : 929–940, doi : 10.1215/s0012-7094-48-01581-6

[8] Баер, Рейнхольд (1946), «Полярности в конечных проективных плоскостях», Бюллетень Американского математического общества , 52 : 77–93, doi : 10.1090/s0002-9904-1946-08506-7

[9] Гарнер 1979 , с. 133

[10] Дембовский 1968 , стр. 154–155.

[11] Коксетер 1964 , с. 80

[12] Артзи, Р. (1971), «Коническая y = x ² в плоскостях Муфанг», Mathematical Equations , 6 : 30–35, doi : 10.1007/bf01833234

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]