Овал (проективная плоскость)

К определению овала:
e: внешняя (проходная) линия,
т: касательная,
s: секущая

В проективной геометрии овал — это множество точек на плоскости, определяемое свойствами инцидентности . Стандартные примеры — невырожденные коники . Однако коника определена только в папповской плоскости , тогда как овал может существовать в проективной плоскости любого типа. В литературе существует множество критериев, предполагающих, что овал является коникой, но существует множество примеров, как бесконечных, так и конечных, овалов в папповских плоскостях, которые не являются кониками.

Как уже упоминалось, в проективной геометрии овал определяется свойствами инцидентности, но в других областях овалы могут определяться по другим критериям, например, в дифференциальной геометрии по условиям дифференцируемости в вещественной плоскости .

Аналогом овала более высокого измерения является овал в проективном пространстве .

Обобщением концепции овала является абстрактный овал , представляющий собой структуру, не обязательно вложенную в проективную плоскость. Действительно, существуют абстрактные овалы, которые не могут лежать ни в одной проективной плоскости.

Определение овала

• На проективной плоскости множество точек Ω называется овалом , если:

1. Любая прямая l пересекает Ω не более чем в двух точках, и
2. Для любой точки P ∈ Ω существует ровно одна касательная t, проходящая через P , т. е. t ∩ Ω = { P }.

Когда | л ∩ Ом | = 0 линия l является внешней линией (или проходной ), если | л ∩ Ом | = 1 касательная линия и если | л ∩ Ом | = 2 линия является секущей .

Для конечных плоскостей (т. е. множество точек конечно) у нас есть более удобная характеристика:

• Для конечной проективной плоскости порядка n (т.е. любая прямая содержит n + 1 точку) множество точек Ω является овалом тогда и только тогда, когда | Ом | = n + 1 и никакие три точки не лежат на одной прямой.

Набор точек аффинной плоскости, удовлетворяющий приведенному выше определению, называется аффинным овалом .

Аффинный овал всегда является проективным овалом в проективном замыкании (добавлении бесконечной линии) лежащей в основе аффинной плоскости.

Овал также можно рассматривать как особое квадратичное множество .

Примеры

Конические сечения

проективная коника в неоднородных координатах: парабола плюс точка на бесконечности оси

проективная коника в неоднородных координатах: гипербола плюс точки на бесконечности асимптот

В любой папповской проективной плоскости существуют невырожденные проективные конические сечения.и любое невырожденное проективное коническое сечение есть овал. Это утверждение можно проверить непосредственным вычислением для любой из коник (например, параболы или гиперболы ).

Невырожденные коники — это овалы со специальными свойствами:

• Теорема Паскаля и ее различные вырождения справедливы.
• Существует множество проективностей , оставляющих конический инвариант.

Овалы, не являющиеся кониками

в реальном самолете

1. склеить половину круга и половину эллипса Если плавно , получится неконический овал.
2. Если взять неоднородное представление конического овала в виде параболы плюс бесконечно удаленная точка и заменить выражение x ² по х ⁴ , получается овал, который не является коническим.
3. Если взять неоднородное представление конического овала как гиперболу плюс две точки, удаленные от бесконечности, и заменить выражение ⁠ 1 / x ⁠ по ⁠ 1 / х ³ ⁠ , получается овал, который не является коническим.
4. Неявная кривая x ⁴ + и ⁴ = 1 — неконический овал.

в конечной плоскости четного порядка

1. В конечной папповской плоскости четного порядка невырожденная коника имеет ядро ​​(единственную точку, через которую проходит каждая касательная), которое можно поменять местами с любой точкой коники, чтобы получить овал, который не является коникой.
2. Для поля K = GF(2 ^м ) с 2 ^м элементы пусть

$\Omega =\{(x,y)\in K^{2}\;|y=x^{2^{k}}\;\}\;\cup \;\{(\infty )\}$

Для k ∈ {2,..., m − 1} и k и m взаимно простых множество Ω является овалом, который не является коникой.

Дополнительные конечные примеры можно найти здесь:

Критерии того, что овал является коническим.

Чтобы овал был коническим, овал и/или плоскость должны удовлетворять дополнительным условиям. Вот некоторые результаты:

1. Овал в произвольной проективной плоскости, удовлетворяющий условию инцидентности теоремы Паскаля или ее 5-точечному вырождению, является невырожденной коникой.
2. Если Ω — овал в папповой проективной плоскости и группа проективностей, оставляющих Ω инвариантной, 3-транзитивна, т. е. для 2 троек A ₁ , A ₂ , A ₃ ; B ₁ , B ₂ , B ₃ точек существует проективность π такая, что π( A _i ) = B _i , i = 1,2,3 . В конечном случае 2-транзитивности . достаточно
3. Овал Ω в папповской проективной плоскости характеристики ≠ 2 является коникой тогда и только тогда, когда для любой точки P касательной существует инволютивная перспективность (симметрия) с центром P , которая оставляет Ω инвариантным.
4. Если Ω — овал в конечном дезарговом (паппова) проективная плоскость нечетного порядка PG(2, q ) , то Ω является коникой по теореме Сегре . ). Это означает, что после возможной замены координат каждый овал PG(2, q ) с q нечетным имеет параметризацию:

$\{(t,t^{2},1)\mid t\in GF(q)\}\cup \{(0,1,0)\}.$

Для топологических овалов справедливы следующие простые критерии:

5. Любой замкнутый овал комплексной проективной плоскости является коникой.

Дальнейшие результаты об овалах в конечных плоскостях

Овал в конечной проективной плоскости порядка q представляет собой ( q + 1, 2 ) -дугу , другими словами, набор из q + 1 точек, не более трех коллинеарных. Овалы в дезарговой (папповой) проективной плоскости PG(2, q ) при q нечетном являются не чем иным, как неособыми кониками. Однако овалы в PG(2, q ) для q даже еще не классифицированы.

В произвольной конечной проективной плоскости нечетного порядка q не существует множеств с числом точек больше, чем q + 1 , из которых никакие три не лежат на одной прямой, как впервые указал Бозе в статье 1947 года о приложениях такого рода математики к статистическим задачам. планирование экспериментов. Кроме того, по По теореме Квиста через любую точку, не лежащую на овале, проходят либо ноль, либо две касательные к этому овалу.

Гиперовал (4 красные точки) на 7-точечной плоскости Фано.

Когда q четное, ситуация совершенно иная.

В этом случае могут существовать множества из q + 2 в конечной проективной плоскости порядка q точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой , и они называются гиперовалами ; это максимальные дуги степени 2.

Для овала существует единственная касательная, проходящая через каждую точку, и если q четно, то теорема Квиста показывает, что все эти касательные совпадают в точке P вне овала. Добавление этой точки (называемой ядром овала или иногда узлом ) к овалу дает гиперовал. И наоборот, удаление любой точки из гиперовала немедленно дает овал.

Поскольку все овалы в случае четного порядка содержатся в гиперовалах, описание (известных) гиперовалов неявно дает все (известные) овалы. Овалы, полученные удалением точки из гиперовала, проективно эквивалентны тогда и только тогда, когда удаленные точки находятся в одной орбите группы автоморфизмов гиперовала. Есть только три небольших примера (в дезарговых плоскостях), когда группа автоморфизмов гиперовала транзитивна в своих точках. Итак, вообще говоря, в одном гиперовале содержатся разные типы овалов.

Дезарговский случай: PG(2,2 ^час )

Это наиболее изученный случай, поэтому об этих гиперовалах известно больше всего.

Всякая неособая коника на проективной плоскости вместе со своим ядром образует гиперовал. Их можно назвать гиперкониками , но более традиционным термином являются правильные гиперовалы . Для каждого из этих множеств существует такая система координат, что набор имеет вид:

$\{(t,t^{2},1)\mid t\in GF(q)\}\cup \{(0,1,0)\}\cup \{(1,0,0)\}.$

Однако многие другие типы гиперовалов PG(2, q ) можно найти, если q > 8. Гиперовалы PG(2, q ) даже для q классифицированы только для q на сегодняшний день <64.

В PG(2.2 ^час ), h > 0, гиперовал содержит не менее четырех точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Таким образом, по Основной теореме проективной геометрии мы всегда можем считать, что точки с проективными координатами (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) и (1,1,1) содержатся в любом гиперовале. Остальные точки гиперовала (при h > 1) будут иметь вид (t, f(t),1), где t пробегает значения конечного поля GF(2 ^час ) и f — функция в этом поле, которая представляет перестановку и может быть однозначно выражена в виде многочлена степени не выше 2. ^час - 2, т.е. это полином перестановки . Обратите внимание, что f(0) = 0 и f(1) = 1 обусловлены предположением о включении указанных точек. Другие ограничения на f накладываются условием коллинеарности отсутствия трех точек. f , который таким образом образует гиперовал, называется o-многочленом . В следующей таблице перечислены все известные гиперовалы (по состоянию на 2011 г.)ПГ(2,2 ^час ), задав o-полином и любые ограничения на значение h , необходимые для того, чтобы отображаемая функция была o-полиномом. Обратите внимание, что все показатели должны быть взяты мод(2 ^час - 1).

Известные гиперовалы в PG(2,2 ^час )

Имя	O-полиномиальный	Ограничение поля	Ссылка
Гиперконический	е(т) = т 2	Никто	Классический
Перевод	$f(t)=t^{2^{i}}$ (i,h) = 1	Никто	( Секрет 1962 г. )
секрет	е(т) = т 6	ч странный	( Секрет 1962 г. ); ( Сегре и Барточчи, 1971 )
Глинн я	е(т) = т 3с+4 (см. ниже)	ч странный	( Глинн 1983 )
Глинн II	е(т) = т с+с (см. ниже)	ч странный	( Глинн 1983 )
Пейн	е(т) = т 1/6 +т 1/2 +т 5/6	ч странный	( Пейн 1985 )
Черовицо	е(т) = т п + т р+2 + т 3с+4	ч странный	( Черовицо 1988 ); ( Черовицо 1998 )
Субиако	см. а) ниже	Никто	( Черовицо и др., 1996 г. )
Аделаида	см. б) ниже	ч даже	( Черовицо, О'Киф и Пенттила, 2003 г. )
Пенттила-О'Киф	см. в) ниже	ч = 5	( О'Киф и Пенттила, 1992 )
где $\gamma ^{4}\equiv \sigma ^{2}\equiv 2({\bmod {(}}2^{h}-1))$.

^а) О-полином Субиако определяется следующим образом: $f(t)={{d^{2}t^{4}+d^{2}(1+d+d^{2})t^{3}+d^{2}(1+d+d^{2})t^{2}+d^{2}t} \over {t^{4}+d^{2}t^{2}+1}}+t^{1/2},$в любое время $tr(1/d)=1{\hbox{ and }}d\not \in GF(4){\hbox{ if }}h\equiv 2({\bmod {4}})$,где tr — абсолютная функция следа GF(2 ^час ). Этотo-полиномиал порождает единственный гиперовал, если $h\not \equiv 2({\bmod {4}})$ и двумнеэквивалентные гиперовалы, если $h\equiv 2({\bmod {4}}),h>2$.

^б) Чтобы описать гиперовалы Аделаиды, мы начнем с несколько более общей ситуации. Пусть F = GF(q) и K = GF(q ² ) . Позволять $b\in K$ быть элементом нормы 1, отличным от 1, т.е. b ^д+1 = 1, $b\neq 1$. Рассмотрим полином, для $t\in F$,

f(t) = ( tr (b)) ⁻¹ тр (б ^м )(t + 1) + ( tr (b)) ⁻¹ tr ((bt + b ^д ) ^м )(t + tr (б)t ^½ + 1) ^1-м + т ^½ ,

где tr (x) = tr _K/F (x) = x + x ^д .Когда q = 2 ^час , с четным h и m = ±(q - 1)/3, указанное выше f(t) является o-полиномом для гиперовала Аделаиды.

^в) o-полином Пенттилы-О'Кифа определяется выражением:

е(т) = т ⁴ + т ¹⁶ + т ²⁸ + ч ¹¹ (т ⁶ + т ¹⁰ + т ¹⁴ + т ¹⁸ + т ²² + т ²⁶ ) + ч ²⁰ (т ⁸ + т ²⁰ ) + ч ⁶ (т ¹² + т ²⁴ ),

где η — примитивный корень GF(32), удовлетворяющий η ⁵ = час ² + 1.

Гиперовалы в PG(2, q), q четные, q ≤ 64

Поскольку все гиперовалы в дезарговых плоскостях 2, 4 и 8 порядков являются гиперкониками, мы будем рассматривать только плоскости порядков 16, 32 и 64.

ПГ(2,16)

В ( Lunelli & Sce 1958 ) описаны подробности компьютерного поиска полные дуги приведены в плоскостях малого порядка, выполненные по предложению Б. Сегре. В PG(2,16) они обнаружили ряд гиперовалов, не являющихся гиперконическими. В 1975 году М. Холл-младший показал: также при значительной помощи компьютера выяснилось, что в этой плоскости существует только два класса проективно неэквивалентных гиперовалов: гиперконики и гиперовалы, найденные Лунелли и Ске. Из 2040 o-полиномов, дающих гиперовал Лунелли-Сце , мы показываем только один:

е(х) = х ¹² + х ¹⁰ + ч ¹¹ х ⁸ + х ⁶ + ч ² х ⁴ + ч ⁹ х ² ,

где η — примитивный элемент GF(16), удовлетворяющий η ⁴ = п + 1.

В своей статье 1975 года Холл описал ряд коллинеаций плоскости, которые стабилизировали гиперовал Лунелли-Сце, но не показал, что они порождают полную группу автоморфизмов этого гиперовала. Пейн и Конклин (1978), используя свойства связанного обобщенного четырехугольника , показали, что группа автоморфизмов не может быть больше, чем группа, заданная Холлом. Корхмарош (1978) независимо дал конструктивное доказательство этого результата, а также показал, что на дезарговых плоскостях гиперовал Лунелли-Ссе представляет собой единственный неправильный гиперовал (негиперконический), допускающий транзитивную группу автоморфизмов (и что единственные гиперовалы, допускающие такую ​​группу относятся к порядкам 2 и 4).

О'Киф и Пенттила (1991) опровергли результаты классификации Холла без использования компьютера. Их аргумент состоит в том, чтобы найти верхнюю границу числа o-полиномов, определенных над GF(16) , а затем, исследуя возможные группы автоморфизмов гиперовалов в этой плоскости, показать, что если в этой плоскости существует гиперовал, отличный от известных, тогда верхняя граница будет превышена. Браун и Черовицо (2000) обеспечивает теоретико-групповую конструкцию гиперовала Лунелли-Ссе как объединения орбит группы, порожденной уравнениями PGU(3,4), рассматриваемыми как подгруппа PGL(3,16). В эту статью также включено обсуждение некоторых замечательныхсвойства, касающиеся пересечений гиперовалов Лунелли-Ссе и гиперконик. В Черовицо и др. (1996) показано, что гиперовал Лунелли-Сце является первым нетривиальным членом семейства Субиако. В работе Cherowitzo, O'Keefe & Penttila (2003) показано, что это первый нетривиальный член семейства Аделаиды.

ПГ(2,32)

Поскольку h = 5 нечетно, ряд известных семейств имеет здесь представителя, но из-за малойразмера плоскости существуют некоторые ложные эквивалентности, на самом деле каждый из гиперовалов типа Глинна естьпроективно эквивалентен гиперовалу трансляции, а гиперовал Пейна проективно эквивалентен гиперовалу Субиако (это не происходит в больших плоскостях). В частности, существует три класса гиперовалов (мономиального типа) — гиперконики (f(t) = t ² ), собственные гиперовалы трансляции (f(t) = t ⁴ ) и гиперовалы Сегре (f(t) = t ⁶ ). Существуют также классы, соответствующие гиперовалам Пейна и гиперовалам Черовицо. В О'Киф, Пенттила и Прегер (1991) коллинеацияопределены группы, стабилизирующие каждый из этих гиперовалов. Обратите внимание, что при первоначальном определении группы коллинеации для гиперовалов Пейна случай q = 32 нужно было рассматривать отдельно и в значительной степени полагаться на компьютерные результаты. В работе O'Keefe, Penttila & Praeger (1991) представлена ​​альтернативная версия доказательства, которая не учитываетзависят от компьютерных вычислений.

В 1991 году О'Киф и Пенттила обнаружили в этой плоскости новый гиперовал с помощью детального исследования.исследование свойств делимости порядков групп автоморфизмов гипотетическихгиперовалы. Один из его o-полиномов имеет вид:

е(х) = х ⁴ + х ¹⁶ + х ²⁸ + ч ¹¹ (х ⁶ + х ¹⁰ + х ¹⁴ + х ¹⁸ + х ²² + х ²⁶ ) + ч ²⁰ (х ⁸ + х ²⁰ ) + ч ⁶ (х ¹² + х ²⁴ ),

где η — примитивный корень GF(32), удовлетворяющий η ⁵ = час ² + 1. Полная группа автоморфизмов этого гиперовала имеет порядок 3.

Пенттила и Ройл (1994) грамотно структурировали исчерпывающий компьютерный поиск всех гиперовалов в этой плоскости. В результате приведенный выше листинг оказался полным: в PG(2,32) всего шесть классов гиперовалов.

ПГ(2,64)

Распространив идеи О'Кифа и Пенттилы (1992) на PG(2,64), Пенттила и Пиннери (1994) смогли найти гиперовалы, группа автоморфизмов которых допускала коллинеацию порядка 5. Они нашли два гиперовала и показали, что нет другойВ этой плоскости существует гиперовал, обладающий таким автоморфизмом. Этим положительно решен давно открытый вопрос Б. Сегре, который хотел знать, есть ли в этой плоскости какие-либо гиперовалы, кроме гиперконик. Гиперовалы – это:

е(х) = х ⁸ + х ¹² + х ²⁰ + х ²² + х ⁴² + х ⁵² + ч ²¹ (х ⁴ +х ¹⁰ +х ¹⁴ +х ¹⁶ +х ³⁰ +х ³⁸ +х ⁴⁴ +х ⁴⁸ +х ⁵⁴ +х ⁵⁶ +х ⁵⁸ +х ⁶⁰ +х ⁶² ) + ч ⁴² (х ² + х ⁶ + х ²⁶ + х ²⁸ + х ³² + х ³⁶ + х ⁴⁰ ),

который имеет группу автоморфизмов порядка 15, и

е(х) = х ²⁴ + х ³⁰ + х ⁶² + ч ²¹ (х ⁴ +х ⁸ +х ¹⁰ +х ¹⁴ +х ¹⁶ +х ³⁴ +х ³⁸ +х ⁴⁰ +х ⁴⁴ +х ⁴⁶ +х ⁵² +х ⁵⁴ +х ⁵⁸ +х ⁶⁰ ) + ч ⁴² (х ⁶ + х ¹² + х ¹⁸ + х ²⁰ + х ²⁶ + х ³² + х ³⁶ + х ⁴² + х ⁴⁸ +х ⁵⁰ ),

который имеет группу автоморфизмов порядка 60, где η — примитивный элемент GF(64), удовлетворяющий η ⁶ = η + 1. В Cherowitzo et al. (1996) показано, что это гиперовалы Субиако. Уточнив программу компьютерного поиска, Пенттила и Ройл (1994) расширили поиск до гиперовалов, допускающих автоморфизм порядка 3, и нашли гиперовал:

е(х) = х ⁴ + х ⁸ + х ¹⁴ + х ³⁴ + х ⁴² + х ⁴⁸ + х ⁶² + ч ²¹ (х ⁶ +х ¹⁶ +х ²⁶ +х ²⁸ +х ³⁰ +х ³² +х ⁴⁰ +х ⁵⁸ ) + ч ⁴² (х ¹⁰ + х ¹⁸ + х ²⁴ + х ³⁶ + х ⁴⁴ + х ⁵⁰ + х ⁵² + х ⁶⁰ ),

который имеет группу автоморфизмов порядка 12 (η — примитивный элемент GF(64), как указано выше). Этот гиперовал является первым отчетливым гиперовалом Аделаиды.

Пенттила и Ройл показали, что любой другой гиперовал в этой плоскости должен иметь тривиальную группу автоморфизмов. Это означало бы, что существует множество проективно эквивалентных копий такого гиперовала, но общие поиски на сегодняшний день не нашли ни одной, что подтверждает гипотезу о том, что в этой плоскости нет других.

Абстрактные овалы

Далее ( Bue1966 ) абстрактный овал , также называемый B-овалом , порядка $n$ это пара $(F,{\mathfrak {G}})$ где $F$ представляет собой набор $n+1$ элементы, называемые точками, и ${\mathfrak {G}}$ представляет собой совокупность инволюций, действующих на $F$ резко квази2-транзитивным образом, т. е. для любых двух $(a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2})\in F$ с $a_{i}\neq b_{j}$ для $i,j\in \{1,2\}$, существует ровно один $\sigma \in {\mathfrak {G}}$ с $\sigma (a_{1})=a_{2}$ и $\sigma (b_{1})=b_{2}$.Любой овал, вложенный в проективную плоскость порядка. $q$ может быть наделен структурой абстрактного овала того же порядка. Обратное, вообще говоря, неверно для $n\geq 8$; действительно, для $n=8$ есть два абстрактных овала, которые нельзя вложить в проективную плоскость, см. ( Fa1984 ).

Когда $n$ четно, подобная конструкция дает абстрактные гиперовалы , см. ( Po1997 ): абстрактный гиперовал порядка $n$ это пара $(F,{\mathfrak {G}})$ где $F$ представляет собой набор $n+2$ элементы и ${\mathfrak {G}}$ представляет собой набор свободных инволюций с неподвижной точкой, действующих на $F$ такая, что для любого набора из четырех различных элементов $a,b,c,d\in F$есть ровно один $\sigma \in {\mathfrak {G}}$ с $\sigma (a)=b,\sigma (c)=d$.

См. также

• Овоид (проективная геометрия)

Ссылки

• Бойтельспехер, Альбрехт ; Розенбаум, Ют (1998), Проективная геометрия / от основ к приложениям , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-48364-3
• Букенхаут, Ф. (1966), «Внутренние исследования овалов», Rend. Мачта. E Прил. , 25 (5): 333–393, МР   0218956
• Браун, Джулия Миннесота; Черовицо, Уильям Э. (2000), «Гиперовал Лунелли-Сце в PG (2,16)», J. Geom. , 69 (1–2): 15–36, doi : 10.1007/BF01237471 , MR   1800454
• Черовицо, Уильям (1988), «Гиперовалы в дезарговых плоскостях четного порядка», Ann. Дискретная математика. , Анналы дискретной математики, 37 : 87–94, doi : 10.1016/s0167-5060(08)70228-0 , ISBN  978-0-444-70369-9 , МР   0931308
• Черовицо, В. (1996), «Гиперовалы в дезарговых плоскостях: обновленная информация», Discrete Math. , 155 (1–3): 31–38, doi : 10.1016/0012-365X(94)00367-R , MR   1401356
• Черовицо, В. (1998), "α-флоки и гиперовалы", Geom. Дедиката , 72 (3): 221–246, doi : 10.1023/A:1005022808718 , MR   1647703
• Черовицо, Уильям Э.; О'Киф, Кристин М .; Пенттила, Тим (2003), «Единая конструкция конечных геометрий, связанных с q -кланами в характеристике 2», Adv. Геом. , 3 (1): 1–21, doi : 10.1515/адвг.2003.002 , МР   1956585
• Черовицо, В.; Пенттила, Т.; Пиннери, И.; Ройл, Г. Ф. (1996), «Стайки и овалы», Geom. Дедиката , 60 (1): 17–37, doi : 10.1007/BF00150865 , MR   1376478
• Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия , результаты математики и ее пограничные области , Том 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  3-540-61786-8 , МР   0233275
• Фаина, Г. (1984), «B-овалы порядка q ≤ 8», J. Combin. Теория Сер. А , 36 (3): 307–314, doi : 10.1016/0097-3165(84)90038-4 , МР   0744079
• Глинн, Дэвид Г. (1983), «Две новые последовательности овалов в конечных дезарговых плоскостях четного порядка», (Комбинаторная математика, X) Конспекты лекций по математике. , том. 1036, Берлин: Springer, стр. 217–229, doi : 10.1007/BFb0071521 , MR   0731584.
• Холл, Маршалл-младший (1975), «Овалы в дезарговой плоскости порядка 16 », Ann. Мат. Приложение Пура. (4) , 102 : 159–176, doi : 10.1007/bf02410604 , MR   0358552
• Хиршфельд, JWP (1998), Проективная геометрия над конечными полями (2-е изд.), Нью-Йорк: The Clarendon Press Oxford University Press, стр. xiv+555, ISBN  0-19-850295-8 , МР   1612570
• Корхмарош, Г. (1978), «Группы коллинеаций, транзитивные в точках овала [ q+2 -дуга] из S _2,q для q четного », Atti Sem. Мат. Фис. унив. Модена (на итальянском и английском языках), 27 (1): 89–105 (1979), MR   0551092.
• Корхмарош, Г. (1991), «Старые и новые результаты об овалах в конечных проективных плоскостях», (Обзоры по комбинаторике, 1991) London Math. Соц. Конспект лекций Сер. , том. 166, Кембридж: Кембриджский университет. Пресс, стр. 41–72, МР   1161460.
• Лунелли, Л.; Sce, M. (1958), полные k -ребра в дезарговых проективных плоскостях ранга 8 и 16 (на итальянском языке), Милан: Centro di Calcoli Numerici, Politecnico di Milano, p. 15, МР   0157276
• О'Киф, Кристин М .; Пенттила, Тим (1992), «Новый гиперовал в PG (2,32)», J. Geom. , 44 (1–2): 117–139, doi : 10.1007/BF01228288 , MR   1169414
• О'Киф, Кристин М .; Пенттила, Тим (1991), «Гиперовалы в PG (2,16)», Европейский журнал комбинаторики , 12 (1): 51–59, doi : 10.1016/s0195-6698(13)80007-8 , MR   1087648
• О'Киф, Кристин М .; Пенттила, Тим; Прегер, Шерил Э. (1991), «Стабилизаторы гиперовалов в PG (2,32)», Достижения в области конечной геометрии и конструкций, Chelwood Gate, 1990 , Нью-Йорк: Oxford Univ. Пресс, стр. 337–351, МР   1138755.
• Пейн, Стэнли Э. (1985), «Новое бесконечное семейство обобщенных четырехугольников», Congressus Numerantium , 49 : 115–128, MR   0830735
• Пейн, Стэнли Э.; Конклин, Джеймс Э. (1978), «Необычный обобщенный четырехугольник шестнадцатого порядка», Журнал комбинаторной теории, серия A , 24 (1): 50–74, doi : 10.1016/0097-3165(78)90044-4 , МР   0462984
• Пенттила, Тим; Пиннери, Ивано (1994), "Неправильные гиперовалы в PG (2,64)", J. Geom. , 51 (1–2): 89–100, doi : 10.1007/BF01226860 , MR   1298348
• Пенттила, Тим; Ройл, Гордон Ф. (1994), «Классификация гиперовалов в PG (2,32)», J. Geom. , 50 (1–2): 151–158, doi : 10.1007/BF01222672 , MR   1280636
• Пенттила, Тим; Ройл, Гордон Ф. (1995), «О гиперовалах в малых проективных плоскостях», J. Geom. , 54 (1–2): 91–104, doi : 10.1007/BF01222857 , MR   1358279
• Польстер, Б. (1997), «Абстрактные гиперовалы и конструкции Адамара», Австралия. Дж. Комбин. , 16 : 29–33, МР   1477516
• Квист, Б. (1952), «Некоторые замечания относительно кривых второй степени в конечной плоскости», Ann. акад. наук. Фенники. Сер. А I. Матем.-Физ. , 1952 (134): 27, МР   0054977.
• Сегре, Бениамино (1955), «Овалы в конечной проективной плоскости», Canadian Journal of Mathematics , 7 : 414–416, doi : 10.4153/CJM-1955-045-x , ISSN   0008-414X , MR   0071034
• Сегре, Бениамино (1962), «Овалы и σ-кривые в плоскостях Галуа второй характеристики», Atti Accad. Нат. Линсей Ренд. кл. Науч. Мэтт. Нат. (8) (на итальянском языке), 32 : 785–790, MR   0149361.
• Сегре, Б.; Барточчи, У. (1971), «Овалы и другие кривые в плоскостях Галуа второй характеристики», Acta Arithmetica (на итальянском языке), 18 : 423–449, doi : 10.4064/aa-18-1-423-449 , MR   0295201

Внешние ссылки

• Гиперовальная страница Билла Черовицо