Реальное координатное пространство

В математике реальное координатное пространство или действительное координатное - пространство размерности n $n$ обозначается $R. н$ или $\mathbb {R} ^{n}$ , — это набор всех упорядоченных $n$ -кортежей действительных чисел , то есть набор всех последовательностей из $n$ действительных чисел, также известных как координатные векторы .Особые случаи называются вещественной линией $R. 1$ , действительная координатная плоскость $R 2$ , а действительное координатное трехмерное пространство $R 3$ .Благодаря покомпонентному сложению и скалярному умножению это настоящее векторное пространство .

Координаты той же размерности , над любым базисом элементов реального векторного пространства образуют действительное координатное пространство что и векторное пространство. Аналогично, декартовы координаты точек евклидова пространства размерности $n$ , $E н$ ( Евклидова линия , $E$ ; Евклидова плоскость , $E 2$ ; Евклидово трехмерное пространство , $E 3$ ) образуют вещественное координатное пространство размерности $n$ .

Эти однозначные соответствия между векторами, точками и векторами координат объясняют названия координатного пространства и координатного вектора . Это позволяет использовать геометрические термины и методы для изучения реальных координатных пространств и, наоборот, использовать методы исчисления в геометрии. Этот подход к геометрии был предложен Рене Декартом в 17 веке. Он широко используется, поскольку позволяет находить точки в евклидовых пространствах и выполнять вычисления с ними.

Определение и структуры

Для любого числа $n$ множество R $натурального н$ состоит из всех $n$ - наборов действительных чисел ( $R$ ). Его называют « $n$ -мерным реальным пространством» или «реальным $n$ -пространством».

Элемент $R н$ таким образом, является $n$ -кортежом и записывается $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ где каждый $x i$ является действительным числом. Итак, в исчислении многих переменных область определения функции нескольких действительных переменных кодобласть вещественной вектор-функции являются подмножествами R $и н$ для некоторых $н$ .

Реальное $n$ -пространство имеет еще несколько свойств, в частности:

С покомпонентным сложением и скалярным умножением это настоящее векторное пространство . Каждое $n$ -мерное вещественное векторное пространство изоморфно ему.
Со скалярным произведением (сумма почленных произведений компонентов) это пространство внутреннего продукта . Каждое $n$ -мерное реальное пространство внутреннего продукта изоморфно ему.
Как и любое пространство внутреннего продукта, это топологическое пространство и топологическое векторное пространство .
Это евклидово пространство и вещественное аффинное пространство , и каждое евклидово или аффинное пространство изоморфно ему.
Это аналитическое многообразие , и его можно рассматривать как прототип всех многообразий , поскольку по определению многообразие вблизи каждой точки изоморфно открытому подмножеству $R. н$ .
Это алгебраическое многообразие , и каждое вещественное алгебраическое многообразие является подмножеством $R. н$ .

Эти свойства и структуры $R н$ сделать его фундаментальным практически во всех областях математики и областях их применения, таких как статистика , теория вероятностей и многие разделы физики .

Область определения функции нескольких переменных

Любую функцию $f (x 1, x 2, ..., x n)$ от $n$ действительных переменных можно рассматривать как функцию на $R. н$ (то есть с $R н$ как его домен ). Использование реального $n$ -пространства вместо нескольких переменных, рассматриваемых отдельно, может упростить обозначения и предложить разумные определения. Рассмотрим для $n = 2$ функциональную композицию следующего вида: $F(t)=f(g_{1}(t),g_{2}(t)),$ где $g1 $ и $g2 $ непрерывны . функции Если

$\forall x 1 \in R : f (x 1, \cdot)$ непрерывно (по $x 2$ )
$\forall x 2 \in R : f (\cdot, x 2)$ непрерывен (по $x 1$ )

тогда $F$ не обязательно непрерывен. Непрерывность — более сильное условие: непрерывность $f$ в естественном $R 2$ топология ( обсуждаемая ниже ), также называемая непрерывностью многих переменных достаточна для непрерывности композиции $F.$ , которая

Векторное пространство

Координатное пространство $R н$ образует $n$ -мерное векторное пространство над полем действительных чисел с добавлением структуры линейности и часто еще обозначается $R н$ . Операции над $R н$ как векторное пространство обычно определяются как $\mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})$ $\alpha \mathbf {x} =(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\ldots ,\alpha x_{n}).$ Нулевой вектор определяется выражением $\mathbf {0} =(0,0,\ldots ,0)$ а аддитивный обратный вектор $x$ определяется выражением $-\mathbf {x} =(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n}).$

Эта структура важна, поскольку любое $n$ -мерное вещественное векторное пространство изоморфно векторному пространству $R. н$ .

Матричное обозначение

В стандартной матричной записи каждый элемент $R н$ обычно записывается как вектор-столбец $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}$ а иногда и как вектор-строку : $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.$

Координатное пространство $R н$ затем может быть интерпретировано как пространство всех $n \times 1$ векторов-столбцов размера или всех $1 \times n$ векторов-строк размера с обычными матричными операциями сложения и скалярного умножения .

Линейные преобразования из $R н$ в $Р м$ тогда можно записать как $матрицы размера m \times n,$ действующие на элементы $R н$ посредством левого умножения (когда элементы $R н$ — векторы-столбцы) и на элементах $R м$ посредством умножения справа (когда они являются векторами-строками). Формула умножения слева, частного случая матричного умножения , выглядит следующим образом: $(A{\mathbf {x} })_{k}=\sum _{l=1}^{n}A_{kl}x_{l}$

Любое линейное преобразование является непрерывной функцией (см. ниже ). Кроме того, матрица определяет открытую карту из $R н$ в $Р м$ тогда и только тогда, когда ранг матрицы равен $m$ .

Стандартная основа

Координатное пространство $R н$ поставляется со стандартной основой: ${\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&=(1,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=(0,1,\ldots ,0)\\&{}\;\;\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=(0,0,\ldots ,1)\end{aligned}}$

Чтобы убедиться в том, что это базис, заметим, что произвольный вектор из $R н$ можно однозначно записать в виде $\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}.$

Геометрические свойства и использование

Ориентация

Тот факт, что действительные числа , в отличие от многих других полей , составляют упорядоченное поле, приводит к структуре ориентации на $R. н$ . Любое полного ранга линейное отображение $R н$ либо меняет ориентацию пространства в зависимости от знака определителя себе либо сохраняет , его матрицы. Если переставить координаты (или, другими словами, элементы базиса), то результирующая ориентация будет зависеть от четности перестановки .

Диффеоморфизмы R $ н$ или домены в нем , в силу того, что они позволяют избежать нулевого якобиана , также классифицируются как сохраняющие ориентацию и меняющие ориентацию. Это имеет важные последствия для теории дифференциальных форм , приложения которой включают электродинамику .

Другое проявление этой структуры состоит в том, что точечное отражение в $R н$ имеет разные свойства в зависимости от четности $n$ . Для четного $n$ он сохраняет ориентацию, а для нечетного $n$ меняется на обратную (см. также неправильное вращение ).

Аффинное пространство

$Р н$ понимаемое как аффинное пространство, — это то же самое пространство, где $R н$ как векторное пространство действует посредством трансляций . И наоборот, вектор следует понимать как « разницу между двумя точками», обычно иллюстрируемую направленным отрезком линии, соединяющим две точки. Это различие гласит, что не существует канонического выбора места начала координат в аффинном $n$ -пространстве, поскольку его можно перевести куда угодно.

Выпуклость

n *ниже* -симплекс (см. ) — это стандартное выпуклое множество, которое отображается в каждый многогранник и является пересечением стандартной $(n + 1)$ аффинной гиперплоскости (стандартного аффинного пространства) и стандартного $(n + 1)$ ортанта (стандартного аффинного пространства). конус).

В реальном векторном пространстве, таком как $R н$ , можно определить выпуклый конус , который содержит все неотрицательные линейные комбинации своих векторов. Соответствующее понятие в аффинном пространстве — это выпуклое множество , которое допускает только выпуклые комбинации (неотрицательные линейные комбинации, сумма которых равна 1).

На языке универсальной алгебры векторное пространство — это алгебра над универсальным векторным пространством $R. \infty$ конечных последовательностей коэффициентов, соответствующих конечным суммам векторов, а аффинное пространство - это алгебра над универсальной аффинной гиперплоскостью в этом пространстве (конечных последовательностей, суммирующихся с 1), конус - это алгебра над универсальным ортантом (конечных последовательностей неотрицательных чисел), а выпуклое множество — это алгебра над универсальным симплексом (конечных последовательностей неотрицательных чисел, сумма которых равна 1). Это геометризирует аксиомы в терминах «сумм с (возможными) ограничениями на координаты».

Еще одно понятие выпуклого анализа - это выпуклая функция из $R н$ к действительным числам, которое определяется через неравенство между его значением на выпуклой комбинации точек и суммой значений в этих точках с одинаковыми коэффициентами.

Евклидово пространство

Скалярное произведение $\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}$ определяет норму $| х | = \sqrt x \cdot x$ в векторном пространстве $R н$ . Если каждый вектор имеет свою евклидову норму , то для любой пары точек расстояние $d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$ определяется, обеспечивая структуру метрического пространства на $R н$ в дополнение к его аффинной структуре.

Что касается структуры векторного пространства, обычно предполагается, что скалярное произведение и евклидово расстояние существуют в $R. н$ без особых пояснений. Однако реальное $n-$ пространство и евклидово $n-$ пространство, строго говоря, являются разными объектами. Любое евклидово $n$ -пространство имеет систему координат , в которой скалярное произведение и евклидово расстояние имеют показанную выше форму, называемую декартовой . существует множество Но в евклидовом пространстве декартовых систем координат.

И наоборот, приведенная выше формула для евклидовой метрики определяет стандартную евклидову структуру на $R. н$ , но это не единственно возможный вариант. В действительности, любая положительно определённая квадратичная форма $q$ определяет своё собственное «расстояние» $\sqrt q (x - y)$ , но оно не сильно отличается от евклидовой в том смысле, что $\exists C_{1}>0,\ \exists C_{2}>0,\ \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:C_{1}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\leq {\sqrt {q(\mathbf {x} -\mathbf {y} )}}\leq C_{2}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).$ Такое изменение метрики сохраняет некоторые ее свойства, например свойство быть полным метрическим пространством .Это также означает, что любое линейное преобразование полного ранга $R н$ , или его аффинное преобразование , не увеличивает расстояния больше, чем на некоторое фиксированное $C 2$ , и не делает расстояния меньше, чем $1 / C 1$ раз, то есть в фиксированное конечное число раз меньшими. ^{[ нужны разъяснения ]}

Вышеупомянутая эквивалентность метрических функций остается в силе, если $\sqrt q (x - y)$ заменяется на $M (x - y)$ , где $M$ - любая выпуклая положительная однородная функция степени 1, т.е. векторная норма ( в разделе «Расстояние Минковского полезные примеры см. »). . Поэтому любая «естественная» метрика на $R н$ особо не отличается от евклидовой метрики $R н$ не всегда отличается от евклидова $n$ -пространства даже в профессиональных математических работах.

В алгебраической и дифференциальной геометрии

Хотя определение многообразия не требует, чтобы его модельное пространство было $R н$ , этот выбор является наиболее распространенным и почти исключительным в дифференциальной геометрии .

С другой стороны, теоремы вложения Уитни утверждают, что любое вещественное дифференцируемое $m$ -мерное многообразие может быть вложено в $R 2 2м$ .

Другие выступления

Другие структуры, рассмотренные на $R н$ включают в себя псевдоевклидово пространство , симплектическую структуру (четное $n$ ) и контактную структуру (нечетное $n$ ). Все эти структуры, хотя и могут быть определены бескоординатным способом, допускают стандартные (и достаточно простые) формы в координатах.

$Р н$ также является действительным векторным подпространством $C н$ который инвариантен к комплексному сопряжению ; см. также усложнение .

Многогранники в R ^н

Существует три семейства многогранников , которые имеют простые представления в $R. н$ пространства для любого $n$ и могут использоваться для визуализации любой аффинной системы координат в реальном $n$ -пространстве. Вершины гиперкуба . имеют координаты $(x 1, x 2, ..., x n)$ , где каждый $x k$ принимает одно из двух значений, обычно 0 или 1. Однако вместо 0 и 1 можно выбрать любые два числа , например -1 и 1. $n$ -гиперкуб можно рассматривать как декартово произведение $n$ одинаковых интервалов (таких как единичный интервал $[0,1]$ ) на действительной прямой. Как $n$ подмножество его можно описать системой из $2n неравенств$ - мерное : ${\begin{matrix}0\leq x_{1}\leq 1\\\vdots \\0\leq x_{n}\leq 1\end{matrix}}$ для $[0,1]$ и ${\begin{matrix}|x_{1}|\leq 1\\\vdots \\|x_{n}|\leq 1\end{matrix}}$ для $[-1,1]$ .

Каждая вершина перекрестного многогранника имеет для некоторого $k$ , $координату x k$ равную ±1 , а все остальные координаты равны 0 (так что это $k$ -й стандартный базисный вектор с точностью до знака ). Это двойственный многогранник гиперкуба. Как $n$ -мерное подмножество его можно описать одним неравенством, которое использует операцию абсолютного значения : $\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|\leq 1\,,$ но это можно выразить системой $2 н$ также линейные неравенства.

Третий многогранник с просто перечислимыми координатами — это стандартный симплекс , вершинами которого являются $n$ стандартных базисных векторов и начало координат $(0, 0, ..., 0)$ . Как $n$ -мерное подмножество оно описывается системой из $n + 1$ линейных неравенств: ${\begin{matrix}0\leq x_{1}\\\vdots \\0\leq x_{n}\\\sum \limits _{k=1}^{n}x_{k}\leq 1\end{matrix}}$ Замена всех «≤» на «<» дает внутренности этих многогранников.

Топологические свойства

Топологическая структура R $ н$ (называемая стандартной топологией , евклидовой топологией или обычной топологией ) может быть получена не только из декартова произведения . Она также идентична естественной топологии, индуцированной евклидовой метрикой, обсуждавшейся выше : множество открыто в евклидовой топологии тогда и только тогда, когда оно содержит открытый шар вокруг каждой из своих точек. Кроме того, $Р н$ является линейным топологическим пространством (см. выше непрерывность линейных отображений ), и существует только одна возможная (нетривиальная) топология, совместимая с его линейной структурой. Поскольку существует множество открытых линейных отображений из $R н$ самому себе, которые не являются изометриями может существовать множество евклидовых структур . $, на R н$ которые соответствуют одной и той же топологии. На самом деле оно не сильно зависит даже от линейной структуры: существует множество нелинейных диффеоморфизмов (и других гомеоморфизмов) $R н$ на себя или на его части, такие как евклидов открытый шар или внутренность гиперкуба ).

$Р н$ имеет топологическую размерность $n$ .

Важный результат о топологии $R н$ , что далеко не поверхностно, — это Брауэра инвариантность области определения . Любое подмножество $R н$ (со своей топологией подпространства ), которое гомеоморфно другому открытому подмножеству $R н$ сам по себе открыт. Непосредственным следствием этого является то, что $R м$ не гомеоморфен R $ н$ если $m \neq n$ – интуитивно «очевидный» результат, который, тем не менее, трудно доказать.

Несмотря на разницу в топологическом измерении, вопреки наивному восприятию, возможно отобразить менее размерное измерение. ^{[ нужны разъяснения ]} реальное пространство непрерывно и сюръективно на $R н$ . Непрерывная (хотя и не гладкая) кривая, заполняющая пространство (образ $R 1$ ) возможно. ^{[ нужны разъяснения ]}

Примеры

Пустой вектор-столбец,
единственный элемент

R 0

п ≤ 1

Случаи $0 \leq n \leq 1$ не предлагают ничего нового: $R 1$ — действительная линия , тогда как $R 0$ (пространство, содержащее пустой вектор-столбец) является одноэлементным , понимаемым как нулевое векторное пространство . Однако полезно включить их как тривиальные случаи теорий, описывающих различные $n$ .

п = 2

Случай ( x,y ), где x и y был разработан как декартова плоскость P. — действительные числа , Дальнейшая структура была добавлена с помощью евклидовых векторов, представляющих направленные отрезки прямой в P . Самолет также разрабатывался как продолжение поля $\mathbf {C}$ путем добавления корней X ² + 1 = 0 к реальному полю $\mathbf {R} .$ Корень i действует на P как четверть оборота с ориентацией против часовой стрелки. Этот корень порождает группу $\{i,-1,-i,+1\}\equiv \mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ . Когда ( x,y ) пишется x + y i, это комплексное число .

Еще одно групповое действие $\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$ , где актер выражен как j, использует линию y = x для инволюции переворота плоскости ( x,y ) ↦ ( y,x ), обмена координатами. В этом случае точки P записываются x + y j и называются расщепляемыми комплексными числами . Эти числа при покоординатном сложении и умножении по jj =+1 образуют кольцо , не являющееся полем.

Другая кольцевая структура на P использует нильпотентную e для записи x + ye вместо ( x,y ). Действие e на P сводит плоскость к прямой: ее можно разложить на проекцию на координату x, затем повернув результат на четверть к оси y: e ( x + y e) = x e, поскольку e ² = 0. Число x + y e является двойственным числом . Двойственные числа образуют кольцо, но, поскольку e не имеет мультипликативного обратного, оно не порождает группу, поэтому действие не является групповым действием.

Исключение (0,0) из P создает [ x : y ] проективные координаты , которые описывают реальную проективную линию, одномерное пространство. Поскольку начало координат исключено, существует хотя бы одно из отношений x / y и y / x . Тогда [ x : y ] = [ x / y :1] или [ x : y ] = [1: y / x ]. Проективная линия P ¹( R ) — топологическое многообразие, покрытое двумя координатными картами , [ z : 1] → z или [1: z ] → z , которые образуют атлас . Для точек, покрытых обеими картами, функция перехода представляет собой мультипликативную инверсию в открытой окрестности точки, что обеспечивает требуемый гомеоморфизм в многообразии. Одно из применений вещественной проективной прямой можно найти в Кэли – Клейна метрической геометрии .

п = 3

п = 4

$Р 4$ можно представить, используя тот факт, что 16 точек $(x 1, x 2, x 3, x 4)$ , где каждая $x k$ равна либо 0, либо 1, являются вершинами тессеракта ( на фото), 4-гиперкуба (см. выше ) .

Первое крупное использование $R 4$ — это модель пространства-времени : три пространственных координаты плюс одна временная . Обычно это связывают с теорией относительности для таких моделей использовались четыре измерения , хотя со времен Галилея . Однако выбор теории приводит к другой структуре: в теории относительности Галилея координата $t$ является привилегированной, а в теории относительности Эйнштейна — нет. Действие специальной теории относительности происходит в пространстве Минковского . Общая теория относительности использует искривленные пространства, которые можно рассматривать как $R. 4$ с изогнутой метрикой для большинства практических целей. Ни одна из этих структур не обеспечивает (положительно определенную) метрику на $R. 4$ .

Евклидово $Р 4$ также привлекает внимание математиков, например, из-за своей связи с кватернионами , которые сами по себе являются 4-мерной реальной алгеброй . см . вращении в 4-мерном евклидовом пространстве Дополнительную информацию .

В дифференциальной геометрии $n = 4$ — единственный случай, когда $R н$ допускает нестандартную дифференциальную структуру : см. экзотический R ⁴.

Нормы по $Р н$

Можно определить множество норм в векторном пространстве $R н$ . Некоторые распространенные примеры:

p -норма , определяемая формулой ${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}$ для всех $\mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}$ где $p$ является положительным целым числом. Дело $p=2$ очень важно, потому что это именно евклидова норма .
тот $\infty$ -норма или максимальная норма , определяемая $\|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ для всех $\mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}$ . Это предел всех p-норм : ${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}$ .

Действительно удивительный и полезный результат состоит в том, что каждая норма, определенная на $R н$ эквивалентно . Это означает, что для двух произвольных норм $\|\cdot \|$ и $\|\cdot \|'$ на $R н$ вы всегда можете найти положительные действительные числа $\alpha ,\beta >0$ , такой, что $\alpha \cdot \|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} \|'\leq \beta \cdot \|\mathbf {x} \|$ для всех $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ .

Это определяет отношение эквивалентности на множестве всех норм на $R н$ . С помощью этого результата вы можете проверить, что последовательность векторов из $R н$ сходится с $\|\cdot \|$ тогда и только тогда, когда оно сходится с $\|\cdot \|'$ .

Вот набросок того, как может выглядеть доказательство этого результата:

Ввиду отношения эквивалентности достаточно показать, что каждая норма на $R н$ эквивалентно евклидовой норме $\|\cdot \|_{2}$ . Позволять $\|\cdot \|$ — произвольная норма на $R н$ . Доказательство разделено на два этапа:

Покажем, что существует $\beta >0$ , такой, что $\|\mathbf {x} \|\leq \beta \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}$ для всех $\mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}$ . На этом этапе вы используете тот факт, что каждый $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbf {R} ^{n}$ можно представить в виде линейной комбинации стандартного базиса : ${\textstyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cdot x_{i}}$ . Тогда с учетом неравенства Коши–Шварца $\|\mathbf {x} \|=\left\|\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cdot x_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|\cdot |x_{i}|\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}=\beta \cdot \|\mathbf {x} \|_{2},$ где ${\textstyle \beta :={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|^{2}}}}$ .
Теперь нам нужно найти $\alpha >0$ , такой, что $\alpha \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}\leq \|\mathbf {x} \|$ для всех $\mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}$ . Предположим, такого нет $\alpha$ . Тогда существует для каждого $k\in \mathbf {N}$ а $\mathbf {x} _{k}\in \mathbf {R} ^{n}$ , такой, что $\|\mathbf {x} _{k}\|_{2}>k\cdot \|\mathbf {x} _{k}\|$ . Определить вторую последовательность $({\tilde {\mathbf {x} }}_{k})_{k\in \mathbf {N} }$ к ${\textstyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{k}:={\frac {\mathbf {x} _{k}}{\|\mathbf {x} _{k}\|_{2}}}}$ . Эта последовательность ограничена, поскольку $\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k}\|_{2}=1$ . Итак, по теореме Больцано–Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность $({\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}})_{j\in \mathbf {N} }$ с лимитом $\mathbf {a} \in$ $Р н$ . Теперь мы покажем это $\|\mathbf {a} \|_{2}=1$ но $\mathbf {a} =\mathbf {0}$ , что является противоречием. Это $\|\mathbf {a} \|\leq \left\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|+\left\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|\leq \beta \cdot \left\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}+{\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}\ {\overset {j\to \infty }{\longrightarrow }}\ 0,$ потому что $\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\|\to 0$ и $0\leq {\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}<{\frac {1}{k_{j}}}$ , так ${\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}\to 0$ . Это подразумевает $\|\mathbf {a} \|=0$ , так $\mathbf {a} =\mathbf {0}$ . С другой стороны $\|\mathbf {a} \|_{2}=1$ , потому что $\|\mathbf {a} \|_{2}=\left\|\lim _{j\to \infty }{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}=\lim _{j\to \infty }\left\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}=1$ . Это не может быть правдой, поэтому предположение было ложным и существует такое $\alpha >0$ .

См. также

Экспоненциальный объект для теоретического объяснения надстрочной записи.
Геометрическое пространство
Реальное проективное пространство

Источники

Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-90125-6 .
Манкрес, Джеймс (1999). Топология . Прентис-Холл. ISBN 0-13-181629-2 .