Абсолютная разница

Показ абсолютной разницы действительных чисел $x$ и $y$ как расстояние между ними на реальной линии .

Абсолютная разница двух действительных чисел $x$ и $y$ дан кем-то $|x-y|$, абсолютное значение их разницы . Он описывает расстояние на реальной линии между точками, соответствующими $x$ и $y$. Это частный случай L. ^п расстояние для всех $1\leq p\leq \infty$ и является стандартной метрикой , используемой как для набора рациональных чисел, так и для множества рациональных чисел. $\mathbb {Q}$ и их пополнение, множество действительных чисел $\mathbb {R}$.

Как и в случае с любой метрикой, свойства метрики сохраняются:

• $|x-y|\geq 0$, поскольку абсолютное значение всегда неотрицательно.
• $|x-y|=0$ если и только если $x=y$.
• $|x-y|=|y-x|$ ( симметрия или коммутативность ).
• $|x-z|\leq |x-y|+|y-z|$( неравенство треугольника ); в случае абсолютной разности равенство имеет место тогда и только тогда, когда $x\leq y\leq z$ или $x\geq y\geq z$.

Напротив, простое вычитание не является неотрицательным или коммутативным, но оно подчиняется второму и четвертому свойствам, указанным выше, поскольку $x-y=0$ если и только если $x=y$, и $x-z=(x-y)+(y-z)$.

Абсолютная разница используется для определения других величин, включая относительную разницу , L ¹ норма, используемая в геометрии такси , и изящные обозначения в теории графов .

Когда желательно избегать функции абсолютного значения – например, потому, что ее вычисление дорого или потому что ее производная не является непрерывной – иногда ее можно исключить с помощью тождества

$|x-y|<|z-w|$ если и только если $(x-y)^{2}<(z-w)^{2}$.

Это следует из того, что $|x-y|^{2}=(x-y)^{2}$ и возведение в квадрат монотонно на неотрицательных действительных числах.

См. также

• Абсолютное отклонение

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Абсолютная разница» . Математический мир .