Аксиома Кантора – Дедекинда

В математической логике аксиома Кантора -Дедекинда — это тезис о том, что числа порядково изоморфны линейному континууму геометрии действительные . Другими словами, аксиома утверждает, что между действительными числами и точками на прямой существует взаимно однозначное соответствие.

Эта аксиома стала теоремой, доказанной Эмилем Артином в его книге «Геометрическая алгебра» . Точнее, евклидовы пространства, определенные над полем действительных чисел , удовлетворяют аксиомам евклидовой геометрии , и на основе аксиом евклидовой геометрии можно построить поле, изоморфное действительным числам.

Аналитическая геометрия была разработана на основе декартовой системы координат, введенной Рене Декартом . Он неявно принял эту аксиому, объединив различные понятия действительных чисел и точек на линии, иногда называемой линией действительных чисел . Доказательство Артина не только явно демонстрирует это сочетание, но также показывает, что аналитическая геометрия строго эквивалентна традиционной синтетической геометрии в том смысле, что одни и те же теоремы могут быть доказаны в обеих рамках.

Другим следствием является то, что Альфреда Тарского доказательство разрешимости теорий действительных чисел первого порядка можно рассматривать как алгоритм решения любой задачи первого порядка в евклидовой геометрии .

См. также

• Теорема Кантора

Ссылки

• Артин, Эмиль (1988) [1957], Геометрическая алгебра , Библиотека классики Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc., стр. x + 214, doi : 10.1002/9781118164518 , ISBN  0-471-60839-4 , МР   1009557
• Эрлих, П. (1994). «Общее введение». Действительные числа, обобщения действительных чисел и теории континуумов , vi – xxxii. Под редакцией П. Эрлиха, Kluwer Academic Publishers, Дордрехт.
• Брюс Э. Месерв (1953) «Фундаментальные концепции алгебры» , с. 32, в Google Книгах
• Б. Е. Месерве (1955) «Основные понятия геометрии» , с. 86, в Google Книгах.