Геометрическая алгебра (книга)
«Геометрическая алгебра» — книга, написанная Эмилем Артином и опубликованная издательством Interscience Publishers , Нью-Йорк, в 1957 году. Она была переиздана в 1988 году в серии Wiley Classics (Wiley Classics). ISBN 0-471-60839-4 ).
В 1962 году Algèbre Géométrique , перевод на французский язык Мишеля Лазара , был опубликован Готье-Вилларсом и переиздан в 1996 году. ISBN 2-87647-089-6 ) В 1968 году Фельтринелли опубликовал в Милане перевод на итальянский язык. [1] В 1969 году перевод на русский язык был издан в Москве издательством «Наука». [2]
, давно ожидаемая как продолжение книги «Современная алгебра» (1930), которую Бартель ван дер Варден опубликовал как свою версию заметок, сделанных на курсе Артина, «Геометрическая алгебра» представляет собой исследовательскую монографию, подходящую для аспирантов, изучающих математику. Из предисловия:
- Линейная алгебра, топология, дифференциальная и алгебраическая геометрия — незаменимые инструменты математика нашего времени. Часто желательно разработать курс геометрической природы, отличающийся от этих великих направлений мысли и который можно было бы преподавать начинающим аспирантам или даже студентам старших курсов. Настоящая книга выросла из конспектов лекций подобного курса, прочитанного в Нью-Йоркском университете в 1955 году. Этот курс был сосредоточен на основах аффинной геометрии, геометрии квадратичных форм и структуре общей линейной группы. Я счел необходимым расширить содержание этих заметок, включив в них проективную и симплектическую геометрию , а также структуру симплектических и ортогональных групп .
Книга иллюстрирована шестью геометрическими конфигурациями в главе 2, которая прослеживает путь от геометрических к полевым аксиомам, ранее исследованным Карлом фон Штаудтом и Дэвидом Гильбертом .
Содержание [ править ]
Первая глава называется «Предварительные сведения». В десяти разделах разъясняются понятия теории множеств , векторных пространств , гомоморфизмов , двойственности , линейных уравнений , теории групп , теории поля , упорядоченных полей и нормирований . На странице vii Артин говорит: «Главу I следует использовать главным образом как справочную главу для доказательств некоторых изолированных теорем».
Вторая глава называется «Аффинная и проективная геометрия». Артин ставит задачу создания алгебры (поля k ) из геометрических аксиом:
- Дана плоская геометрия, объекты которой являются элементами двух множеств: набора точек и набора линий; Предположим, что некоторые аксиомы геометрической природы верны. Можно ли найти поле k такое, что точки нашей геометрии можно было бы описать координатами из k , а линии - линейными уравнениями?
Используется рефлексивный вариант параллелизма : параллельные прямые имеют либо все точки, либо ни одну из общих точек. Таким образом, линия параллельна сама себе.
Аксиома 1 требует уникальной линии для каждой пары различных точек и уникальной точки пересечения непараллельных прямых. Аксиома 2 зависит от линии и точки; этого требуется уникальная параллель линии и для точки. Аксиома 3 требует трех неколлинеарных точек. Аксиома 4а требует перевода для перемещения любой точки в любую другую. Аксиома 4b требует расширения в точке P для перемещения Q в R , когда три точки лежат на одной прямой .
линию через P и Q как P + Q. Артин записывает Чтобы определить расширение две различные точки P и Q и их образы P ′ и Q , он пишет: «Пусть даны ′». Чтобы предположить роль инцидентности в геометрии, расширение определяется следующим свойством: «Если l ′ — прямая, параллельная P + Q, которая проходит через P ′, то Q ′ лежит на l ′». Конечно, если P ′ ≠ Q ′, то из этого условия следует, что P + Q параллелен P ′ + Q ′, так что расширение является аффинным преобразованием .
Расширения без неподвижных точек являются трансляциями группа трансляций T , и показано, что является инвариантной подгруппой группы расширений. Для расширения σ и точки P след — это P + σP . Отображения T → T , являющиеся гомоморфизмами, сохраняющими след, являются элементами k . Сначала k показано, что — ассоциативное кольцо с 1 , затем — тело .
И наоборот, существует аффинная геометрия , основанная на любом заданном теле k . Аксиомы 4а и 4б эквивалентны теореме Дезарга . Когда теорема Паппа о шестиугольнике справедлива в аффинной геометрии, k коммутативно и , следовательно, является полем.
Третья глава называется «Симплектическая и ортогональная геометрия». Он начинается с метрических структур в векторных пространствах, а затем определяет симплектическую и ортогональную геометрию и описывает их общие и особенности. Есть разделы по геометрии над конечными полями и над упорядоченными полями.
Четвертая глава посвящена общим линейным группам . Во-первых, это ) Жана Дьедонна теория определителей над «некоммутативными полями» ( телами . Артин описывает GL( n, k структуру группы ). Более подробно даны векторные пространства над конечными полями.
Глава пятая: «Структура симплетических и ортогональных групп». Он включает разделы по эллиптическим пространствам , алгебре Клиффорда и спинориальной норме.
Отзывы [ править ]
Элис Т. Шафер писала: «Математики найдут на многих страницах множество свидетельств способности автора проникнуть в предмет и представить материал особенно элегантно». Она отмечает совпадение между текстом Артена и Баера « Линейной алгеброй и проективной геометрией» Дьедонне или «Геометрией классических групп» . [3]
Жан Дьедонне написал рецензию на книгу в журнале Mathematical Reviews Гильберта и поставил ее на один уровень с «Основами геометрии» . [4]