Нормальная подгруппа

«Инвариантная подгруппа» перенаправляется сюда. Не путать с полностью инвариантной подгруппой .

В абстрактной алгебре — нормальная подгруппа (также известная как инвариантная подгруппа или самосопряженная подгруппа ). — подгруппа , инвариантная относительно сопряжения членами группы , частью которой она является. Другими словами, подгруппа $N$ группы $G$ это нормально в $G$ тогда и только тогда, когда $gng^{-1}\in N$ для всех $g\in G$ и $n\in N$. Обычное обозначение этого отношения: $N\triangleleft G$.

Нормальные подгруппы важны, потому что они (и только они) могут использоваться для построения факторгрупп данной группы. Более того, нормальные подгруппы $G$ являются в точности ядрами групповых гомоморфизмов с областью определения $G$, что означает, что их можно использовать для внутренней классификации этих гомоморфизмов.

Эварист Галуа был первым, кто осознал важность существования нормальных подгрупп.

Определения

Подгруппа ​ $N$ группы $G$ называется нормальной подгруппой $G$ если он инвариантен относительно сопряжения ; то есть сопряжение элемента $N$ элементом $G$ всегда внутри $N$. Обычное обозначение этого отношения: $N\triangleleft G$.

Эквивалентные условия

Для любой подгруппы $N$ из $G$, следующие эквивалентны условия $N$ будучи нормальной подгруппой $G$. Поэтому любое из них можно принять за определение.

• Образ спряжения $N$ любым элементом $G$ является подмножеством $N$, то есть, $gNg^{-1}\subseteq N$ для всех $g\in G$.
• Образ спряжения $N$ любым элементом $G$ равно $N,$ то есть, $gNg^{-1}=N$ для всех $g\in G$.
• Для всех $g\in G$, левый и правый смежные классы $gN$ и $Ng$ равны.
• Наборы левых и правых классов смежных $N$ в $G$ совпадают.
• Умножение в $G$ сохраняет отношение эквивалентности «находится в том же левом смежном классе, что и». То есть для каждого $g,g',h,h'\in G$ удовлетворяющий $gN=g'N$ и $hN=h'N$, у нас есть $(gh)N=(g'h')N$.
• Существует группа на множестве левых смежных классов $N$ где произведение любых двух левых смежных классов $gN$ и $hN$ дает левый смежный класс $(gh)N$ эта группа называется факторгруппой ( $G$ модуль $N$, обозначенный $G/N$).
• $N$ представляет объединение сопряженности классов собой $G$.
• $N$ сохраняется внутренними автоморфизмами $G$.
• Существует некоторый групповой гомоморфизм $G\to H$ чье ядро ​ $N$.
• Существует групповой гомоморфизм $\phi :G\to H$ волокна которого образуют группу, где единичным элементом является $N$ и умножение любых двух волокон $\phi ^{-1}(h_{1})$ и $\phi ^{-1}(h_{2})$ дает волокно $\phi ^{-1}(h_{1}h_{2})$ (эта группа та самая группа $G/N$ упоминалось выше).
• Существует некоторое конгруэнтности отношение $G$ для которого класс эквивалентности единичного элемента равен $N$.
• Для всех $n\in N$ и $g\in G$. коммутатор ​ $[n,g]=n^{-1}g^{-1}ng$ находится в $N$.
• Любые два элемента коммутируют по модулю нормального отношения принадлежности к подгруппе. То есть для всех $g,h\in G$, $gh\in N$ тогда и только тогда, когда $hg\in N$.

Примеры

Для любой группы $G$, тривиальная подгруппа $\{e\}$ состоящий только из единичного элемента $G$ всегда является нормальной подгруппой $G$. Так же, $G$ сама по себе всегда является нормальной подгруппой $G$ (если это единственные нормальные подгруппы, то $G$ говорят, что это просто ). Другие названные нормальные подгруппы произвольной группы включают центр группы (множество элементов, которые коммутируют со всеми другими элементами) и коммутантную подгруппу. $[G,G]$. В более общем смысле, поскольку сопряжение является изоморфизмом, любая характеристическая подгруппа является нормальной подгруппой.

Если $G$ является абелевой группой , то каждая подгруппа $N$ из $G$ это нормально, потому что $gN=\{gn\}_{n\in N}=\{ng\}_{n\in N}=Ng$. В более общем смысле для любой группы $G$, каждая подгруппа центра $Z(G)$ из $G$ это нормально в $G$ (в частном случае, когда $G$ абелева, центр состоит из всех $G$, следовательно, все подгруппы абелевой группы нормальны). Группа, не являющаяся абелевой, но у которой каждая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой группой .

Конкретным примером нормальной подгруппы является подгруппа $N=\{(1),(123),(132)\}$ симметрической группы $S_{3}$, состоящий из единицы и обоих трехциклов. В частности, можно проверить, что каждый смежный класс $N$ либо равно $N$ сам по себе или равен $(12)N=\{(12),(23),(13)\}$. С другой стороны, подгруппа $H=\{(1),(12)\}$ это не нормально в $S_{3}$ с $(123)H=\{(123),(13)\}\neq \{(123),(23)\}=H(123)$. Это иллюстрирует тот общий факт, что любая подгруппа $H\leq G$ индекс два в норме.

В качестве примера нормальной подгруппы внутри матричной группы рассмотрим общую линейную группу. $\mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )$ из всех обратимых $n\times n$ матрицы с вещественными элементами при операции умножения матриц и ее подгруппы $\mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )$ из всех $n\times n$ матрицы определителя 1 ( специальная линейная группа ). Чтобы понять, почему подгруппа $\mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )$ это нормально в $\mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )$, рассмотрим любую матрицу $X$ в $\mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )$ и любая обратимая матрица $A$. Затем, используя два важных тождества $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ и $\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}$, у одного это есть $\det(AXA^{-1})=\det(A)\det(X)\det(A)^{-1}=\det(X)=1$, и так $AXA^{-1}\in \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )$ также. Это означает $\mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )$ замкнуто относительно сопряжения в $\mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )$, так что это нормальная подгруппа.

В группе кубика Рубика подгруппы, состоящие из операций, которые влияют только на ориентацию угловых или реберных частей, являются нормальными.

Группа трансляции — это нормальная подгруппа евклидовой группы в любом измерении. Это означает: применение жесткого преобразования, за которым следует перевод, а затем обратное жесткое преобразование, имеет тот же эффект, что и одиночный перевод. Напротив, подгруппа всех вращений вокруг начала координат не является нормальной подгруппой евклидовой группы, если размерность не менее 2: сначала перемещение, затем вращение вокруг начала координат, а затем перемещение обратно, как правило, не фиксирует начало координат. и поэтому не будет иметь такого же эффекта, как одиночный поворот вокруг начала координат.

Характеристики

• Если $H$ является нормальной подгруппой $G$, и $K$ является подгруппой $G$ содержащий $H$, затем $H$ является нормальной подгруппой $K$.
• Нормальная подгруппа нормальной подгруппы группы не обязательно должна быть нормальной в группе. То есть нормальность не является транзитивным отношением . Наименьшая группа, демонстрирующая это явление, - это группа диэдра восьмого порядка. Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы является нормальной. Группа, в которой нормальность транзитивна, называется Т-группой .
• Две группы $G$ и $H$ являются нормальными подгруппами их прямого произведения $G\times H$.
• Если группа $G$ это полупрямой продукт $G=N\rtimes H$, затем $N$ это нормально в $G$, хотя $H$ не обязательно быть нормальным в $G$.
• Если $M$ и $N$ являются нормальными подгруппами аддитивной группы $G$ такой, что $G=M+N$ и $M\cap N=\{0\}$, затем $G=M\oplus N$.
• Нормальность сохраняется при сюръективных гомоморфизмах; то есть, если $G\to H$ является сюръективным групповым гомоморфизмом и $N$ это нормально в $G$, то изображение $f(N)$ это нормально в $H$.
• Нормальность сохраняется за счет инверсных изображений ; то есть, если $G\to H$ является групповым гомоморфизмом и $N$ это нормально в $H$, то прообраз $f^{-1}(N)$ это нормально в $G$.
• Нормальность сохраняется при взятии прямых произведений ; то есть, если $N_{1}\triangleleft G_{1}$ и $N_{2}\triangleleft G_{2}$, затем $N_{1}\times N_{2}\;\triangleleft \;G_{1}\times G_{2}$.
• Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. В более общем смысле подгруппа, $H$, конечного индекса, $n$, в $G$ содержит подгруппу, $K,$ нормальный в $G$ и индексного деления $n!$ называется нормальным ядром . В частности, если $p$ — наименьшее простое число, делящее порядок $G$, то каждая подгруппа индекса $p$ это нормально.
• Тот факт, что нормальные подгруппы $G$ являются в точности ядрами групповых гомоморфизмов, определенных на $G$ объясняет некоторую важность нормальных подгрупп; они являются способом внутренней классификации всех гомоморфизмов, определенных в группе. Например, нетождественная конечная группа является простой тогда и только тогда, когда она изоморфна всем своим нетождественным гомоморфным образам: конечная группа совершенна тогда и только тогда, когда она не имеет нормальных подгрупп простого индекса , а группа несовершенна тогда и только тогда, когда производная подгруппа не дополняется какой-либо собственной нормальной подгруппой.

Решетка нормальных подгрупп

Учитывая две нормальные подгруппы, $N$ и $M$, из $G$, их пересечение $N\cap M$ и их продукт $NM=\{nm:n\in N\;{\text{ and }}\;m\in M\}$ также являются нормальными подгруппами $G$.

Обычные подгруппы $G$ образуют решетку при включении подмножества с наименьшим элементом , $\{e\}$и величайший элемент , $G$. Встреча , двух нормальных подгрупп $N$ и $M$, в этой решетке — это их пересечение, а соединение — их произведение.

Решетка является полной и модульной .

Нормальные подгруппы, факторгруппы и гомоморфизмы

Если $N$ является нормальной подгруппой, мы можем определить умножение на смежных классах следующим образом: $$\left(a_{1}N\right)\left(a_{2}N\right):=\left(a_{1}a_{2}\right)N$$Это соотношение определяет отображение $G/N\times G/N\to G/N$. Чтобы показать, что это отображение корректно определено, нужно доказать, что выбор репрезентативных элементов $a_{1},a_{2}$ не влияет на результат. С этой целью рассмотрим некоторые другие репрезентативные элементы $a_{1}'\in a_{1}N,a_{2}'\in a_{2}N$. Тогда есть $n_{1},n_{2}\in N$ такой, что $a_{1}'=a_{1}n_{1},a_{2}'=a_{2}n_{2}$. Отсюда следует, что $$a_{1}'a_{2}'N=a_{1}n_{1}a_{2}n_{2}N=a_{1}a_{2}n_{1}'n_{2}N=a_{1}a_{2}N$$где мы также использовали тот факт, что $N$ является нормальной подгруппой, и поэтому существует $n_{1}'\in N$ такой, что $n_{1}a_{2}=a_{2}n_{1}'$. Это доказывает, что данное произведение является корректно определенным отображением смежных классов.

Благодаря этой операции набор смежных классов сам по себе является группой, называемой факторгруппой и обозначаемой $G/N.$ Существует гомоморфизм естественный $f:G\to G/N$, заданный $f(a)=aN$. Этот гомоморфизм отображает $N$ в элемент идентичности $G/N$, что является смежным классом $eN=N$, то есть, $\ker(f)=N$.

В общем случае групповой гомоморфизм $f:G\to H$ отправляет подгруппы $G$ подгруппам $H$. Кроме того, прообраз любой подгруппы $H$ является подгруппой $G$. Назовем прообраз тривиальной группы $\{e\}$ в $H$ ядро через гомоморфизма и обозначим его $\ker f$. Как оказалось, ядро ​​всегда нормальное и образ $G,f(G)$ всегда изоморфен , $G/\ker f$ ( первая теорема об изоморфизме ). Фактически это соответствие представляет собой взаимно однозначное соответствие между множеством всех факторгрупп $G$, $G/N$, и множество всех гомоморфных образов $G$ ( с точностью до изоморфизма). Также легко видеть, что ядро ​​фактор-отображения $f:G\to G/N$, является $N$ сама по себе, поэтому нормальные подгруппы являются в точности ядрами гомоморфизмов с областью определения $G$.

См. также

Операции перевода подгрупп в подгруппы

• Нормализатор
• Сопряженное закрытие
• Нормальное ядро

Свойства подгруппы, дополняющие (или противоположные) нормальности

• Ненормальная подгруппа
• Контранормальная подгруппа
• Аномальная подгруппа
• Самонормализующаяся подгруппа

Свойства подгруппы сильнее нормальности

• Характеристическая подгруппа
• Полностью характерная подгруппа

Свойства подгруппы слабее нормальности

• Субнормальная подгруппа
• Восходящая подгруппа
• Потомок подгруппы
• Квазинормальная подгруппа
• Полунормальная подгруппа
• Сопряженная перестановочная подгруппа
• Модульная подгруппа
• Пронормальная подгруппа
• Паранормальная подгруппа
• Полинормальная подгруппа
• C-нормальная подгруппа

Связанные понятия в алгебре

• Идеал (теория колец)
• Полугрупповой идеал

Библиография

• Бергвалль, Олоф; Хиннинг, Элин; Хедберг, Микаэль; Микелин, Джоэл; Масаве, Патрик (16 мая 2010 г.). «О кубике Рубика» (PDF) . КТХ
• Кантрелл, компакт-диск (2000). Современные математические методы для физиков и инженеров . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-59180-5 .
• Дымыйси, Пал; Неханив, Кристофер Л. (2004). Алгебраическая теория автоматных сетей . Монографии SIAM по дискретной математике и приложениям. СИАМ.
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-43334-9 .
• Фрели, Джон Б. (2003). Первый курс абстрактной алгебры (7-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-321-15608-2 .
• Холл, Маршалл (1999). Теория групп . Провиденс: Издательство Челси. ISBN  978-0-8218-1967-8 .
• Хангерфорд, Томас (2003). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике. Спрингер.
• Хангерфорд, Томас (2013). Абстрактная алгебра: введение . Брукс/Коул Сенгедж Обучение.
• Джадсон, Томас В. (2020). Абстрактная алгебра: теория и приложения .
• Робинсон, Дерек Дж.С. (1996). Курс теории групп . Тексты для аспирантов по математике. Том. 80 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  978-1-4612-6443-9 . Збл   0836.20001 .
• Терстон, Уильям (1997). Леви, Сильвио (ред.). Трехмерная геометрия и топология, Vol. 1 . Принстонская математическая серия. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-08304-9 .
• Брэдли, CJ (2010). Математическая теория симметрии твердых тел: теория представлений точечных и пространственных групп . Оксфорд Нью-Йорк: Clarendon Press. ISBN  978-0-19-958258-7 . OCLC   859155300 .

Дальнейшее чтение

• И. Н. Херштейн , Вопросы по алгебре. Второе издание. Xerox College Publishing, Лексингтон, Массачусетс – Торонто, Онтарио, 1975. xi+388 стр.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Нормальная подгруппа» . Математический мир .
• Нормальная подгруппа в Математической энциклопедии Спрингера
• Роберт Эш: Основы групп в абстрактной алгебре. Основной выпускной год
• Тимоти Гауэрс, Нормальные подгруппы и факторгруппы
• Джон Баэз, Что такое нормальная подгруппа?