Характеристическая подгруппа

В математике , особенно в области абстрактной алгебры , известной как теория групп , характеристическая подгруппа — это подгруппа , которая отображается в себя каждым автоморфизмом родительской группы . ^[1]^[2] Поскольку каждое отображение сопряжения является внутренним автоморфизмом , каждая характеристическая подгруппа нормальна ; хотя обратное не гарантировано. Примеры характеристических подгрупп включают коммутатор и центр группы .

Определение [ править ]

Подгруппа $H$ группы $G$ называется характеристической подгруппой , если для любого автоморфизма $φ$ группы $G$ выполнено $φ(H) ⩽ H$ ; затем $H char G.$ напишите

Было бы эквивалентно требовать более сильного условия $φ(H)$ = $H$ для каждого автоморфизма $φ$ группы $G$ , поскольку $φ -1 (H) \leq H$ влечет обратное включение $H \leq φ(H)$ .

Основные свойства [ править ]

Учитывая $H char G$ , каждый автоморфизм $G$ индуцирует автоморфизм факторгруппы G $/H$ , который дает гомоморфизм $Aut(G) \to Aut(G / H)$ .

Если $G$ имеет единственную подгруппу $H$ заданного индекса, то $H$ характеристична в $G$ .

Связанные понятия [ править ]

Обычная подгруппа [ править ]

Подгруппа группы $H$ , инвариантная относительно всех внутренних автоморфизмов, называется нормальной ; также инвариантная подгруппа.

\forallφ \in Inn(G): φ[H] \leq H

Поскольку $Inn(G) \subseteq Aut(G)$ и характеристическая подгруппа инвариантна относительно всех автоморфизмов, каждая характеристическая подгруппа нормальна. Однако не каждая нормальная подгруппа является характерной. Вот несколько примеров:

Пусть $H$ нетривиальная группа, и пусть $—$ прямое произведение H. $H \times G$ — Тогда подгруппы ${1} \times H$ и $H \times {1}$ обе нормальны, но ни одна из них не является характеристической. В частности, ни одна из этих подгрупп не инвариантна относительно автоморфизма $(x, y) \to (y, x)$ , который меняет местами два фактора.
В качестве конкретного примера пусть $V$ — четырехгруппа Клейна (которая изоморфна прямому произведению $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ ). Поскольку эта группа абелева , каждая подгруппа нормальна; но каждая перестановка трех неединичных элементов является автоморфизмом $V$ , поэтому три подгруппы порядка 2 не являются характеристическими. Здесь $V знак равно {е, а, б, ab}$ . Рассмотрим $H = {e, a}$ и рассмотрим автоморфизм: $T(e) = e, T(a) = b, T(b) = a, T(ab) = ab$ ; тогда $T() не$ содержится в $H.$ H
В группе кватернионов 8-го порядка каждая из циклических подгрупп 4-го порядка нормальна, но ни одна из них не является характеристической. Однако подгруппа ${1, -1}$ является характеристической, поскольку это единственная подгруппа порядка 2.
Если $n$ четно, группа диэдра порядка $2 n$ имеет 3 подгруппы индекса 2, все из которых нормальны. Одной из них является циклическая подгруппа, которая является характеристической. Две другие подгруппы двугранные; они перестановлены внешним автоморфизмом родительской группы и поэтому не являются характеристическими.

Строго характерная подгруппа [ править ]

А строго характеристическая подгруппа , или выделенная подгруппа , инвариантная относительно сюръективных эндоморфизмов . Для конечных групп сюръективность эндоморфизма влечет инъективность, поэтому сюръективный эндоморфизм является автоморфизмом; таким образом, быть строго характеристикой эквивалентно характеристике . Для бесконечных групп это уже не так.

Полностью характерная подгруппа [ править ]

При еще более сильном ограничении полностью характеристическая подгруппа (также полностью инвариантная подгруппа ; ср. инвариантная подгруппа) $H$ группы $G$ является группой, остающейся инвариантной относительно любого эндоморфизма $G$ ; то есть,

\forallφ \in End(G): φ[ЧАС] \leq Ч

.

Каждая группа имеет себя (несобственную подгруппу) и тривиальную подгруппу как две свои вполне характеристические подгруппы. Коммутант . группы всегда является вполне характеристической подгруппой ^[3]^[4]

Каждый эндоморфизм $G$ индуцирует эндоморфизм $G/H$ , который дает отображение $End(G) \to End(G / H)$ .

Вербальная подгруппа [ править ]

Еще более сильное ограничение — вербальная подгруппа , которая является образом вполне инвариантной подгруппы свободной группы относительно гомоморфизма. Вообще говоря, любая глагольная подгруппа всегда полностью характерна. Для любой редуцированной свободной группы и, в частности, для любой свободной группы справедливо и обратное: всякая вполне характеристическая подгруппа вербальна.

Транзитивность [ править ]

Свойство быть характерным или полностью характерным транзитивно ; если $H$ — (вполне) характеристическая подгруппа группы $K$ , а $K$ (вполне) характеристическая подгруппа группы $G$ , то $H$ — (вполне) характеристическая подгруппа группы $G.$ —

Ч чар K чар G \Rightarrow Ч чар G

.

Более того, хотя нормальность не транзитивна, верно, что каждая характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна.

Ч чар К ⊲ Г \Rightarrow Ч ⊲ Г

Точно так же, хотя строго характеристическая (выделенная) не является транзитивной, верно, что каждая вполне характеристическая подгруппа строго характеристической подгруппы строго характеристична.

Однако, в отличие от нормальности, если $H char G$ и $K$ — подгруппа $G$ , содержащая $H$ , то, вообще говоря, $не$ обязательно характеристична в $K.$ H

ЧАС чар G, ЧАС < K < G ⇏ ЧАС чар K

Условия содержания [ править ]

Всякая вполне характеристическая подгруппа, безусловно, строго характерна и характерна; но характерная или даже строго характерная подгруппа не обязательно должна быть полностью характерной.

Центром группы всегда является строго характеристическая подгруппа, но не всегда она полностью характеристична. Например, конечная группа порядка 12 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ , имеет гомоморфизм, переводящий $(π, y)$ в $((1, 2) и, 0)$ , который занимает центр, $1\times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ , в подгруппу $Sym(3) \times 1$ , которая встречается с центром только в единице.

Отношения между этими свойствами подгруппы могут быть выражены как:

Подгруппа ⇐ Нормальная подгруппа ⇐ Характеристическая подгруппа ⇐ Строго характеристическая подгруппа ⇐ Вполне характеристическая подгруппа ⇐ Вербальная подгруппа

Примеры [ править ]

Конечный пример [ править ]

Рассмотрим группу $\mathbb {Z} _{2}$ (группа порядка 12, являющаяся прямым произведением симметрической группы порядка 6 и циклической группы порядка 2). Центр группы $G$ изоморфен ее второму фактору. $\mathbb {Z} _{2}$ . Обратите внимание, что первый фактор $S 3$ содержит подгруппы, изоморфные $\mathbb {Z} _{2}$ , например ${e, (12)}$ ; позволять $f:\mathbb {Z} _{2}<\rightarrow {\text{S}}_{3}$ — отображение морфизма $\mathbb {Z} _{2}$ в указанную подгруппу. Тогда композиция проекции $G$ на ее второй фактор $\mathbb {Z} _{2}$ , за которым следует $f$ , а затем включение $S 3$ в $G$ в качестве его первого фактора, обеспечивает эндоморфизм $G$ , при котором образ центра, $\mathbb {Z} _{2}$ , не содержится в центре, поэтому здесь центр не является вполне характеристической подгруппой группы $G$ .

Циклические группы [ править ]

Каждая подгруппа циклической группы характеристична.

Функторы подгруппы [ править ]

( Производная подгруппа или коммутант) группы является вербальной подгруппой. Периодическая подгруппа является абелевой группы вполне инвариантной подгруппой.

Топологические группы [ править ]

Единичный компонент всегда топологической группы является характеристической подгруппой.

См. также [ править ]

Характерно простая группа

Ссылки [ править ]

^ Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-43334-9 .
^ Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN 0-387-95385-Х .
^ Скотт, WR (1987). Теория групп . Дувр. стр. 45–46. ISBN 0-486-65377-3 .
^ Магнус, Вильгельм; Каррасс, Авраам; Солитар, Дональд (2004). Комбинаторная теория групп . Дувр. стр. 74–85. ISBN 0-486-43830-9 .

[1] Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-43334-9 .

[2] Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN 0-387-95385-Х .

[3] Скотт, WR (1987). Теория групп . Дувр. стр. 45–46. ISBN 0-486-65377-3 .

[4] Магнус, Вильгельм; Каррасс, Авраам; Солитар, Дональд (2004). Комбинаторная теория групп . Дувр. стр. 74–85. ISBN 0-486-43830-9 .

[1]

[2]

[3]

[4]