Квазинормальная подгруппа

В математике , в области теории групп , квазинормальная подгруппа , или перестановочная подгруппа , — это подгруппа группы , которая коммутирует (переставляется) с любой другой подгруппой относительно произведения подгрупп . Термин «квазинормальная подгруппа» был введен Эйстейном Оре в 1937 году.

Говорят, что две подгруппы переставляются (или коммутируют), если какой-либо элемент из первойподгруппа, умноженная на элемент второй подгруппы, может быть записана как элемент второйподгруппа, умноженная на элемент первой подгруппы. То есть, $H$ и $K$ как подгруппы $G$ называются коммутирующими, если HK = KH , т. е. любой элемент вида $hk$ с $h\in H$ и $k\in K$ можно записать в форме $k'h'$ где $k'\in K$ и $h'\in H$ .

Каждая нормальная подгруппа квазинормальна, поскольку нормальная подгруппа коммутирует с каждым элементом группы. Обратное неверно. Например, любое расширение циклического $p$ -группировать по другой циклической $p$ -группа для одного и того же (нечетного) простого числа обладает тем свойством, что все ее подгруппы квазинормальны. Однако не все его подгруппы обязательно должны быть нормальными.

Каждая квазинормальная подгруппа является модулярной подгруппой , то есть модулярным элементом в решетке подгрупп . Это следует из модулярного свойства групп . Если все подгруппы квазинормальны, то группа называется группой Ивасавы , иногда также называемой модулярной группой . ^[1] хотя этот последний термин имеет и другие значения.

В любой группе каждая квазинормальная подгруппа является восходящей .

Сопряженная перестановочная подгруппа — это та, которая коммутирует со всеми своими сопряженными подгруппами. Любая квазинормальная подгруппа сопряжена перестановочно.

В конечных группах [ править ]

Каждая квазинормальная подгруппа конечной группы является субнормальной подгруппой . Это следует из несколько более сильного утверждения о том, что каждая сопряженная перестановочная подгруппа субнормальна, что, в свою очередь, следует из утверждения, что каждая максимальная сопряженная перестановочная подгруппа нормальна. (Конечность играет решающую роль в доказательствах.)

Таким образом, подгруппа H конечной группы G перестановочна в G тогда и только тогда, когда H одновременно модулярна и субнормальна в G . ^[1]^[2]

PT-группы [ править ]

не является транзитивным отношением Перестановочность вообще . Группы, в которых перестановочность транзитивна, называются PT-группами по аналогии с T-группами, в которых нормальность транзитивна. ^[3]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Адольфо Баллестер-Болинчес; Рамон Эстебан-Ромеро; Мохамед Асаад (2010). Произведения конечных групп . Вальтер де Грюйтер. п. 24 . ISBN 978-3-11-022061-2 .
^ Шмидт, Роланд (1994), Решетки подгрупп групп , Объяснения по математике, том. 14, Вальтер де Грюйтер, с. 201, ISBN 978-3-11-011213-9
^ Адольфо Баллестер-Болинчес; Рамон Эстебан-Ромеро; Мохамед Асаад (2010). Произведения конечных групп . Вальтер де Грюйтер. п. 52 . ISBN 978-3-11-022061-2 .

Стюарт Э. Стоунхьюер, «Старые, недавние и новые результаты о квазинормальных подгруппах» , Irish Math. Соц. Бюллетень 56 (2005), 125–133.
Туваль Фогель , «Сопряженные перестановочные подгруппы» , Journal of Algebra 191, 235–239 (1997)

[Ballester-BolinchesEsteban-Romero2010-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Адольфо Баллестер-Болинчес; Рамон Эстебан-Ромеро; Мохамед Асаад (2010). Произведения конечных групп . Вальтер де Грюйтер. п. 24 . ISBN 978-3-11-022061-2 .

[2] Шмидт, Роланд (1994), Решетки подгрупп групп , Объяснения по математике, том. 14, Вальтер де Грюйтер, с. 201, ISBN 978-3-11-011213-9

[Ballester-BolinchesEsteban-Romero2010p1-3] Адольфо Баллестер-Болинчес; Рамон Эстебан-Ромеро; Мохамед Асаад (2010). Произведения конечных групп . Вальтер де Грюйтер. п. 52 . ISBN 978-3-11-022061-2 .

[1]

[2]

[3]