группа Ивасава

В математике группа если называется Ивасавы группой , М-группой или модулярной группой, ее подгрупп модулярна . решетка Альтернативно, группа G называется группой Ивасавы, если каждая подгруппа в G G перестановочна ( Ballester - Bolinches, Esteban-Romero & Asaad 2010 , стр. 24–25).

Кенкичи Ивасава ( 1941 ) доказал, что p -группа G является группой Ивасавы тогда и только тогда, когда имеет место один из следующих случаев:

G — группа Дедекинда , или
G содержит абелеву нормальную подгруппу N такую, что факторгруппа G/N является циклической группой , и если q обозначает генератор G/N , то для всех n ∈ N , q ⁻¹пк = п ^{1+ р ^с} где s ≥ 1 вообще, но s ≥ 2 при p =2.

В Берковиче и Янко (2008 , стр. 257) было сочтено, что доказательство Ивасавы имеет существенные пробелы, которые были заполнены Франко Наполитани и Звонимиром Янко . Роланд Шмидт ( 1994 ) представил в своем учебнике альтернативное доказательство в различных направлениях. В рамках доказательства Шмидта он доказывает, что конечная p -группа является модулярной группой тогда и только тогда, когда каждая подгруппа перестановочна, согласно ( Шмидт 1994 , лемма 2.3.2, стр. 55).

Каждая подгруппа конечной p -группы субнормальна , и те конечные группы, в которых субнормальность и перестановочность совпадают, называются PT-группами. Другими словами, конечная p -группа является группой Ивасавы тогда и только тогда, когда она является PT-группой . ^{[ нужна ссылка ]}

Примеры

Группа Ивасавы порядка 16 изоморфна модулярной максимально-циклической группе порядка 16. ^{[ нужна ссылка ]}

См. также

Модульный закон для групп

Дальнейшее чтение

Как конечные, так и бесконечные М-группы представлены в хрестоматийной форме у Шмидта (1994 , гл. 2). Современное исследование включает Циммерманн (1989) .

Ссылки

Ивасава, Кенкичи (1941), «О конечных группах и ассоциациях их подгрупп», J. Fac. наук. Имп. Токио. Секта. И. , 4 : 171–199, МР 0005721
Ивасава, Кенкичи (1943), «О структуре бесконечных M-групп», Японский журнал математики , 18 : 709–728, doi : 10.4099/jjm1924.18.0_709 , MR 0015118
Шмидт, Роланд (1994), Решетки подгрупп групп , Объяснения по математике, том. 14, Вальтер де Грюйтер, номер телефона : 10.1515/9783110868647 , ISBN. 978-3-11-011213-9 , МР 1292462
Циммерманн, Ирен (1989), «Субмодулярные подгруппы в конечных группах», Mathematical Journal , 202 (4): 545–557, doi : 10.1007/BF01221589 , MR 1022820 , S2CID 121609694
Баллестер-Болинчес, Адольфо; Эстебан-Ромеро, Рамон; Асаад, Мохамед (2010), Продукты конечных групп , Вальтер де Грюйтер, стр. 24–25, ISBN 978-3-11-022061-2
Berkovich, Yakov; Janko, Zvonimir (2008), Groups of Prime Power Order , vol. 2, Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-020823-8

Эта теории групп статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .