Группа Дедекинда
В теории групп — дедекиндова группа группа G такая , что подгруппа G это нормальна каждая .Все абелевы группы являются группами Дедекинда.Неабелева группа Дедекинда называется гамильтоновой группой . [1]
Самый знакомый (и наименьший) пример гамильтоновой группы — это группа кватернионов восьмого порядка, обозначаемая Q 8 .Дедекинд и Баер показали (в случае конечного и соответственно бесконечного порядка), что каждая гамильтонова группа является прямым произведением вида G = Q 8 × B × D , где B — элементарная абелева 2-группа , а D — периодическое абелева группа со всеми элементами нечетного порядка.
Группы Дедекинда названы в честь Ричарда Дедекинда , который исследовал их в ( Дедекинд 1897 ), доказав форму приведенной выше структурной теоремы (для конечных групп ). Неабелевым он назвал в честь Уильяма Роуэна Гамильтона , первооткрывателя кватернионов .
В 1898 году Джордж Миллер описал структуру гамильтоновой группы с точки зрения ее порядка и порядка ее подгрупп. Например, он показывает «группу Гамильтона порядка 2 а имеет 2 2а − 6 группы кватернионов как подгруппы». В 2005 году Хорват и др. [2] использовал эту структуру для подсчета количества гамильтоновых групп любого порядка n = 2 и o , где o — нечетное целое число. Если e < 3 , то не существует гамильтоновых групп порядка n , в противном случае их столько же, сколько абелевых групп порядка o .
Примечания
[ редактировать ]- ^ Холл (1999). Теория групп . п. 190.
- ^ Хорват, Борис; Яклич, Гашпер; Писанский, Томаж (9 марта 2005 г.). «О числе гамильтоновых групп». arXiv : math/0503183 .
Ссылки
[ редактировать ]- Дедекинд, Ричард (1897), «О группах, все части которых являются нормальными частями» , Mathematical Annals , 48 (4): 548–561, doi : 10.1007/BF01447922 , ISSN 0025-5831 , JFM 28.0129.03 , MR 1510943 , стр. 2CID 119992274 .
- Баер, Р. Положение подгрупп и структура группы, Ситц.-Бер. Гейдельберг. Акад. Висс.2, 12–17, 1933.
- Холл, Маршалл (1999), Теория групп , Книжный магазин AMS, стр. 190, ИСБН 978-0-8218-1967-8 .
- Хорват, Борис; Яклич, Гашпер; Писански, Томаж (2005), «О количестве гамильтоновых групп», Mathematical Communications , 10 (1): 89–94, arXiv : math/0503183 , Bibcode : 2005math......3183H .
- Миллер, Джорджия (1898), «О группах Гамильтона», Бюллетень Американского математического общества , 4 (10): 510–515, doi : 10.1090/s0002-9904-1898-00532-3 .
- Таусский, Ольга (1970), «Суммы квадратов», American Mathematical Monthly , 77 (8): 805–830, doi : 10.2307/2317016 , hdl : 10338.dmlcz/120593 , JSTOR 2317016 , MR 0268121 .