Субнормальная подгруппа

В математике , в области теории групп , подгруппа H данной группы G является субнормальной подгруппой группы G , если существует конечная цепочка подгрупп группы, каждая из которых нормальна в следующей, начиная с H и заканчивая G. .

В обозначениях $H$ является $k$- субнормальный в $G$ если есть подгруппы

$H=H_{0},H_{1},H_{2},\ldots ,H_{k}=G$

из $G$ такой, что $H_{i}$ это нормально в $H_{i+1}$ для каждого $i$.

Субнормальная подгруппа – это подгруппа, которая $k$-субнормально для некоторого положительного целого числа $k$.Некоторые факты о субнормальных подгруппах:

• 1-субнормальная подгруппа является собственной нормальной подгруппой (и наоборот).
• нильпотентна Конечно порожденная группа тогда и только тогда , когда каждая ее подгруппа субнормальна.
• Каждая квазинормальная подгруппа и, в более общем плане, каждая сопряженно-перестановочная подгруппа конечной группы субнормальна.
• Любая пронормальная подгруппа , которая также является субнормальной, нормальна. В частности, силовская подгруппа субнормальна тогда и только тогда, когда она нормальна.
• Каждая 2-субнормальная подгруппа является сопряженно-перестановочной подгруппой.

Свойство субнормальности транзитивно , то есть субнормальная подгруппа субнормальнойподгруппа субнормальна. Отношение субнормальности можно определить как транзитивное замыкание отношения нормальности.

Если каждая субнормальная подгруппа группы G нормальна в G , то G называется T-группой .

См. также

• Характеристическая подгруппа
• Нормальное ядро
• Нормальное закрытие
• Восходящая подгруппа
• Потомок подгруппы
• Серийная подгруппа

Ссылки

• Робинсон, Дерек Дж.С. (1996), Курс теории групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94461-6
• Баллестер-Болинчес, Адольфо; Эстебан-Ромеро, Рамон; Асаад, Мохамед (2010), Продукты конечных групп , Уолтер де Грюйтер , ISBN  978-3-11-022061-2