Jump to content

Квазинормальная подгруппа

(Перенаправлено с PT-group )

В математике , в области теории групп , квазинормальная подгруппа , или перестановочная подгруппа , — это подгруппа группы , которая коммутирует (переставляется) с любой другой подгруппой относительно произведения подгрупп . Термин «квазинормальная подгруппа» был введен Эйстейном Оре в 1937 году.

Говорят, что две подгруппы переставляются (или коммутируют), если какой-либо элемент из первойподгруппа, умноженная на элемент второй подгруппы, может быть записана как элемент второйподгруппа, умноженная на элемент первой подгруппы. То есть, и как подгруппы называются коммутирующими, если HK = KH , т. е. любой элемент вида с и можно записать в форме где и .

Каждая нормальная подгруппа квазинормальна, поскольку нормальная подгруппа коммутирует с каждым элементом группы. Обратное неверно. Например, любое расширение циклического -группировать по другой циклической -группа для одного и того же (нечетного) простого числа обладает тем свойством, что все ее подгруппы квазинормальны. Однако не все его подгруппы обязательно должны быть нормальными.

Каждая квазинормальная подгруппа является модулярной подгруппой , то есть модулярным элементом в решетке подгрупп . Это следует из модулярного свойства групп . Если все подгруппы квазинормальны, то группа называется группой Ивасавы , иногда также называемой модулярной группой . [1] хотя этот последний термин имеет и другие значения.

В любой группе каждая квазинормальная подгруппа является восходящей .

Сопряженная перестановочная подгруппа — это та, которая коммутирует со всеми своими сопряженными подгруппами. Любая квазинормальная подгруппа сопряжена перестановочно.

В конечных группах [ править ]

Каждая квазинормальная подгруппа конечной группы является субнормальной подгруппой . Это следует из несколько более сильного утверждения о том, что каждая сопряженная перестановочная подгруппа субнормальна, что, в свою очередь, следует из утверждения, что каждая максимальная сопряженная перестановочная подгруппа нормальна. (Конечность играет решающую роль в доказательствах.)

Таким образом, подгруппа H конечной группы G перестановочна в G тогда и только тогда, когда H одновременно модулярна и субнормальна в G . [1] [2]

PT-группы [ править ]

не является транзитивным отношением Перестановочность вообще . Группы, в которых перестановочность транзитивна, называются PT-группами по аналогии с T-группами, в которых нормальность транзитивна. [3]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Адольфо Баллестер-Болинчес; Рамон Эстебан-Ромеро; Мохамед Асаад (2010). Произведения конечных групп . Вальтер де Грюйтер. п. 24 . ISBN  978-3-11-022061-2 .
  2. ^ Шмидт, Роланд (1994), Решетки подгрупп групп , Объяснения по математике, том. 14, Вальтер де Грюйтер, с. 201, ISBN  978-3-11-011213-9
  3. ^ Адольфо Баллестер-Болинчес; Рамон Эстебан-Ромеро; Мохамед Асаад (2010). Произведения конечных групп . Вальтер де Грюйтер. п. 52 . ISBN  978-3-11-022061-2 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 243ca7822749f2e02085a8a691934b6d__1678204320
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/24/6d/243ca7822749f2e02085a8a691934b6d.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Quasinormal subgroup - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)