Квазинормальная подгруппа
В математике , в области теории групп , квазинормальная подгруппа , или перестановочная подгруппа , — это подгруппа группы , которая коммутирует (переставляется) с любой другой подгруппой относительно произведения подгрупп . Термин «квазинормальная подгруппа» был введен Эйстейном Оре в 1937 году.
Говорят, что две подгруппы переставляются (или коммутируют), если какой-либо элемент из первойподгруппа, умноженная на элемент второй подгруппы, может быть записана как элемент второйподгруппа, умноженная на элемент первой подгруппы. То есть, и как подгруппы называются коммутирующими, если HK = KH , т. е. любой элемент вида с и можно записать в форме где и .
Каждая нормальная подгруппа квазинормальна, поскольку нормальная подгруппа коммутирует с каждым элементом группы. Обратное неверно. Например, любое расширение циклического -группировать по другой циклической -группа для одного и того же (нечетного) простого числа обладает тем свойством, что все ее подгруппы квазинормальны. Однако не все его подгруппы обязательно должны быть нормальными.
Каждая квазинормальная подгруппа является модулярной подгруппой , то есть модулярным элементом в решетке подгрупп . Это следует из модулярного свойства групп . Если все подгруппы квазинормальны, то группа называется группой Ивасавы , иногда также называемой модулярной группой . [1] хотя этот последний термин имеет и другие значения.
В любой группе каждая квазинормальная подгруппа является восходящей .
Сопряженная перестановочная подгруппа — это та, которая коммутирует со всеми своими сопряженными подгруппами. Любая квазинормальная подгруппа сопряжена перестановочно.
В конечных группах [ править ]
Каждая квазинормальная подгруппа конечной группы является субнормальной подгруппой . Это следует из несколько более сильного утверждения о том, что каждая сопряженная перестановочная подгруппа субнормальна, что, в свою очередь, следует из утверждения, что каждая максимальная сопряженная перестановочная подгруппа нормальна. (Конечность играет решающую роль в доказательствах.)
Таким образом, подгруппа H конечной группы G перестановочна в G тогда и только тогда, когда H одновременно модулярна и субнормальна в G . [1] [2]
PT-группы [ править ]
не является транзитивным отношением Перестановочность вообще . Группы, в которых перестановочность транзитивна, называются PT-группами по аналогии с T-группами, в которых нормальность транзитивна. [3]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Адольфо Баллестер-Болинчес; Рамон Эстебан-Ромеро; Мохамед Асаад (2010). Произведения конечных групп . Вальтер де Грюйтер. п. 24 . ISBN 978-3-11-022061-2 .
- ^ Шмидт, Роланд (1994), Решетки подгрупп групп , Объяснения по математике, том. 14, Вальтер де Грюйтер, с. 201, ISBN 978-3-11-011213-9
- ^ Адольфо Баллестер-Болинчес; Рамон Эстебан-Ромеро; Мохамед Асаад (2010). Произведения конечных групп . Вальтер де Грюйтер. п. 52 . ISBN 978-3-11-022061-2 .
- Стюарт Э. Стоунхьюер, «Старые, недавние и новые результаты о квазинормальных подгруппах» , Irish Math. Соц. Бюллетень 56 (2005), 125–133.
- Тувал Фогель , «Сопряженные перестановочные подгруппы» , Journal of Algebra 191, 235–239 (1997)