Jump to content

Перевод (геометрия)

(Перенаправлено из группы перевода )
При переносе каждая точка фигуры или пространства перемещается на одинаковую величину в заданном направлении.

В евклидовой геометрии перенос это геометрическое преобразование , которое перемещает каждую точку фигуры, формы или пространства на одинаковое расстояние в заданном направлении. Перевод также можно интерпретировать как добавление постоянного вектора к каждой точке или как сдвиг начала системы координат . В евклидовом пространстве любой сдвиг является изометрией .

Как функция [ править ]

Если — фиксированный вектор, известный как вектор трансляции , и — начальное положение некоторого объекта, то функция перевода будет работать как .

Если это перевод, то образ подмножества под функцией это перевод к . Перевод к часто пишется как .

Применение в классической физике [ править ]

В классической физике поступательное движение — это движение, изменяющее положение объекта, в отличие от вращения . Например, по словам Уиттакера: [1]

Если тело перемещается из одного положения в другое и если линии, соединяющие начальную и конечную точки каждой из точек тела, представляют собой набор параллельных прямых длиной , так что ориентация тела в пространстве равна в неизмененном виде перемещение называется переносом, параллельным направлению линий, на расстояние ℓ .

Трансляция – это операция, изменяющая положения всех точек. объекта по формуле

где — один и тот же вектор для каждой точки объекта. Вектор перевода общее для всех точек объекта описывает особый тип смещения объекта, обычно называемый линейным смещением, чтобы отличить его от смещений, связанных с вращением, называемых угловыми смещениями.

При рассмотрении пространства-времени изменение временной координаты считается переносом.

Как оператор [ править ]

Оператор перевода поворачивает функцию исходной позиции, , в функцию конечного положения, . Другими словами, определяется так, что Этот оператор более абстрактный, чем функция, поскольку определяет связь между двумя функциями, а не самими базовыми векторами. Оператор перевода может действовать на многие виды функций, например, когда оператор перевода действует на волновую функцию , которая изучается в области квантовой механики.

В группе [ править ]

Совокупность всех переводов образует группу переводов. , изоморфная самому пространству, и нормальная подгруппа евклидовой группы . Факторгруппа к изоморфна группе жестких движений, фиксирующих определенную точку начала координат, ортогональной группе :

Поскольку перевод коммутативен , группа перевода абелева . Существует бесконечное количество возможных переводов, поэтому группа переводов является бесконечной группой .

В теории относительности , в связи с трактовкой пространства и времени как единого пространства-времени , переводы могут также относиться к изменениям временной координаты . Например, группа Галилея и группа Пуанкаре включают сдвиги по времени.

Группы решеток [ править ]

Одним из видов подгрупп трехмерной группы перевода являются группы решетки , которые являются бесконечными группами , но в отличие от групп перевода конечно порождены . То есть конечный порождающий набор порождает всю группу.

Матричное представление [ править ]

Перевод — это аффинное преобразование без фиксированных точек . Умножения матриц всегда имеют начало координат в виде фиксированной точки. Тем не менее, существует общий обходной путь, использующий однородные координаты для представления перевода векторного пространства с умножением матриц : напишите трехмерный вектор используя 4 однородные координаты как . [2]

Чтобы перевести объект по вектору , каждый однородный вектор (записанные в однородных координатах) можно умножить на эту матрицу перевода :

Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:

Обратная матрица перевода может быть получена путем изменения направления вектора:

Аналогично, произведение матриц перевода определяется сложением векторов:

Поскольку сложение векторов коммутативно , умножение матриц перевода также коммутативно (в отличие от умножения произвольных матриц).

Перевод осей [ править ]

Хотя геометрическое перемещение часто рассматривается как активный процесс, изменяющий положение геометрического объекта, аналогичный результат может быть достигнут с помощью пассивного преобразования, которое перемещает саму систему координат, но оставляет объект неподвижным. Пассивная версия активного геометрического перемещения известна как перемещение осей .

Трансляционная симметрия [ править ]

Говорят, что объект, который выглядит одинаково до и после перевода, обладает трансляционной симметрией . Типичным примером является периодическая функция , которая является собственной функцией оператора перевода.

Переводы графика [ править ]

По сравнению с графиком y = f ( x ) график y = f ( x a ) был сдвинут горизонтально на a , а график y = f ( x ) + b сдвинут вертикально на b .

График множество f действительной функции , точек , часто изображается в реальной координатной плоскости с x в качестве горизонтальной координаты и как вертикальная координата.

Начиная с графика f , горизонтальный сдвиг означает составление f с функцией , для некоторого постоянного числа a , в результате чего получается график, состоящий из точек . Каждая точка исходного графика соответствует точке на новом графике, что наглядно приводит к горизонтальному сдвигу.

Вертикальный перевод означает составление функции с f для некоторой константы b , в результате чего получается график, состоящий из точек . Каждая точка исходного графика соответствует точке на новом графике, что наглядно приводит к вертикальному сдвигу. [3]

Например, взяв квадратичную функцию , график которого представляет собой параболу с вершиной в точке , горизонтальный сдвиг на 5 единиц вправо будет новой функцией чья вершина имеет координаты . Вертикальный сдвиг на 3 единицы вверх будет новой функцией. чья вершина имеет координаты .

Все первообразные интегрирования функции отличаются друг от друга константой и , следовательно, являются вертикальными сдвигами друг друга. [4]

Приложения [ править ]

Динамика автомобиля [ править ]

Для описания динамики транспортного средства (или движения любого твердого тела ), включая динамику корабля и динамику самолета , обычно используется механическая модель, состоящая из шести степеней свободы , которая включает в себя перемещения по трем опорным осям, а также вращения вокруг этих трех. топоры.

Эти переводы часто называют:

Соответствующие вращения часто называют:

  • крен , вокруг продольной оси
  • шаг , относительно поперечной оси
  • рыскание , относительно вертикальной оси.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Эдмунд Тейлор Уиттакер (1988). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел (перепечатка четвертого издания 1936 года с предисловием под ред. Уильяма МакКри). Издательство Кембриджского университета. п. 1. ISBN  0-521-35883-3 .
  2. ^ Ричард Пол, 1981, Роботы-манипуляторы: математика, программирование и управление: компьютерное управление роботами-манипуляторами , MIT Press, Кембридж, Массачусетс.
  3. ^ Догерти, Эдвард Р.; Астол, Яакко (1999), Нелинейные фильтры для обработки изображений , серия SPIE/IEEE по науке и технике обработки изображений, том. 59, SPIE Press, с. 169, ISBN  9780819430335 .
  4. ^ Зилл, Деннис; Райт, Уоррен С. (2009), Исчисление с одной переменной: ранние трансцендентальные теории , Jones & Bartlett Learning, стр. 269, ISBN  9780763749651 .

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Зазкис Р., Лильедал П. и Гадовски К. Концепции функционального перевода: препятствия, интуиция и изменение маршрута. Журнал математического поведения, 22, 437–450. Получено 29 апреля 2014 г. с сайта www.elsevier.com/locate/jmathb.
  • Преобразования графов: горизонтальные трансляции . (2006, 1 января). Биоматематика: преобразование графов. Проверено 29 апреля 2014 г.

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 8a94ceb8ac4feac4378af50b85005e67__1717677240
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/8a/67/8a94ceb8ac4feac4378af50b85005e67.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Translation (geometry) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)