Перевод (геометрия)
В евклидовой геометрии перенос — это геометрическое преобразование , которое перемещает каждую точку фигуры, формы или пространства на одинаковое расстояние в заданном направлении. Перевод также можно интерпретировать как добавление постоянного вектора к каждой точке или как сдвиг начала системы координат . В евклидовом пространстве любой сдвиг является изометрией .
Как функция [ править ]
Если — фиксированный вектор, известный как вектор трансляции , и — начальное положение некоторого объекта, то функция перевода будет работать как .
Если это перевод, то образ подмножества под функцией это перевод к . Перевод к часто пишется как .
Применение в классической физике [ править ]
В классической физике поступательное движение — это движение, изменяющее положение объекта, в отличие от вращения . Например, по словам Уиттакера: [1]
Если тело перемещается из одного положения в другое и если линии, соединяющие начальную и конечную точки каждой из точек тела, представляют собой набор параллельных прямых длиной ℓ , так что ориентация тела в пространстве равна в неизмененном виде перемещение называется переносом, параллельным направлению линий, на расстояние ℓ .
Трансляция – это операция, изменяющая положения всех точек. объекта по формуле
где — один и тот же вектор для каждой точки объекта. Вектор перевода общее для всех точек объекта описывает особый тип смещения объекта, обычно называемый линейным смещением, чтобы отличить его от смещений, связанных с вращением, называемых угловыми смещениями.
При рассмотрении пространства-времени изменение временной координаты считается переносом.
Как оператор [ править ]
Оператор перевода поворачивает функцию исходной позиции, , в функцию конечного положения, . Другими словами, определяется так, что Этот оператор более абстрактный, чем функция, поскольку определяет связь между двумя функциями, а не самими базовыми векторами. Оператор перевода может действовать на многие виды функций, например, когда оператор перевода действует на волновую функцию , которая изучается в области квантовой механики.
В группе [ править ]
Совокупность всех переводов образует группу переводов. , изоморфная самому пространству, и нормальная подгруппа евклидовой группы . Факторгруппа к изоморфна группе жестких движений, фиксирующих определенную точку начала координат, ортогональной группе :
Поскольку перевод коммутативен , группа перевода абелева . Существует бесконечное количество возможных переводов, поэтому группа переводов является бесконечной группой .
В теории относительности , в связи с трактовкой пространства и времени как единого пространства-времени , переводы могут также относиться к изменениям временной координаты . Например, группа Галилея и группа Пуанкаре включают сдвиги по времени.
Группы решеток [ править ]
Одним из видов подгрупп трехмерной группы перевода являются группы решетки , которые являются бесконечными группами , но в отличие от групп перевода конечно порождены . То есть конечный порождающий набор порождает всю группу.
Матричное представление [ править ]
Перевод — это аффинное преобразование без фиксированных точек . Умножения матриц всегда имеют начало координат в виде фиксированной точки. Тем не менее, существует общий обходной путь, использующий однородные координаты для представления перевода векторного пространства с умножением матриц : напишите трехмерный вектор используя 4 однородные координаты как . [2]
Чтобы перевести объект по вектору , каждый однородный вектор (записанные в однородных координатах) можно умножить на эту матрицу перевода :
Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:
Обратная матрица перевода может быть получена путем изменения направления вектора:
Аналогично, произведение матриц перевода определяется сложением векторов:
Поскольку сложение векторов коммутативно , умножение матриц перевода также коммутативно (в отличие от умножения произвольных матриц).
Перевод осей [ править ]
Хотя геометрическое перемещение часто рассматривается как активный процесс, изменяющий положение геометрического объекта, аналогичный результат может быть достигнут с помощью пассивного преобразования, которое перемещает саму систему координат, но оставляет объект неподвижным. Пассивная версия активного геометрического перемещения известна как перемещение осей .
Трансляционная симметрия [ править ]
Говорят, что объект, который выглядит одинаково до и после перевода, обладает трансляционной симметрией . Типичным примером является периодическая функция , которая является собственной функцией оператора перевода.
Переводы графика [ править ]
График множество f действительной функции , точек , часто изображается в реальной координатной плоскости с x в качестве горизонтальной координаты и как вертикальная координата.
Начиная с графика f , горизонтальный сдвиг означает составление f с функцией , для некоторого постоянного числа a , в результате чего получается график, состоящий из точек . Каждая точка исходного графика соответствует точке на новом графике, что наглядно приводит к горизонтальному сдвигу.
Вертикальный перевод означает составление функции с f для некоторой константы b , в результате чего получается график, состоящий из точек . Каждая точка исходного графика соответствует точке на новом графике, что наглядно приводит к вертикальному сдвигу. [3]
Например, взяв квадратичную функцию , график которого представляет собой параболу с вершиной в точке , горизонтальный сдвиг на 5 единиц вправо будет новой функцией чья вершина имеет координаты . Вертикальный сдвиг на 3 единицы вверх будет новой функцией. чья вершина имеет координаты .
Все первообразные интегрирования функции отличаются друг от друга константой и , следовательно, являются вертикальными сдвигами друг друга. [4]
Приложения [ править ]
Динамика автомобиля [ править ]
Для описания динамики транспортного средства (или движения любого твердого тела ), включая динамику корабля и динамику самолета , обычно используется механическая модель, состоящая из шести степеней свободы , которая включает в себя перемещения по трем опорным осям, а также вращения вокруг этих трех. топоры.
Эти переводы часто называют:
- Помпаж , перемещение вдоль продольной оси (вперед или назад)
- Раскачивание , перевод вдоль поперечной оси (из стороны в сторону)
- Heave , перевод по вертикальной оси (для перемещения вверх или вниз).
Соответствующие вращения часто называют:
- крен , вокруг продольной оси
- шаг , относительно поперечной оси
- рыскание , относительно вертикальной оси.
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Эдмунд Тейлор Уиттакер (1988). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел (перепечатка четвертого издания 1936 года с предисловием под ред. Уильяма МакКри). Издательство Кембриджского университета. п. 1. ISBN 0-521-35883-3 .
- ^ Ричард Пол, 1981, Роботы-манипуляторы: математика, программирование и управление: компьютерное управление роботами-манипуляторами , MIT Press, Кембридж, Массачусетс.
- ^ Догерти, Эдвард Р.; Астол, Яакко (1999), Нелинейные фильтры для обработки изображений , серия SPIE/IEEE по науке и технике обработки изображений, том. 59, SPIE Press, с. 169, ISBN 9780819430335 .
- ^ Зилл, Деннис; Райт, Уоррен С. (2009), Исчисление с одной переменной: ранние трансцендентальные теории , Jones & Bartlett Learning, стр. 269, ISBN 9780763749651 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Зазкис Р., Лильедал П. и Гадовски К. Концепции функционального перевода: препятствия, интуиция и изменение маршрута. Журнал математического поведения, 22, 437–450. Получено 29 апреля 2014 г. с сайта www.elsevier.com/locate/jmathb.
- Преобразования графов: горизонтальные трансляции . (2006, 1 января). Биоматематика: преобразование графов. Проверено 29 апреля 2014 г.
Внешние ссылки [ править ]
- Преобразование перевода в кратчайшие сроки
- Геометрический перевод (интерактивная анимация) в Math Is Fun
- Понимание 2D-перевода и Понимание 3D-перевода , Роджер Гермундссон, Демонстрационный проект Wolfram .