Определенная квадратичная форма

В математике определенная квадратичная форма — это квадратичная форма над некоторым вещественным векторным пространством $V$ , которая имеет один и тот же знак (всегда положительный или всегда отрицательный) для каждого ненулевого $V.$ вектора В соответствии с этим знаком квадратичная форма называется положительно-определенной или отрицательно-определенной .

Полуопределенная (или полуопределенная ) квадратичная форма определяется почти таким же образом, за исключением того, что «всегда положительная» и «всегда отрицательная» заменяются на «никогда не отрицательная» и «никогда не положительная» соответственно. Другими словами, он может принимать нулевые значения для некоторых ненулевых векторов $V$ .

Неопределенная квадратичная форма принимает как положительные , так и отрицательные значения и называется изотропной квадратичной формой .

В более общем смысле эти определения применимы к любому векторному пространству над упорядоченным полем . ^[1]

Связанная симметричная билинейная форма

Квадратичные формы взаимно однозначно соответствуют симметричным билинейным формам в том же пространстве. ^[2] Симметричная билинейная форма также описывается как определенная , полуопределенная и т. д. в соответствии с связанной с ней квадратичной формой. Квадратичная форма $Q$ и связанная с ней симметричная билинейная форма $B$ связаны следующими уравнениями:

{\begin{aligned}Q(x)&=B(x,x)\\B(x,y)&=B(y,x)={\tfrac {1}{2}}[Q(x+y)-Q(x)-Q(y)]~.\end{aligned}}

Последняя формула возникает в результате расширения $\;Q(x+y)=B(x+y,x+y)~.$

Примеры

В качестве примера позвольте $V=\mathbb {R} ^{2}$ и рассмотрим квадратичную форму

Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}

где $~x=[x_{1},x_{2}]\in V$ и $c$ ₁ и $c$ ₂ являются константами. Если $c$ ₁ > 0 и $c$ ₂ > 0, квадратичная форма $Q$ является положительно определенной, поэтому Q оценивается как положительное число всякий раз, когда $\;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.$ Если одна из констант положительна, а другая равна 0, то $Q$ является положительно полуопределенным и всегда принимает значение либо 0, либо положительного числа. Если $c$ ₁ > 0 и $c$ ₂ < 0 или наоборот, то $Q$ является неопределенным и иногда оценивается как положительное число, а иногда и как отрицательное число. Если $c$ ₁ < 0 и $c$ ₂ < 0, квадратичная форма является отрицательно определенной и всегда дает отрицательное число всякий раз, когда $\;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.$ А если одна из констант отрицательна, а другая равна 0, то $Q$ является отрицательно полуопределенным и всегда принимает значение либо 0, либо отрицательного числа.

В общем случае квадратичная форма с двумя переменными также будет включать в себя член перекрестного произведения от $x$ ₁ · $x$ ₂ :

Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}+2c_{3}x_{1}x_{2}~.

Эта квадратичная форма является положительно определенной, если $\;c_{1}>0\;$ и $\,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,$ отрицательно определенное, если $\;c_{1}<0\;$ и $\,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,$ и бессрочно, если $\;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}<0~.$ Оно является положительно или отрицательно полуопределенным, если $\;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0\;,$ со знаком полуопределенности, совпадающим со знаком $\;c_{1}~.$

Эта двумерная квадратичная форма появляется в контексте конических сечений с центром в начале координат. Если приведенная выше общая квадратичная форма приравнивается к 0, полученное уравнение представляет собой уравнение эллипса , если квадратичная форма положительна или отрицательно определена, гиперболы, если она неопределенна, и параболы , если она неопределенна. $\;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0~.$

Квадрат евклидовой нормы в $n$ -мерном пространстве, наиболее часто используемая мера расстояния, равен

{x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}~.

В двух измерениях это означает, что расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов расстояний вдоль линии. $x_{1}$ ось и $x_{2}$ ось.

Матричная форма

Квадратичная форма может быть записана через матрицы как

x^{\mathsf {T}}A\,x

где $x$ — любой $n$ × 1. декартов вектор $\;[x_{1},\cdots ,x_{n}]^{\mathsf {T}}\;$ в котором хотя бы один элемент не равен 0; $A$ — $размера n\timesn$ симметричная матрица ; и надстрочный индекс ^Т обозначает транспонирование матрицы . Если $A$ диагонально , это эквивалентно нематричной форме, содержащей только члены, включающие квадратные переменные; но если $A$ имеет какие-либо ненулевые недиагональные элементы, нематричная форма также будет содержать некоторые члены, включающие произведения двух разных переменных.

Положительная или отрицательная определенность, или полуопределенность, или неопределенность этой квадратичной формы эквивалентны тому же свойству $А$ рассматривая все собственные значения А $, которое можно проверить ,$ или проверяя знаки всех ее главных миноров .

Оптимизация

Определенные квадратичные формы легко поддаются решению задач оптимизации . Предположим, что матричная квадратичная форма дополнена линейными членами, как

x^{\mathsf {T}}A\,x+b^{\mathsf {T}}x\;,

где $b$ — $n$ вектор констант размера × 1. Условия первого порядка для максимума или минимума находятся путем присвоения производной матрицы нулевому вектору:

2A\,x+b={\vec {0}}\;,

предоставление

x=-{\tfrac {1}{2}}\,A^{-1}b\;,

предполагая, $A$ что неособа . Если квадратичная форма и, следовательно $, A$ положительно определена, условия минимума второго порядка в этой точке выполняются . Если квадратичная форма отрицательно определена, условия максимума второго порядка выполняются.

Важный пример такой оптимизации возникает в множественной регрессии , в которой ищется вектор оцененных параметров, который минимизирует сумму квадратов отклонений от идеального соответствия набору данных.

См. также

Примечания

^ Милнор и Хуземоллер 1973 , с. 61.
^ Это верно только для поля с характеристикой, отличной от 2, но здесь мы рассматриваем только упорядоченные поля , которые обязательно имеют характеристику 0.

Ссылки

Китаока, Ёсиюки (1993). Арифметика квадратичных форм . Кембриджские трактаты по математике. Том. 106. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-40475-4 . Збл 0785.11021 .
Ланг, Серж (2004), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (Исправленное четвертое издание, исправленное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 211. 578, ISBN 978-0-387-95385-4 .
Милнор, Дж .; Хуземоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Результаты математики и ее пограничные области . Том 73. Спрингер. ISBN 3-540-06009-Х . Збл 0292.10016 .

[1] Милнор и Хуземоллер 1973 , с. 61.

[2] Это верно только для поля с характеристикой, отличной от 2, но здесь мы рассматриваем только упорядоченные поля , которые обязательно имеют характеристику 0.

[1]

[2]