Координатный вектор

В линейной алгебре координатный вектор — это представление вектора в виде упорядоченного списка чисел ( кортежа ), который описывает вектор в терминах определенного упорядоченного базиса . Простым примером может быть такая позиция, как (5, 2, 1) в трехмерной декартовой системе координат с базисом в качестве осей этой системы. Координаты всегда указываются относительно упорядоченного базиса. Базисы и связанные с ними координатные представления позволяют реализовать векторные пространства и линейные преобразования конкретно как векторы-столбцы , векторы-строки и матрицы ; следовательно, они полезны в расчетах.

Идея координатного вектора также может быть использована для бесконечномерных векторных пространств, как описано ниже.

Определение

Пусть V — векторное пространство размерности n и над полем F пусть

$B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}$

быть упорядоченным базисом для V . Тогда для каждого $v\in V$ существует единственная линейная комбинация базисных векторов, равная $v$:

$v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.$

Координатный вектор ​ $v$ относительно B — последовательность координат ​

$[v]_{B}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}).$

Это еще называют представлением $v$ относительно B или B-представления $v$. $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ называются координатами $v$. Здесь важен порядок базиса, поскольку он определяет порядок, в котором коэффициенты перечислены в координатном векторе.

Координатные векторы конечномерных векторных пространств могут быть представлены матрицами в виде векторов- столбцов или строк . В приведенных выше обозначениях можно написать

$[v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{bmatrix}}$

и

$[v]_{B}^{T}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}$

где $[v]_{B}^{T}$ это транспонирование матрицы $[v]_{B}$.

Стандартное представление

Мы можем механизировать описанное выше преобразование, определив функцию $\phi _{B}$, называемое стандартным представлением V относительно B , которое переводит каждый вектор в его координатное представление: $\phi _{B}(v)=[v]_{B}$. Затем $\phi _{B}$ — линейное преобразование из V в F ^н . Фактически это изоморфизм и его обратный $\phi _{B}^{-1}:F^{n}\to V$ это просто

$\phi _{B}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.$

В качестве альтернативы мы могли бы определить $\phi _{B}^{-1}$ чтобы быть вышеуказанной функцией с самого начала, понял, что $\phi _{B}^{-1}$ является изоморфизмом и определен $\phi _{B}$ быть его обратным.

Примеры

Пример 1

Позволять $P_{3}$ быть пространством всех алгебраических многочленов степени не выше 3 (т.е. старший показатель x может быть равен 3). Это пространство линейно и натянуто на следующие полиномы:

$B_{P}=\left\{1,x,x^{2},x^{3}\right\}$

соответствие

$1:={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x:={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x^{2}:={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}};\quad x^{3}:={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}$

то вектор координат, соответствующий многочлену

$p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}$

является

${\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}.$

Согласно этому представлению оператор дифференцирования d / dx , который мы обозначим D, будет представлен следующей матрицей :

$Dp(x)=P'(x);\quad [D]={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}$

Используя этот метод, легко изучить свойства оператора, такие как: обратимость , эрмитовость или антиэрмитовость или ни одно из них , спектр и собственные значения и многое другое.

Пример 2

Матрицы Паули , которые представляют оператор вращения спина при преобразовании собственных состояний в векторные координаты.

Базовая матрица преобразования

Пусть B и C — две разные базы векторного пространства V и отметим $\lbrack M\rbrack _{C}^{B}$ матрица , столбцы которой состоят из C -представления базисных векторов b ₁ , b ₂ , …, _bn :

$\lbrack M\rbrack _{C}^{B}={\begin{bmatrix}\lbrack b_{1}\rbrack _{C}&\cdots &\lbrack b_{n}\rbrack _{C}\end{bmatrix}}$

Эта матрица называется преобразования из B в C. базовой матрицей Его можно рассматривать как автоморфизм над $F^{n}$. Любой вектор v, представленный в B, можно преобразовать в представление в C следующим образом:

$\lbrack v\rbrack _{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack v\rbrack _{B}.$

При преобразовании базиса обратите внимание, что верхний индекс матрицы преобразования M и нижний индекс координатного вектора v одинаковы и, по-видимому, сокращаются, оставляя оставшийся нижний индекс. Хотя это может служить средством запоминания, важно отметить, что никакой такой отмены или подобной математической операции не происходит.

Следствие

Матрица M является обратимой матрицей и M ⁻¹ — базовая матрица преобразования C в B. из Другими словами,

${\begin{aligned}\operatorname {Id} &=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack M\rbrack _{B}^{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{C}\\[3pt]&=\lbrack M\rbrack _{B}^{C}\lbrack M\rbrack _{C}^{B}=\lbrack M\rbrack _{B}^{B}\end{aligned}}$

Бесконечномерные векторные пространства

Предположим, V — бесконечномерное векторное пространство над полем F. что Если размерность равна κ существует некоторый базис из κ элементов , то для V . После выбора порядка базис можно считать упорядоченным. Элементы V представляют собой конечные линейные комбинации элементов в базисе, которые приводят к уникальным представлениям координат точно так, как описано ранее. Единственное изменение состоит в том, что набор индексов для координат не является конечным. Поскольку данный вектор v является конечной линейной комбинацией базисных элементов, единственными ненулевыми элементами координатного вектора для v будут ненулевые коэффициенты линейной комбинации, представляющей v . Таким образом, координатный вектор для v равен нулю, за исключением конечного числа записей.

Линейные преобразования между (возможно) бесконечномерными векторными пространствами можно моделировать, аналогично конечномерному случаю, с помощью бесконечных матриц . Частный случай преобразований из V в V описан в статье о полном линейном кольце .

См. также

• Изменение базы
• Координатное пространство