Максимальная дуга

Максимальная дуга в конечной проективной плоскости — это наибольшая возможная ( k , d ) -дуга в этой проективной плоскости. Если конечная проективная плоскость имеет порядок q (на любой прямой имеется q +1 точка), то для максимальной дуги k , количество точек дуги, является максимально возможным (= qd + d - q ) с свойство, заключающееся в том, что никакие d +1 точки дуги не лежат на одной прямой.

Определение

Позволять $\pi$ — конечная проективная плоскость порядка q (не обязательно дезаргова ). Максимальными дугами степени d ( 2 ≤ d ≤ q - 1) являются ( k , d ) -дуги в $\pi$, где k максимально по параметру d , другими словами, k = qd + d - q .

Эквивалентно, можно определить максимальные дуги степени d в $\pi$ как непустые множества точек K такие, что каждая прямая пересекает это множество либо в 0, либо в d точках.

Некоторые авторы допускают, что степень максимальной дуги равна 1, q или даже q + 1. Пусть K — максимальная ( k , d )-дуга в проективной плоскости порядка q , если

• d = 1, K — точка плоскости,
• d = q , K — дополнение прямой ( аффинная плоскость порядка q ), а
• d = q + 1, K — вся проективная плоскость.

Все эти случаи считаются тривиальными примерами максимальных дуг, существующих в любом типе проективной плоскости при любом значении q . Когда 2 ⩽ d ⩽ q - 1, максимальная дуга называется нетривиальной , а определение, данное выше, и перечисленные ниже свойства относятся к нетривиальным максимальным дугам.

Характеристики

• Число прямых, проходящих через фиксированную точку p , а не по максимальной дуге K , пересекающих K в d точках, равно $(q+1)-{\frac {q}{d}}$. Таким образом, d делит q .
• В частном случае d = 2 максимальные дуги известны как гиперовалы , которые могут существовать только в том случае, если q четно.
• Дугу К, имеющую на одну точку меньше, чем максимальная дуга, всегда можно однозначно продлить до максимальной дуги, добавив к К точку, в которой сходятся все прямые, пересекающиеся с К в d — 1 точках.
• В PG(2, q ) с нечетным q не существует нетривиальных максимальных дуг.
• В PG(2.2 ^час ), максимальные дуги для каждой степени 2 ^т , 1 ≤ t ≤ h существуют.

Частичные геометрии

Можно построить частичную геометрию , полученную из максимальных дуг:

• Пусть K — максимальная дуга степени d . Рассмотрим структуру заболеваемости $S(K)=(P,B,I)$, где P содержит все точки проективной плоскости, не лежащие на K , B содержит все линии проективной плоскости, пересекающие K в d точках, а инцидентность I является естественным включением. Это частичная геометрия: $pg(q-d,q-{\frac {q}{d}},q-{\frac {q}{d}}-d+1)$.
• Рассмотрим пространство $PG(3,2^{h})(h\geq 1)$ и пусть K — максимальная дуга степени $d=2^{s}(1\leq s\leq m)$ в двумерном подпространстве $\pi$. Рассмотрим структуру заболеваемости $T_{2}^{*}(K)=(P,B,I)$ где P содержит все точки, не входящие в $\pi$, B содержит все строки, не входящие в $\pi$ и пересекающиеся $\pi$ в точке K , и I снова является естественным включением. $T_{2}^{*}(K)$ снова является частичной геометрией: $pg(2^{h}-1,(2^{h}+1)(2^{m}-1),2^{m}-1)\,$.

Ссылки

• Болл, С.; Блокхейс, А.; Маццокка, Ф. (1997), «Максимальные дуги в дезарговых плоскостях нечетного порядка не существуют», Combinatorica , 17 : 31–41, doi : 10.1007/bf01196129 , MR   1466573 , Zbl   0880.51003
• Деннистон, RHF (апрель 1969 г.), «Некоторые максимальные дуги в конечных проективных плоскостях», Журнал комбинаторной теории , 6 (3): 317–319, doi : 10.1016/s0021-9800(69)80095-5 , MR   0239991 , Zbl   0167.49106
• Хиршфельд, JWP (1979), Проективная геометрия над конечными полями , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853526-3
• Матон, Рудольф (2002), «Новые максимальные дуги в дезарговых плоскостях», Журнал комбинаторной теории , серия A, 97 (2): 353–368, doi : 10.1006/jcta.2001.3218 , MR   1883870 , Zbl   1010.51009
• Тас, Дж. А. (1974), «Построение максимальных дуг и частичных геометрий», Geometriae Dedicata , 3 : 61–64, doi : 10.1007/bf00181361 , MR   0349437 , Zbl   0285.50018