Частичная геометрия

заболеваемости Структура $C=(P,L,I)$ состоит из точек $P$, линии $L$и флаги $I\subseteq P\times L$ где точка $p$ говорят, что он инцидентен с линией $l$ если $(p,l)\in I$. Это ( конечная ) частичная геометрия , если существуют целые числа $s,t,\alpha \geq 1$ такой, что:

• Для любой пары различных точек $p$ и $q$, с ними обоими происходит не более одного инцидента на линии.
• Каждая строка инцидентна $s+1$ точки.
• Каждая точка инцидентна $t+1$ линии.
• Если точка $p$ и линия $l$ не инциденты, есть именно $\alpha$ пары $(q,m)\in I$, такой, что $p$ это инцидент с $m$ и $q$ это инцидент с $l$.

Частичная геометрия с этими параметрами обозначается $\mathrm {pg} (s,t,\alpha )$.

Свойства

• Количество баллов определяется ${\frac {(s+1)(st+\alpha )}{\alpha }}$ и количество строк по ${\frac {(t+1)(st+\alpha )}{\alpha }}$.
• Точечный граф (также известный как граф коллинеарности ) $\mathrm {pg} (s,t,\alpha )$ является сильно регулярным графом : $\mathrm {srg} ((s+1){\frac {(st+\alpha )}{\alpha }},s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\alpha (t+1))$.
• Частичные геометрии — это двойственные структуры: двойственная $\mathrm {pg} (s,t,\alpha )$ это просто $\mathrm {pg} (t,s,\alpha )$.

Особый случай

• Обобщенные четырехугольники — это в точности те частичные геометрии, $\mathrm {pg} (s,t,\alpha )$ с $\alpha =1$.
• Штейнера Системы $S(2,s+1,ts+1)$ это именно те частичные геометрии $\mathrm {pg} (s,t,\alpha )$ с $\alpha =s+1$.

Обобщения

Частичное линейное пространство $S=(P,L,I)$ порядка $s,t$ называется получастичной геометрией, если существуют целые числа $\alpha \geq 1,\mu$ такой, что:

• Если точка $p$ и линия $\ell$ не являются инцидентами, есть либо $0$ или точно $\alpha$ пары $(q,m)\in I$, такой, что $p$ это инцидент с $m$ и $q$ это инцидент с $\ell$.
• Каждая пара неколлинеарных точек имеет ровно $\mu$ общие соседи.

Получастичная геометрия является частичной геометрией тогда и только тогда, когда $\mu =\alpha (t+1)$.

Легко показать, что граф коллинеарности такой геометрии сильно регулярен с параметрами $(1+s(t+1)+s(t+1)t(s-\alpha +1)/\mu ,s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\mu )$.

Хороший пример такой геометрии получается, если взять аффинные точки $\mathrm {PG} (3,q^{2})$и только те прямые, которые пересекают плоскость на бесконечности в точке фиксированной бэровской подплоскости; у него есть параметры $(s,t,\alpha ,\mu )=(q^{2}-1,q^{2}+q,q,q(q+1))$.

См. также

• Сильно регулярный граф
• Максимальная дуга

Ссылки

• Брауэр, А.Э.; ван Линт, Дж. Х. (1984), «Строго регулярные графы и частичная геометрия», в Джексоне, DM; Ванстон, С.А. (ред.), Enumeration and Design , Торонто: Academic Press, стр. 85–122.
• Бозе, Р.К. (1963), «Строго регулярные графы, частичная геометрия и частично сбалансированные конструкции» (PDF) , Pacific J. Math. , 13 : 389–419, doi : 10.2140/pjm.1963.13.389
• Де Клерк, Ф.; Ван Малдегем, Х. (1995), «Некоторые классы геометрии ранга 2», Справочник по геометрии инцидентности , Амстердам: Северная Голландия, стр. 433–475.
• Тас, Дж. А. (2007), «Частичная геометрия», в Колборне, Чарльз Дж.; Диниц, Джеффри Х. (ред.), Справочник по комбинаторным планам (2-е изд.), Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC, стр. 557–561 , ISBN  1-58488-506-8
• Деброй, И.; Тас, Дж. А. (1978), «О получастичных геометриях», Журнал комбинаторной теории, серия A , 25 : 242–250, doi : 10.1016/0097-3165(78)90016-x