Самолет Муфанг
В геометрии плоскость Муфанг , названная в честь Рут Муфанг , является разновидностью проективной плоскости , точнее, специальным типом плоскости перемещения . Плоскость сдвига — это проективная плоскость, имеющая линию сдвига , то есть линию со свойством, что группа автоморфизмов, фиксирующая каждую точку прямой, действует транзитивно на точках плоскости, а не на прямой. [1] Плоскость перевода называется Муфанг, если каждая линия плоскости является линией перевода. [2]
Характеристики
[ редактировать ]Плоскость Муфанга также можно описать как проективную плоскость, в которой справедлива малая теорема Дезарга . [3] Эта теорема утверждает, что ограниченная форма теоремы Дезарга справедлива для каждой прямой на плоскости. [4] Например, каждая дезаргова плоскость является плоскостью Муфанга. [5]
В алгебраических терминах проективная плоскость над любым альтернативным телом является плоскостью Муфанга. [6] и это дает соответствие 1:1 между классами изоморфизма альтернативных тел и плоскостей Муфанга.
Как следствие алгебраической теоремы Артина-Цорна о том, что каждое конечное альтернативное тело является полем, каждая конечная плоскость Муфанга является дезарговой, но некоторые бесконечные плоскости Муфанга являются недесарговыми плоскостями . В частности, плоскость Кэли , бесконечная проективная плоскость Муфанга над октонионами , является одной из них, поскольку октонионы не образуют тела. [7]
Характеристики
[ редактировать ]Следующие условия на проективной плоскости P эквивалентны: [8]
- P — самолет Муфанга.
- Группа автоморфизмов, фиксирующих все точки любой данной прямой, действует транзитивно на точках, не лежащих на прямой.
- Альтернативным телом является некоторое тройное кольцо плоскости.
- P изоморфна проективной плоскости над альтернативным телом.
Также в самолете Муфанг:
- Группа автоморфизмов действует транзитивно на четырехугольниках. [9] [10]
- Любые два тройных кольца плоскости изоморфны.
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ То есть группа действует транзитивно на аффинной плоскости, образованной удалением этой прямой и всех ее точек из проективной плоскости.
- ^ Хьюз и Пайпер 1973 , с. 101
- ^ Пикерт 1975 , с. 186
- ^ В этой ограниченной версии говорится, что если два треугольника перспективны из точки на данной линии, и две пары соответствующих сторон также встречаются на этой линии, то третья пара соответствующих сторон также встречается на этой линии.
- ^ Хьюз и Пайпер 1973 , с. 153
- ^ Хьюз и Пайпер 1973 , с. 139
- ^ Вейбель, Чарльз (2007), «Обзор недесарговых самолетов» , Уведомления AMS , 54 (10): 1294–1303.
- ^ Самолеты Х. Кляйна Муфанга
- ^ Стивенсон 1972 , с. 392 Стивенсон называет самолеты Муфанг альтернативными самолетами .
- ^ Если транзитивное заменить на резко транзитивное, то плоскость паппова.
Ссылки
[ редактировать ]- Хьюз, Дэниел Р.; Пайпер, Фред К. (1973), Проекционные плоскости , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
- Пикерт, Гюнтер (1975), Проективные уровни (второе издание), Springer-Verlag, ISBN 0-387-07280-2
- Стивенсон, Фредерик В. (1972), Проекционные плоскости , WH Freeman & Co., ISBN 0-7167-0443-9
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Титс, Жак ; Вайс, Ричард М. (2002), Многоугольники Муфанга , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43714-7 , г-н 1938841