Плоское тройное кольцо

В математике алгебраическая структура $(R,T)$ состоящий из непустого множества $R$ и троичное отображение $T\colon R^{3}\to R\,$ можно назвать тройной системой . Плоское тройное кольцо (PTR) или тройное поле - это особый тип тройной системы, используемый Маршаллом Холлом. ^{[ 1 ]} строить проективные плоскости с помощью координат. Плоское тройное кольцо не является кольцом в традиционном смысле, но любое поле дает плоское тройное кольцо, где выполняется операция $T$ определяется $T(a,b,c)=ab+c$ . Таким образом, мы можем думать о плоском тройном кольце как об обобщении поля, в котором тройная операция заменяет сложение и умножение.

Существует большое разнообразие терминологии. Плоские тройные кольца или тройные поля, определенные здесь, в литературе назывались другими именами, и термин «плоское тройное кольцо» может означать вариант определенной здесь системы. Термин «тройное кольцо» часто означает плоское тройное кольцо, но он также может означать просто тройную систему.

Определение

Плоское тройное кольцо представляет собой структуру $(R,T)$ где $R$ - это набор, содержащий как минимум два различных элемента, называемых 0 и 1, и $T\colon R^{3}\to R\,$ — это отображение, которое удовлетворяет этим пяти аксиомам: ^{[ 2 ]}

$T(a,0,b)=T(0,a,b)=b,\quad \forall a,b\in R$ ;
$T(1,a,0)=T(a,1,0)=a,\quad \forall a\in R$ ;
$\forall a,b,c,d\in R,a\neq c$ , есть уникальный $x\in R$ такой, что: $T(x,a,b)=T(x,c,d)\,$ ;
$\forall a,b,c\in R$ , есть уникальный $x\in R$ , такой, что $T(a,b,x)=c\,$ ; и
$\forall a,b,c,d\in R,a\neq c$ , уравнения $T(a,x,y)=b,T(c,x,y)=d\,$ есть уникальное решение $(x,y)\in R^{2}$ .

Когда $R$ конечно, третья и пятая аксиомы эквивалентны при наличии четвертой. ^{[ 3 ]}

Никакой другой пары (0', 1') в $R^{2}$ можно найти такое, что $T$ по-прежнему удовлетворяет первым двум аксиомам.

Бинарные операции

Добавление

Определять $a\oplus b=T(a,1,b)$ . ^{[ 4 ]} Структура $(R,\oplus )$ представляет собой цикл с единичным элементом 0.

Умножение

Определять $a\otimes b=T(a,b,0)$ . Набор $R_{0}=R\setminus \{0\}\,$ замкнуто при этом умножении. Структура $(R_{0},\otimes )$ также является циклом с единичным элементом 1.

Линейный ПТР

Плоское тройное кольцо $(R,T)$ называется линейным, если $T(a,b,c)=(a\otimes b)\oplus c,\quad \forall a,b,c\in R$ . Например, плоское тройное кольцо, ассоциированное с квазиполем, является (по построению) линейным.

Связь с проекционными плоскостями

Учитывая плоское тройное кольцо $(R,T)$ , можно построить проективную плоскость с набором точек P и набором прямых L следующим образом: ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} (Обратите внимание, что $\infty$ является дополнительным символом, которого нет в $R$ .)

Позволять

$P=\{(a,b)|a,b\in R\}\cup \{(a)|a\in R\}\cup \{(\infty )\}$ , и
$L=\{[a,b]|a,b\in R\}\cup \{[a]|a\in R\}\cup \{[\infty ]\}$ .

Затем определите, $\forall a,b,c,d\in R$ , отношение инцидентности $I$ таким образом:

((a,b),[c,d])\in I\Longleftrightarrow T(a,c,d)=b

((a,b),[c])\in I\Longleftrightarrow a=c

((a,b),[\infty ])\notin I

((a),[c,d])\in I\Longleftrightarrow a=c

((a),[c])\notin I

((a),[\infty ])\in I

((\infty ),[c,d])\notin I

((\infty ),[a])\in I

((\infty ),[\infty ])\in I

Таким образом можно построить любую проективную плоскость, начиная с соответствующего планарного тройного кольца. Однако два неизоморфных плоских тройных кольца могут привести к построению изоморфных проективных плоскостей.

И наоборот, для любой проективной плоскости π, выбрав четыре точки, обозначенные o , e , u и v , никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно ввести координаты в π так, чтобы этим специальным точкам были присвоены координаты: o = (0,0), е = (1,1), v = ( $\infty$ ) и и = (0). ^{[ 7 ]} Тернарная операция теперь определена для символов координат (кроме $\infty$ ) на y = T( x , a , b ) тогда и только тогда, когда точка ( x , y ) лежит на линии, которая соединяет ( a ) с (0, b ). Аксиомы, определяющие проективную плоскость, используются, чтобы показать, что это дает плоское тройное кольцо.

Линейность PTR эквивалентна соблюдению геометрического условия в соответствующей проективной плоскости. ^{[ 8 ]}

Интуиция

Связь между плоскими тройными кольцами (PTR) и двумерными геометриями, особенно проективной и аффинной геометриями , лучше всего описать, рассмотрев сначала аффинный случай. В аффинной геометрии точки на плоскости описываются с использованием декартовых координат — метода, применимого даже в недесарговых геометриях — там всегда можно показать, что компоненты координат подчиняются структуре PTR. Напротив, однородные координаты , обычно используемые в проективной геометрии, недоступны в недесарговых контекстах. Таким образом, самый простой аналитический способ построить проективную плоскость — начать с аффинной плоскости и расширить ее, добавив «бесконечную линию»; это обходит однородные координаты.

В аффинной плоскости, когда плоскость является дезарговой, линии могут быть представлены в форме пересечения наклона. $y=mx+c$ . Это представление распространяется на недесарговы плоскости посредством тернарной операции PTR, позволяя выразить линию как $y=T(x,m,c)$ . Линии, параллельные оси Y, выражаются выражением $x=c$ .

Теперь мы покажем, как получить аналитическое представление общей проективной плоскости, данное в начале этого раздела. Для этого выйдем из аффинной плоскости, представленной как $R^{2}$ , к представлению проективной плоскости $R\mathbb {P} ^{2}$ , добавив линию на бесконечности. Формально проективная плоскость описывается как $R\mathbb {P} ^{2}:=R^{2}\cup R\mathbb {P} ^{1}$ , где $R^{2}$ представляет собой аффинную плоскость в декартовых координатах и включает в себя все конечные точки, а $R\mathbb {P} ^{1}$ обозначает линию на бесконечности. Сходным образом, $R\mathbb {P} ^{1}$ выражается как $R\mathbb {P} ^{1}:=R^{1}\cup R\mathbb {P} ^{0}$ . Здесь, $R^{1}$ является аффинной линией, которой мы задаем собственную декартову систему координат, и $R\mathbb {P} ^{0}$ состоит из единственной точки, не лежащей на той аффинной прямой, которую мы обозначаем символом $\infty$ .

Связанные алгебраические структуры

PTR, удовлетворяющие дополнительным алгебраическим условиям, получают другие имена. Эти названия не применяются единообразно в литературе. Следующий список имен и свойств взят из работы Дембовского (1968 , стр. 129).

Линейный PTR, аддитивная петля которого является ассоциативной (и, следовательно, группой ), называется декартовой группой . В декартовой группе отображения

$x\longrightarrow -x\otimes a+x\otimes b$ , и $x\longrightarrow a\otimes x-b\otimes x$

должны быть перестановками всякий раз, когда $a\neq b$ . Поскольку декартовы группы представляют собой сложенные группы, мы возвращаемся к использованию простого «+» для аддитивной операции.

Квазиполе — это декартова группа , удовлетворяющая правому закону распределения: $(x+y)\otimes z=x\otimes z+y\otimes z$ . Сложение в любом квазиполе коммутативно .

Полуполе — это квазиполе, которое также удовлетворяет левому дистрибутивному закону: $x\otimes (y+z)=x\otimes y+x\otimes z.$

Плоское — это квазиполе, мультипликативная петля ближнее поле которого ассоциативна (и, следовательно, является группой). Не все ближние поля являются плоскими ближними полями.

Примечания

^ Зал 1943 г.
^ Хьюз и Пайпер 1973 , с. 113, Тэм. 5.1.
^ Хьюз и Пайпер 1973 , с. 118, Теорема 5.4.
^ В литературе существуют две версии этого определения. Эту форму использовали Холл (1959 , стр. 355), Альберт и Сэндлер (1968 , стр. 50) и Дембовски (1968 , стр. 128), в то время как $a\oplus b=T(1,a,b)$ используется Хьюзом и Пайпером (1973 , стр. 117), Пикертом (1975 , стр. 38) и Стивенсоном (1972 , стр. 274). Разница заключается в альтернативных способах, которыми эти авторы координируют плоскость.
^ Р. Х. Брук, Последние достижения в основах евклидовой плоской геометрии , The American Mathematical Monthly, vol. 66, стр. 2-17 (1955) Приложение I.
^ Холл 1943 , стр.247. Теорема 5.4.
^ Это можно сделать несколькими способами. Краткое описание метода, использованного Холлом (1943), можно найти у Дембовского (1968 , стр. 127).
^ Дембовский 1968 , с. 129

Ссылки

Альберт, А. Адриан; Сэндлер, Рубен (1968). Введение в конечные проективные плоскости . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон.
Артзи, Рафаэль (2008) [1965], «Глава 4 Аксиоматическая плоская геометрия», Линейная геометрия , Дувр, ISBN 978-0-486-46627-9
Бенц, Уолтер; Галие, Хулуд (1998), «Группоиды, связанные с тройным кольцом проективной плоскости», Journal of Geometry , 61 (1–2): 17–31, doi : 10.1007/bf01237490 , S2CID 123135402
Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия , результаты математики и ее пограничные области , Том 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , МР 0233275
Грари, А. (2004), «Необходимое и достаточное условие того, что два плоских тройных кольца индуцируют изоморфные проективные плоскости», Arch. Математика. (Базель) , 83 (2): 183–192, doi : 10.1007/s00013-003-4580-9 , S2CID 122203312
Холл, Маршалл-младший (1943), «Проективные плоскости», Труды Американского математического общества , 54 (2), Американское математическое общество: 229–277, doi : 10.2307/1990331 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990331 , MR 0008892 {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Холл, Маршалл младший (1959), Теория групп , Нью-Йорк: The MacMillan Company, MR 0103215
Хьюз, Д.Р. (1955), «Аддитивные и мультипликативные петли плоских тройных колец», Труды Американского математического общества , 6 (6): 973–980, doi : 10.1090/s0002-9939-1955-0073568-8 , MR 0073568
Хьюз, Дэниел Р.; Пайпер, Фред К. (1973), Проективные плоскости , Тексты для выпускников по математике (6), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0387900446 , МР 0333959
Martin, GE (1967), «Проективные плоскости и изотопные тройные кольца», американский математический месяц , 74 (10): 1185–1195, doi : /2315659 , HDL : 10338.dmlcz/101204 , JSTOR 2315659 , Mr 0253972222222222222222222222222222222222222222222222222222222. 10.2307
Пикерт, Гюнтер (1975), Проективные уровни , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3540072802
Стивенсон, Фредерик (1972), Проекционные плоскости , Сан-Франциско: WH Freeman and Company, ISBN 071670443-9

[1] Зал 1943 г.

[2] Хьюз и Пайпер 1973 , с. 113, Тэм. 5.1.

[3] Хьюз и Пайпер 1973 , с. 118, Теорема 5.4.

[4] В литературе существуют две версии этого определения. Эту форму использовали Холл (1959 , стр. 355), Альберт и Сэндлер (1968 , стр. 50) и Дембовски (1968 , стр. 128), в то время как $a\oplus b=T(1,a,b)$ используется Хьюзом и Пайпером (1973 , стр. 117), Пикертом (1975 , стр. 38) и Стивенсоном (1972 , стр. 274). Разница заключается в альтернативных способах, которыми эти авторы координируют плоскость.

[5] Р. Х. Брук, Последние достижения в основах евклидовой плоской геометрии , The American Mathematical Monthly, vol. 66, стр. 2-17 (1955) Приложение I.

[6] Холл 1943 , стр.247. Теорема 5.4.

[7] Это можно сделать несколькими способами. Краткое описание метода, использованного Холлом (1943), можно найти у Дембовского (1968 , стр. 127).

[8] Дембовский 1968 , с. 129

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]