Jump to content

Недесарговский самолет

(Перенаправлено из недесарговой геометрии )

В математике недесаргова плоскость — это проективная плоскость , не удовлетворяющая теореме Дезарга (названной в честь Жирара Дезарга ), или, другими словами, плоскость, не являющаяся дезарговой плоскостью . Теорема Дезарга верна во всех проективных пространствах размерности, отличной от 2; [1] другими словами, единственные проективные пространства размерности, не равной 2, — это классические проективные геометрии над полем (или телом ). Однако Дэвид Гильберт обнаружил, что некоторые проективные плоскости ему не удовлетворяют. [2] [3] Текущее состояние знаний об этих примерах не является полным. [4]

Существует множество примеров как конечных , так и бесконечных недесарговых плоскостей. Некоторые из известных примеров бесконечных недесарговых плоскостей включают:

Что касается конечных недезарговых плоскостей, то каждая проективная плоскость порядка не выше 8 является дезарговой, но существует три недезарговых примера 9-го порядка, каждый из которых имеет 91 точку и 91 прямую. [5] Они есть:

Известны многочисленные другие конструкции как конечных, так и бесконечных недесарговых плоскостей, см., например, Дембовский (1968) . Все известные конструкции конечных недесарговых плоскостей порождают плоскости, порядок которых является собственной простой степенью, т. е. целым числом вида p и , где p — простое число, а e — целое число, большее 1.

Классификация

[ редактировать ]

Ханфрид Ленц дал схему классификации проективных плоскостей в 1954 году: [6] который был усовершенствован Адриано Барлотти в 1957 году. [7] Эта схема классификации основана на типах транзитивности точки и прямой, допускаемых группой коллинеации плоскости, и известна как классификация проективных плоскостей Ленца-Барлотти . Список из 53 типов дан у Дембовского (1968 , стр. 124–125), а таблица известных на тот момент результатов существования (как для групп коллинеации, так и для плоскостей, имеющих такую ​​группу коллинеации) как в конечном, так и в бесконечном случаях появляется на странице. 126. По состоянию на 2007 год «36 из них существуют как конечные группы. От 7 до 12 существуют как конечные проективные плоскости, а 14 или 15 существуют как бесконечные проективные плоскости». [4]

Существуют и другие схемы классификации. Один из самых простых основан на специальных типах планарных тройных колец (PTR), которые можно использовать для координации проективной плоскости. Этими типами являются поля , тела , альтернативные тела , полуполя , почтиполя , правые почтиполя , квазиполя и правые квазиполя . [8]

Коники и овалы

[ редактировать ]

В дезарговой проективной плоскости коника может быть определена несколькими различными способами, эквивалентность которых может быть доказана. В недезарговых плоскостях эти доказательства больше не действительны, и различные определения могут привести к неэквивалентным объектам. [9] Теодор Г. Остром предложил название «коникоид» для этих конических фигур, но не дал формального определения, и этот термин, похоже, не получил широкого распространения. [10]

Есть несколько способов определения коник в дезарговых плоскостях:

  1. Множество абсолютных точек полярности известно как коника фон Штаудта . Если плоскость определена над полем характеристики два , только вырожденные коники . получаются
  2. Множество точек пересечения соответствующих прямых двух пучков, связанных проективно, но не перспективно, называется коникой Штейнера . Если карандаши связаны в перспективе, то коника вырождена.
  3. Множество точек, координаты которых удовлетворяют неприводимому однородному уравнению второй степени.

Более того, в конечной дезарговой плоскости:

  1. Набор из q + 1 точек, ни одна из которых не лежит на одной прямой в PG(2, q ), называется овалом . Если q нечетно, по теореме Сегре овал в PG(2, q ) является коникой в ​​смысле 3 выше.
  2. Коника Острома основана на обобщении гармонических множеств.

Артци привел пример коники Штейнера в плоскости Муфанга, которая не является коикой фон Штаудта. [11] Гарнер приводит пример коники фон Штаудта, которая не является коникой Острома в конечной плоскости полуполя. [9]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Теорема Дезарга бессмысленно верна в размерности 1; это проблематично только в измерении 2.
  2. ^ Гильберт, Дэвид (1950) [впервые опубликовано в 1902 году], «Основы геометрии» [Grundlagen der Geometrie] (PDF) , английский перевод Э. Дж. Таунсенда (2-е изд.), La Salle, IL: Open Court Publishing, стр. 48
  3. ^ Гильберт, Дэвид (1990) [1971], Основы геометрии [Grundlagen der Geometrie] , перевод Лео Унгера из 10-го немецкого издания (2-е английское изд.), La Salle, IL: Open Court Publishing, стр. 74, ISBN  0-87548-164-7 . Согласно сноске на этой странице, исходный «первый» пример, появившийся в более ранних изданиях, был заменен более простым примером Моултона в более поздних изданиях.
  4. Перейти обратно: Перейти обратно: а б Вейбель 2007 , с. 1296
  5. ^ см . Room & Kirkpatrick 1971 , где описаны все четыре самолета 9-го порядка.
  6. ^ Ленц, Ханфрид (1954). «Маленькая теорема Дезарга и двойственность в проективных плоскостях». Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков . 57 :20-31. МР   0061844 .
  7. ^ Барлотти, Адриано (1957). «Возможные конфигурации системы пар точка-прямая (A,a), для которых графическая плоскость (A,a)-транзитивна». Бык. Мэтт. Итал . 12 : 212–226. МР   0089435 .
  8. ^ Колборн и Диниц 2007 , стр. 723 статья Лео Сторма о конечной геометрии.
  9. Перейти обратно: Перейти обратно: а б Гарнер, Сирил В. Л. (1979), «Коники в конечных проективных плоскостях», Journal of Geometry , 12 (2): 132–138, doi : 10.1007/bf01918221 , MR   0525253
  10. ^ Остром, Т.Г. (1981), «Коникоиды: конические фигуры в непапповых плоскостях», Плауманн, Питер; Штрамбах, Карл (ред.), Геометрия - точка зрения фон Штаудта , Д. Райдель, стр. 175–196, ISBN  90-277-1283-2 , МР   0621316
  11. ^ Артзи, Р. (1971), «Коническая y = x 2 в плоскостях Муфанг», Mathematical Equations , 6 : 30–35, doi : 10.1007/bf01833234
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: ebabe5b3b15292863968679df0978289__1707360900
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/eb/89/ebabe5b3b15292863968679df0978289.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Non-Desarguesian plane - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)