Универсальная квадратичная форма
В математике универсальная квадратичная форма — это квадратичная форма над кольцом , которая представляет каждый элемент кольца. [1] Несингулярная форма над полем , которое нетривиально представляет ноль, является универсальной. [2]
Примеры
[ редактировать ]- Над действительными числами форма x 2 с одной переменной не является универсальным, поскольку не может представлять отрицательные числа: форма с двумя переменными x 2 − и 2 над R является универсальным.
- Теорема Лагранжа о четырех квадратах утверждает, что каждое положительное целое число является суммой четырех квадратов . Следовательно, форма x 2 + и 2 + я 2 + т 2 - в 2 над Z универсален.
- Над конечным полем любая неособая квадратичная форма размерности 2 и более универсальна. [3]
Формы над рациональными числами
[ редактировать ]Из теоремы Хассе –Минковского следует, что форма универсальна над Q тогда и только тогда, когда она универсальна над Q p для всех p (куда мы включаем p = ∞ , позволяя Q ∞ обозначать R ). [4] Форма над R универсальна тогда и только тогда, когда она не определена ; форма над Qp . универсальна, если она имеет размерность не менее 4 [5] Можно заключить, что все неопределенные формы размерности не ниже 4 над Q универсальны. [4]
См. также
[ редактировать ]- Теоремы 15 и 290 дают условия для того, чтобы квадратичная форма представляла все положительные целые числа.
Ссылки
[ редактировать ]- Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2 . МР 2104929 . Збл 1068.11023 .
- Раджваде, Арканзас (1993). Квадраты . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 171. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-42668-5 . Збл 0785.11022 .
- Серр, Жан-Пьер (1973). Курс арифметики . Тексты для аспирантов по математике . Том. 7. Шпрингер-Верлаг . ISBN 0-387-90040-3 . Збл 0256.12001 .