15 и 290 теорем

В математике теорема 15 или пятнадцатая теорема Конвея-Шнебергера , доказанная Джоном Х. Конвеем и В.А. Шнебергером в 1993 году, утверждает, что если положительно определенная квадратичная форма с целочисленной матрицей представляет все положительные целые числа до 15, то она представляет все положительные целые числа. . Доказательство было сложным и так и не было опубликовано. Манджул Бхаргава нашел гораздо более простое доказательство, которое было опубликовано в 2000 году.

Бхаргава воспользовался случаем получения премии SASTRA Рамануджана в 2005 году , чтобы объявить, что он и Джонатан П. Ханке раскрыли гипотезу Конвея о том, что аналогичная теорема справедлива для целых квадратичных форм, с заменой константы 15 на 290. Доказательство с тех пор появилось в виде препринта.

Подробности

Предполагать $Q_{ij}$ представляет собой симметричную матрицу с действительными элементами. Для любого вектора $x$ с целочисленными компонентами определите

$Q(x)=\sum _{i,j}Q_{ij}x_{i}x_{j}$

Эта функция называется квадратичной формой . Мы говорим $Q$ положительно определен, если $Q(x)>0$ в любое время $x\neq 0$. Если $Q(x)$ всегда целое число, мы вызываем функцию $Q$ целая квадратичная форма .

Мы получаем целочисленную квадратичную форму всякий раз, когда элементы матрицы $Q_{ij}$ являются целыми числами; затем $Q$ Говорят, что он имеет целочисленную матрицу . Однако, $Q$ будет по-прежнему целой квадратичной формой, если недиагональные элементы $Q_{ij}$ являются целыми числами, разделенными на 2, а диагональные элементы являются целыми числами. Например, х ² + ху + у ² является целым, но не имеет целой матрицы.

Положительная целочисленная квадратичная форма, принимающая в качестве значений все положительные целые числа, называется универсальной . Теорема 15 гласит, что квадратичная форма с целочисленной матрицей является универсальной, если она принимает в качестве значений числа от 1 до 15. Более точная версия гласит, что если положительно определенная квадратичная форма с целой матрицей принимает значения 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15 (последовательность A030050 в OEIS ), то она принимает все положительные целые числа. как ценности. Более того, для каждого из этих 9 чисел существует такая квадратичная форма, принимающая в качестве значений все остальные 8 натуральных чисел, кроме этого числа.

Например, квадратичная форма

$w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}$

является универсальным, поскольку каждое положительное целое число можно записать в виде суммы четырех квадратов по теореме Лагранжа о четырех квадратах . По теореме 15, чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, что каждое целое положительное число до 15 представляет собой сумму 4 квадратов. (Это не дает альтернативного доказательства теоремы Лагранжа, поскольку теорема Лагранжа используется в доказательстве теоремы 15.)

С другой стороны,

$w^{2}+2x^{2}+5y^{2}+5z^{2},$

— положительно определенная квадратичная форма с целочисленной матрицей, принимающая в качестве значений все положительные целые числа, кроме 15.

Теорема 290 утверждает, что положительно определенная целочисленная квадратичная форма является универсальной, если она принимает в качестве значений числа от 1 до 290. Более точная версия гласит, что если целочисленная квадратичная форма представляет все числа 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203, 290 (последовательность A030051 в OEIS ), то она представляет все положительные целые числа, и для каждого из этих 29 чисел существует такая квадратичная форма представляет все остальные 28 положительных целых чисел, за исключением этого одного числа.

Бхаргава нашел аналогичные критерии для квадратичной формы с целой матрицей, представляющей все простые числа (набор {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 67, 73} (последовательность A154363 в OEIS )) и для такой квадратичной формы для представления всех положительных нечетных целых чисел (набор {1, 3, 5, 7, 11, 15, 33} (последовательность A116582 в OEIS )) .

Пояснительные отчеты об этих результатах были написаны Ханом. и Мун (который предоставляет доказательства).