Теорема Витта

«Теорема Витта» или «теорема Витта» может также относиться к теореме Бурбаки-Витта о неподвижной точке теории порядка.

В математике теорема Витта , названная в честь Эрнста Витта , является основным результатом алгебраической теории : квадратичных форм любая изометрия между двумя подпространствами неособого квадратичного пространства над полем k может быть расширена до изометрии всего пространства. Аналогичное утверждение справедливо и для кососимметричных , эрмитовых и косоэрмитовых билинейных форм над произвольными полями. Теорема применима к классификации квадратичных форм над полем k и, в частности, позволяет определить группу Витта W ( k ), описывающую «стабильную» теорию квадратичных форм над полем k .

Заявление

Пусть ( V , b ) — конечномерное векторное пространство над полем k характеристики, отличной от 2, вместе с невырожденной симметричной или кососимметричной билинейной формой . Если f : U → U' является изометрией между двумя подпространствами V , то f продолжается до изометрии V .

Теорема Витта подразумевает, что размерность максимального полностью изотропного подпространства (нулевого пространства) V является инвариантом, называемым индексом или Витта Индекс b , и, более того, изометрий группа ( V , b ) действует транзитивно на множестве максимальных изотропных подпространств. Этот факт играет важную роль в теории структуры и теории представлений группы изометрий, а также в теории редуктивно-двойственных пар .

Теорема Витта об отмене

Пусть ( V , q ) , ( V1 _q2 , q1 ₎ ) , ( V2 _, квадратичных — _три k над полем . пространства Предположим, что

$(V_{1},q_{1})\oplus (V,q)\simeq (V_{2},q_{2})\oplus (V,q).$

Тогда квадратичные пространства ( V ₁ , q ₁ ) и ( V ₂ , q ₂ ) изометричны:

$(V_{1},q_{1})\simeq (V_{2},q_{2}).$

Другими словами, прямое слагаемое ( V , q ), встречающееся в обеих частях изоморфизма квадратичных пространств, может быть «отменено».

Теорема Витта о разложении

Пусть ( V , q ) — квадратичное пространство над полем k . Затем он допускает разложение Витта :

$(V,q)\simeq (V_{0},0)\oplus (V_{a},q_{a})\oplus (V_{h},q_{h}),$

где V ₀ = ker q — радикал q , q ( V _a , q _a ) — пространство и ( V _h , анизотропное квадратичное _h ) — расщепляемое квадратичное пространство . Более того, анизотропное слагаемое, называемое основной формой , и гиперболическое слагаемое в разложении Витта ( V , q ) определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Квадратичные формы с одинаковой основной формой называются подобными или эквивалентными по Витту .

Ссылки

• Эмиль Артин (1957) Геометрическая алгебра , страница 121 из Интернет-архива
• Лам, Цит-Юэнь (2005), Введение в квадратичные формы над полями , Аспирантура по математике , том. 67, Американское математическое общество, ISBN.  0-8218-1095-2 , МР   2104929 , Збл   1068.11023
• Лоренц, Фалько (2008), Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и сложные темы , Springer-Verlag , стр. 15–27, ISBN  978-0-387-72487-4 , Збл   1130.12001
• Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике (Третье изд.), Springer, ISBN  978-0-387-72828-5
• О'Мира, О. Тимоти (1973), Введение в квадратичные формы , Фундаментальные принципы математических наук, том. 117, Шпрингер-Верлаг , Збл   0259.10018