Редуктивная двойная пара

В математической области теории представлений редуктивная двойственная пара это пара подгрупп ( G , G ′) группы изометрий Sp( W ) симплектического векторного пространства W , такая, что G является централизатором G — ′ в Sp( W ) и наоборот, причем эти группы действуют редуктивно на W . В более широком смысле о двойственной паре говорят, когда две группы являются взаимными централизаторами в более крупной группе, которая часто является общей линейной группой . Эта концепция была представлена Роджером Хоу в книге Howe (1979) . Ее тесная связь с классической теорией инвариантов обсуждается в Howe (1989a) .

Примеры

Полная симплектическая группа G = Sp( W ) и двухэлементная группа G ′, центр Sp( W ), образуют редуктивную двойственную пару. Свойство двойного централизатора ясно из способа определения этих групп: централизатор группы G в G — это ее центр, а централизатор центра любой группы — сама группа. Группа G ′ состоит из тождественного преобразования и его отрицательного преобразования и может интерпретироваться как ортогональная группа одномерного векторного пространства. В результате последующего развития теории выяснилось, что эта пара является первым примером общего семейства дуальных пар, состоящих из симплектической группы и ортогональной группы, которые известны как неприводимые редуктивные дуальные пары типа I.
Пусть X — n мерное векторное пространство, Y его двойственное пространство , а W — прямая сумма X - и Y. — Тогда W можно естественным образом превратить в симплектическое векторное пространство, так что ( X , Y ) — его лагранжева поляризация. Группа G это общая линейная группа GL( X ), действующая тавтологично на X и контрагредиентно на Y. — Централизатором G в симплектической группе является группа G ′, состоящая из линейных операторов на W , которые действуют на X путем умножения на ненулевой скаляр λ и на Y путем скалярного умножения на его обратный λ. ⁻¹. Тогда централизатором G ′ является G , эти две группы действуют вполне приводимо на W и, следовательно, образуют редуктивную двойственную пару. Группу G ′ можно интерпретировать как общую линейную группу одномерного векторного пространства. Эта пара является членом семейства дуальных пар, состоящего из общих линейных групп, известных как неприводимые редуктивные дуальные пары типа II .

Теория структуры и классификация

Понятие редуктивной дуальной пары имеет смысл над любым полем F , которое мы предполагаем фиксированным повсюду. Таким образом, — симплектическое векторное пространство над F. W

Если W ₁ и W ₂ — два симплектических векторных пространства и ( G ₁ , G 1 _{пространство} ), ( G ₂ , G 2 _{векторное} ) — две редуктивно-двойственные пары в соответствующих симплектических группах, то мы можем сформировать новое симплектическое W = W ₁ ⊕ W ₂ пару групп G = G ₁ × G ₂ , G ′ = G и ₁ × G ′, _2, действующих на W изометриями. Оказывается, ( G , G ′) — редуктивно двойственная пара. Редуктивная двойственная пара называется приводимой , если ее можно получить таким образом из меньших групп, и неприводимой в противном случае. Приводимую пару можно разложить в прямое произведение неприводимых, и для многих целей достаточно ограничить внимание неприводимым случаем.

Несколько классов редуктивных дуальных пар появились ранее в работах Андре Вейля . Роджер Хоу доказал классификационную теорему , которая утверждает, что в неприводимом случае эти пары исчерпывают все возможности. Неприводимая редуктивная двойственная пара ( G , G ') в Sp( W ) называется типом II , если существует лагранжево подпространство X в W, которое инвариантно как относительно G , так и G ', и типа I в противном случае.

Архетипическая неприводимая редуктивная двойственная пара типа II состоит из пары общих линейных групп и возникает следующим образом. Пусть U и V — два векторных пространства над F , X = U ⊗ _F V — их тензорное произведение, а Y = Hom _F ( X , F ) — его двойственное . Тогда прямой сумме W = X ⊕ Y можно придать такую симплектическую форму, что X и Y — лагранжевы подпространства, а ограничение симплектической формы на X × Y ⊂ W × W совпадает со спариванием векторного пространства X и его Y. двойственное Если G = GL( U ) и G ′ = GL( V ), то обе эти группы действуют линейно на X и Y , действия сохраняют симплектическую форму на W , и ( G , G ′) является неприводимой редуктивной двойственной парой. Заметим, что X — инвариантное лагранжево подпространство, следовательно, эта двойственная пара относится к типу II.

Архетипическая неприводимая редуктивная дуальная пара типа I состоит из ортогональной группы и симплектической группы и строится аналогично. Пусть U — ортогональное векторное пространство, V — симплектическое векторное пространство над F , а W = U ⊗ _F V — их тензорное произведение. Ключевое наблюдение состоит в том, что W представляет собой симплектическое векторное пространство, билинейная форма которого получается из произведения форм на тензорные факторы. Более того, если G O( U ) и G ′ = Sp( V ) — группы изометрий U = и V , то они действуют на W естественным образом, эти действия симплектичны, и ( G , G ′) является неприводимая редуктивная двойственная пара типа I.

Эти две конструкции порождают все неприводимые редуктивно-двойственные пары над алгебраически замкнутым полем F , таким как поле C комплексных чисел . В общем, можно заменить векторные пространства над F векторными пространствами над телом D над F и действовать аналогично предыдущему, чтобы построить неприводимую редуктивную двойственную пару типа II. Для типа I начинается с тела D с инволюцией τ, эрмитовой формы на U и косоэрмитовой формы на V (обе они невырождены) и формируется их тензорное произведение над D , W = U ⊗ _Д В. Тогда W естественным образом наделено структурой симплектического векторного пространства над F , группы изометрий U и V действуют симплектически на W и образуют неприводимую редуктивную двойственную пару типа I. Роджер Хоу доказал, что с точностью до изоморфизма любые неприводимые Таким образом возникает двойная пара. Явный список для случая F = R представлен в Howe (1989b) .

См. также

Соответствие Хау между представлениями элементов редуктивной дуальной пары.
Группа Гейзенберга
Метаплектическая группа

Ссылки

Хоу, Роджер Э. (1979), «θ-ряды и теория инвариантов» (PDF) , в Борель, Арманд ; Кассельман, В. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Корваллис, Орегон, 1977), Часть 1 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., XXXIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 275–285, ISBN. 978-0-8218-1435-2 , МР 0546602
Хоу, Роджер Э. (1989a), «Замечания о классической теории инвариантов», Transactions of the American Mathematical Society , 313 (2), American Mathematical Society: 539–570, doi : 10.2307/2001418 , JSTOR 2001418 .
Хоу, Роджер Э. (1989b), «Превосходя классическую теорию инвариантов», Журнал Американского математического общества , 2 (3), Американское математическое общество: 535–552, номер документа : 10.2307/1990942 , JSTOR 1990942 .
Гудман, Роу; Уоллах, Нолан Р. (1998), Представления и инварианты классических групп , Cambridge University Press, ISBN 0-521-66348-2 .