Тета переписка

В математике тэта -соответствие или соответствие Хоу — математическое отношение между представлениями двух групп редуктивной дуальной пары . Локальное тэта-соответствие связывает неприводимые допустимые представления над локальным полем , тогда как глобальное тэта-соответствие связывает неприводимые автоморфные представления над глобальным полем .

Тета-соответствие было введено Роджером Хоу в книге Хоу (1979) . Его название возникло из-за его происхождения из Андре Вейля теоретической формулировки теории тета-рядов в Weil (1964) . Соответствие Шимуры , построенное Жаном-Лу Вальдспургером в книгах Вальдспургер (1980) и Вальдспургер (1991), можно рассматривать как пример тэта-соответствия.

Заявление

Настраивать

Позволять $F$ быть локальным или глобальным полем, не имеющим характеристического характера $2$. Позволять $W$ быть симплектическим векторным пространством над $F$, и $Sp(W)$ симплектическая группа .

Исправьте редуктивную двойственную пару $(G,H)$ в $Sp(W)$. Существует классификация редуктивных дуальных пар.

Локальная тета-переписка

$F$ теперь это локальное поле. Исправление нетривиального аддитивного символа $\psi$ из $F$. Существует представление Вейля метаплектической группы. $Mp(W)$ связанный с $\psi$, который мы запишем как $\omega _{\psi }$.

Учитывая редуктивную двойственную пару $(G,H)$ в $Sp(W)$, получим пару коммутирующих подгрупп $({\widetilde {G}},{\widetilde {H}})$ в $Mp(W)$ вытащив карту проекции из $Mp(W)$ к $Sp(W)$.

Локальное тэта-соответствие — это соответствие 1–1 между некоторыми неприводимыми допустимыми представлениями ${\widetilde {G}}$ и некоторые неприводимые допустимые представления ${\widetilde {H}}$, полученное ограничением представления Вейля $\omega _{\psi }$ из $Mp(W)$ в подгруппу ${\widetilde {G}}\cdot {\widetilde {H}}$. Соответствие было определено Роджером Хоу в Howe (1979) . Утверждение о том, что это соответствие 1-1, называется гипотезой двойственности Хоу .

Ключевые свойства локального тета-соответствия включают его совместимость с индукцией Бернштейна-Зелевинского. и соотношения сохранения относительно индексов первого появления вдоль башен Витта.

Глобальная тета-переписка

Стивен Раллис показал версию глобальной гипотезы двойственности Хоу для каспидальных автоморфных представлений над глобальным полем, предполагая справедливость гипотезы двойственности Хоу для всех локальных мест.

Гипотеза двойственности Хау

Определять ${\mathcal {R}}({\widetilde {G}},\omega _{\psi })$ множество неприводимых допустимых представлений ${\widetilde {G}}$, которые можно реализовать как частное $\omega _{\psi }$. Определять ${\mathcal {R}}({\widetilde {H}},\omega _{\psi })$ и ${\mathcal {R}}({\widetilde {G}}\cdot {\widetilde {H}},\omega _{\psi })$, так же.

Гипотеза двойственности Хоу утверждает, что ${\mathcal {R}}({\widetilde {G}}\cdot {\widetilde {H}},\omega _{\psi })$ является графиком биекции между ${\mathcal {R}}({\widetilde {G}},\omega _{\psi })$ и ${\mathcal {R}}({\widetilde {H}},\omega _{\psi })$.

Гипотезу двойственности Хоу для архимедовых локальных полей доказал Роджер Хоу . Для $p$-адические локальные поля с $p$ странно, что это доказал Жан-Лу Вальдспургер . Позже Альберто Мингес дал доказательство для двойственных пар общих линейных групп , которое работает для произвольной характеристики вычета. Для ортогонально-симплектических или унитарных дуальных пар это доказали Ви Тек Ган и Шуичиро Такеда. Последний случай кватернионных дуальных пар завершили Ви Тек Ган и Биньонг Сан .

См. также

• Редуктивная двойная пара
• Метаплектическая группа

Библиография

• Ган, Ви Тек ; Такеда, Шуитиро (2016), «Доказательство гипотезы двойственности Хоу», J. Amer. Математика. Соц. , 29 (2): 473–493, arXiv : 1407.1995 , doi : 10.1090/jams/839 , S2CID   942882
• Ган, Ви Тек ; Сан, Биньонг (2017), «Гипотеза двойственности Хоу: кватернионный случай», в Когделле, Дж.; Ким, Ж.-Л.; Чжу, К.-Б. (ред.), Теория представлений, теория чисел и теория инвариантов , Progr. Math., 323, Birkhäuser/Springer, стр. 175–192.
• Хоу, Роджер Э. (1979), «θ-ряды и теория инвариантов», в Borel, A .; Кассельман, В. (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Корваллис, Орегон, 1977), Часть 1 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., XXXIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 275–285, ISBN.  978-0-8218-1435-2 , МР   0546602
• Хоу, Роджер Э. (1989), «Превосходя классическую теорию инвариантов», J. Amer. Математика. Соц. , 2 (3): 535–552, номер документа : 10.2307/1990942 , JSTOR   1990942.
• Кудла, Стивен С. (1986), «О локальном тэта-соответствии», Инвент. Математика. , 83 (2): 229–255, Bibcode : 1986InMat..83..229K , doi : 10.1007/BF01388961 , S2CID   122106772
• Мингес, Альберто (2008), «Явное соответствие Хоу: двойственные пары типа II», Ann. наук. Я стандартный супер , 4, 41 (5): 717–741, doi : 10.24033/asens.2080
• Мёглин, Колетт ; Виньерас, Мари-Франс ; Вальдспургер, Жан-Лу (1987), Соответствия Хоу о p-адическом теле , Конспект лекций по математике, том. 1291, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0082712 , ISBN.  978-3-540-18699-1 , МР   1041060
• Раллис, Стивен (1984), «О гипотезе двойственности Хоу», Compositio Math. , 51 (3): 333–399
• Sun, Биньон ; Чжу, Чен-Бо (2015), «Отношения сохранения для локального тэта-соответствия», J. Amer. Математика. Соц. , 28 (4): 939–983, arXiv : 1204.2969 , doi : 10.1090/S0894-0347-2014-00817-1 , S2CID   5936119
• Вальдспургер, Жан-Лу (1980), «Переписка Шимуры», J. Math. Чистое приложение. , 59 (9): 1–132
• Вальдспургер, Жан-Лу (1990), «Демонстрация гипотезы дуалита де Хоу в cas p-adique, p ≠ 2», Праздничный сборник в честь II Пятецкого-Шапиро по случаю его шестидесятилетия, Часть I , Израильская математика. Конф. Учеб., 2 : 267–324.
• Вальдспургер, Жан-Лу (1991), «Соответствия Шимуры и кватернионы», Forum Math. , 3 (3): 219–307, doi : 10.1515/form.1991.3.219 , S2CID   123512840
• Вейль, Андре (1964), «О некоторых группах унитарных операторов», Acta Math. , 111 : 143–211, doi : 10.1007/BF02391012