Переписка Шимуры

В теории чисел — соответствие Шимуры это соответствие между модулярными формами F полуцелого веса k +1/2 и модулярными формами f четного веса 2 k , открытое Горо Шимурой ( 1973 ). Он обладает тем свойством, что собственное значение оператора Гекке T _{n ²} на F равно собственному значению T _n на f .

Позволять $f$ — голоморфная параболическая форма с весом $(2k+1)/2$ и характер $\chi$ . Для любого простого числа p пусть

$\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)n^{-s}=\prod _{p}(1-\omega _{p}p^{-s}+(\chi _{p})^{2}p^{2k-1-2s})^{-1}\ ,$

где $\omega _{p}$- собственные значения операторов Гекке $T(p^{2})$ определяется п .

Используя функциональное уравнение , L-функции Шимура показал , что

$F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)q^{n}$

— голоморфная модулярная функция веса 2k и характера $\chi ^{2}$ .

Доказательство Шимуры использует Рэнкина-Сельберга свертку $f(z)$ с тета-серией $\theta _{\psi }(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\psi (n)n^{\nu }e^{2i\pi n^{2}z}\ ({\scriptstyle \nu ={\frac {1-\psi (-1)}{2}}})$ для различных персонажей Дирихле $\psi$ затем применяет обратную теорему Вейля .

См. также

• Тета переписка

Ссылки

• Бамп, Д. (2001) [1994], «Переписка Шимуры» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Шимура, Горо (1973), «О модульных формах половинного целого веса», Annals of Mathematics , Second Series, 97 (3): 440–481, doi : 10.2307/1970831 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970831 , MR   0332663