Каспидальное представление

В чисел теории каспидальные представления — это определенные представления алгебраических групп , которые встречаются дискретно в $L^{2}$ пространства. Термин «каспидальный» на определенном расстоянии происходит от форм возврата классической модульной теории форм. В современной формулировке автоморфных представлений представления заменяют голоморфные функции ; эти представления могут быть адельными алгебраическими группами .

Когда группа является общей линейной группой $\operatorname {GL} _{2}$ Каспидальные представления напрямую связаны с формами возврата и формами Мааса . В случае форм возврата каждая собственная форма Гекке ( newform ) соответствует представлению возврата.

Формулировка

Пусть G — редуктивная алгебраическая группа над числовым полем K и A обозначает адели поля K. пусть Группа G ( K ) вкладывается по диагонали в группу G ( A ), отправляя g в G ( K ) в кортеж ( g _p ) _p в G ( A ) с g = g _p для всех (конечных и бесконечных) простых чисел p . Пусть Z обозначает центр G и пусть ω — непрерывный унитарный характер из Z ( K ) \ Z( A ) ^× до С ^×.Зафиксируем меру Хаара на G ( A ) и пусть L ²₀ ( G ( K ) \ G ( A , ω) обозначают гильбертово пространство комплекснозначных условиям измеримых функций ) f на G ( A ), удовлетворяющих

ж (γ г ) знак равно ж ( г ) для всех γ ∈ G ( K )
ж ( gz ) знак равно ж ( г )ω( z ) для всех z ∈ Z ( A )
$\int _{Z(\mathbf {A} )G(K)\,\setminus \,G(\mathbf {A} )}|f(g)|^{2}\,dg<\infty$
$\int _{U(K)\,\setminus \,U(\mathbf {A} )}f(ug)\,du=0$ для всех унипотентных радикалов U всех собственных параболических подгрупп группы G ( A ) и g ∈ G ( A ).

Векторное пространство L ²₀ ( G ( K ) \ G ( A ), ω) называется пространством параболических форм с центральным характером ω на G ( A ). Функция, появляющаяся в таком пространстве, называется функцией возврата .

Каспидальная функция порождает унитарное представление группы G ( A ) в комплексном гильбертовом пространстве. $V_{f}$ сгенерированный правыми переводами f . Здесь действие g G ∈ A ( ) на $V_{f}$ дается

(g\cdot u)(x)=u(xg),\qquad u(x)=\sum _{j}c_{j}f(xg_{j})\in V_{f}

.

Пространство параболических форм с центральным характером ω распадается в прямую сумму гильбертовых пространств

L_{0}^{2}(G(K)\setminus G(\mathbf {A} ),\omega )={\widehat {\bigoplus }}_{(\pi ,V_{\pi })}m_{\pi }V_{\pi }

сумма ведется по неприводимым подпредставлениям L где ²₀ ( G ( K ) \ G ( A ), ω) и m _$π$ — положительные целые числа (т. е. каждое неприводимое подпредставление встречается с конечной кратностью). Каспидальное представление группы G ( A ) — это такое подпредставление ( $π$ , Vπ _$)$ для некоторого ω .

Говорят , что группы, у которых все кратности m _$π$ равны единице, обладают свойством кратности один .

См. также

Модуль нарды

Ссылки

Джеймс В. Когделл, Генри Хёнсин Ким, Марути Рам Мурти. Лекции по автоморфным L-функциям (2004), раздел 5 лекции 2.