Метаплектическая группа

В математике метаплектическая группа Mp _{2 n} является двойным накрытием симплектической группы Sp _{2 n} . Его можно определить как для действительных , так и для p -адических чисел . В более общем плане конструкция охватывает случай произвольного локального или конечного поля и даже кольца аделей .

Метаплектическая группа имеет особенно важное бесконечномерное линейное представление — представление Вейля . ^[1] Он был использован Андре Вейлем для теоретико-представительной интерпретации тэта-функций и важен в теории модулярных форм полуцелого веса и тэта-соответствия .

Определение [ править ]

Фундаментальная группа симплектической группы Ли Sp _2n ( R ) является бесконечной циклической , поэтому она имеет единственное связное двойное накрытие, которое обозначается Mp _{2 n} ( R ) и называется метаплектической группой .

Метаплектическая группа Mp2 ₍ R ) не является матричной группой : она не имеет точных конечномерных представлений . Поэтому вопрос о его явной реализации нетривиален. Он имеет точные неприводимые бесконечномерные представления, такие как представление Вейля, описанное ниже.

Можно доказать, что если F — любое локальное поле, отличное от C , то симплектическая группа Sp _{2 n} ( F ) допускает единственное совершенное центральное расширение с ядром Z /2 Z — циклическую группу порядка 2, называемую метаплектическая группа над F . Он служит алгебраической заменой топологического понятия 2-кратного накрытия, используемого, когда F = R . Подход через понятие центрального расширения полезен даже в случае реальной метаплектической группы, поскольку позволяет описать работу группы через некоторый коцикл .

Явное построение для n = 1 [ править ]

В случае n = 1 симплектическая группа совпадает со специальной линейной группой SL ₂ ( R ) . Эта группа биголоморфно действует на комплексной верхней полуплоскости дробно-линейными преобразованиями, такими как преобразование Мёбиуса ,

g\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}

где

g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {R} )

— действительная матрица 2х2 с единичным определителем и z находится в верхней полуплоскости, и это действие можно использовать для явного построения метаплектического покрытия SL ₂ ( R ).

Элементами метаплектической группы Mp ₂ ( R ) являются пары ( g , ε ), где $g\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {R} )$ и ε — голоморфная функция в верхней полуплоскости такая, что $\epsilon (z)^{2}=cz+d=j(g,z)$ . Закон умножения определяется следующим образом:

(g_{1},\epsilon _{1})\cdot (g_{2},\epsilon _{2})=(g_{1}g_{2},\epsilon ),

где

\epsilon (z)=\epsilon _{1}(g_{2}\cdot z)\epsilon _{2}(z).

То, что это произведение корректно определено, следует из соотношения коцикла $j(g_{1}g_{2},z)=j(g_{1},g_{2}\cdot z)j(g_{2},z)$ . Карта

(g,\epsilon )\mapsto g

является сюръекцией из Mp ₂ ( R ) в SL ₂ ( R ), не допускающей непрерывного сечения. Таким образом, мы построили нетривиальное 2-кратное накрытие последней группы.

Построение представления Вейля [ править ]

Сначала мы приведем довольно абстрактное объяснение существования представления Вейля. имеет Группа Гейзенберга неприводимое унитарное представление в гильбертовом пространстве. ${\mathcal {H}}$ , то есть,

\rho :\mathbb {H} (V)\longrightarrow U({\mathcal {H}})

с центром, действующим как заданная ненулевая константа. Теорема Стоуна –фон Неймана утверждает, что это представление существенно уникально: если $\rho '$ есть еще одно такое представление, существует автоморфизм

\psi \in U({\mathcal {H}})

такой, что

\rho '=\operatorname {Ad} _{\psi }(\rho )

.

и сопрягающий автоморфизм проективно единственен, т. е. с точностью до мультипликативной константы модуля 1. Таким образом, любой автоморфизм группы Гейзенберга, индуцирующий тождество в центре, действует на это представление ${\mathcal {H}}$ — если быть точным, действие корректно определено только с точностью до умножения на ненулевую константу.

Автоморфизмы группы Гейзенберга (фиксирующие ее центр) образуют симплектическую группу , поэтому на первый взгляд кажется, что это дает действие симплектической группы на ${\mathcal {H}}$ . Однако действие определено только с точностью до умножения на ненулевую константу, иными словами, можно лишь отобразить автоморфизм группы в класс $[\psi ]\in \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})$ . Таким образом, мы получаем только гомоморфизм симплектической группы в проективную унитарную группу ${\mathcal {H}}$ ; другими словами, проективное представление . Тогда применяется общая теория проективных представлений, чтобы определить действие некоторого центрального расширения симплектической группы на ${\mathcal {H}}$ . Расчет показывает, что это центральное расширение можно принять за двойную оболочку, а эта двойная оболочка — за метаплектическую группу.

Теперь дадим более конкретную конструкцию в простейшем случае МП ₂ ( Р ). Тогда гильбертово пространство H является пространством всех L ²функции на действительных числах. Группа Гейзенберга порождается сдвигами и умножением на функции e ^иксиx y , для реально . Тогда действие метаплектической группы на H порождается преобразованием Фурье и умножением на функции exp( ix ²y ) от x , поскольку y действительно.

Обобщения [ править ]

Вейль показал, как расширить приведенную выше теорию, заменив $\mathbb {R}$ любой локально компактной абелевой группой G , которая по двойственности Понтрягина изоморфна своей двойственной группе (группе характеров). Тогда гильбертово пространство H является пространством всех L ²функции на G . (Аналог) группы Гейзенберга порождается переводом на элементы G и умножением на элементы двойственной группы (рассматриваемые как функции от G к единичному кругу). Существует аналог симплектической группы, действующей на группу Гейзенберга, и это действие поднимается до проективного представления на H . Соответствующее центральное расширение симплектической группы называется метаплектической группой.

Некоторые важные примеры этой конструкции приведены:

G — векторное пространство над вещественными числами размерности n . Это дает метаплектическую группу, которая является двойным накрытием симплектической группы Sp _{2 n} ( R ).
В более общем смысле G может быть векторным пространством над любым локальным полем F размерности n . Это дает метаплектическую группу, которая является двойным накрытием симплектической группы Sp _{2 n} ( F ).
G — векторное пространство над аделями числового поля (или глобального поля ). Этот случай используется в теоретико-представительском подходе к автоморфным формам .
G — конечная группа. Тогда соответствующая метаплектическая группа также конечна, а центральное накрытие тривиально. Этот случай используется в теории тэта-функций решеток, где обычно G будет дискриминантной группой четной решетки .
Современную точку зрения на существование линейного (не проективного) представления Вейля над конечным полем, а именно на то, что оно допускает каноническую реализацию в гильбертовом пространстве, предложил Дэвид Каждан . Используя понятие канонических сплетающих операторов, предложенное Джозефом Бернштейном , такая реализация была построена Гуревичем-Хадани. ^[2]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Вейль, А. (1964). «О некоторых группах унитарных операторов» . Акта математика . 111 : 143–211. дои : 10.1007/BF02391012 .
^ Гуревич, Шамгар; Хадани, Ронни (31 мая 2007 г.). «Квантование симплектических векторных пространств над конечными полями». arXiv : 0705.4556 [ math.RT ].

Ссылки [ править ]

Хау, Роджер; Тан, Энг-Чье (1992), Нонабелев гармонический анализ. Приложения SL(2, R ) , Universitext, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97768-3
Лев, Джерард; Вернь, Мишель (1980), Представление Вейля, индекс Маслова и тета-ряд , Progress in Mathematics, vol. 6, Бостон: Биркхойзер
Вейль, Андре (1964), «О некоторых группах унитарных операторов», Acta Math. , 111 : 143–211, doi : 10.1007/BF02391012
Гуревич, Шамгар; Хадани, Ронни (2006), «Геометрическое представление Вейля», Selecta Mathematica , New Series, arXiv : math/0610818 , Bibcode : 2006math.....10818G
Гуревич, Шамгар; Хадани, Ронни (2005), Каноническое квантование симплектических векторных пространств над конечными полями , arXiv : 0705.4556

Внешние ссылки [ править ]

Вайсман, Мартин Х. (май 2023 г.). «Что такое… метаплектическая группа?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 70 (5): 806–811. дои : 10.1090/noti2687 .

[1] Вейль, А. (1964). «О некоторых группах унитарных операторов» . Акта математика . 111 : 143–211. дои : 10.1007/BF02391012 .

[2] Гуревич, Шамгар; Хадани, Ронни (31 мая 2007 г.). «Квантование симплектических векторных пространств над конечными полями». arXiv : 0705.4556 [ math.RT ].

[1]

[2]