кольцо Адель

Этот раздел посвящен понятиям в математике. Чтобы узнать о певице, см. Адель .

В математике кольцо аделей глобального поля (также кольцо аделей , кольцо аделей или кольцо аделей). ) является центральным объектом теории полей классов , раздела теории алгебраических чисел . Это ограниченное произведение всех пополнений глобального поля и пример самодвойственного топологического кольца .

Адель происходит от особого вида идели . Слово «Идель» происходит от французского «idèle» и было придумано французским математиком Клодом Шевалле . Это слово означает «идеальный элемент» (сокращенно: id.el.). Адель (по-французски «адель») означает «аддитивная идель» (то есть аддитивный идеальный элемент).

Кольцо аделей позволяет описать закон взаимности Артина , который является обобщением квадратичного закона взаимности , и других законов взаимности над конечными полями. Кроме того, существует классическая теорема Вейля , согласно которой $G$-расслоения на алгебраической кривой над конечным полем можно описать в терминах аделей редуктивной группы . $G$. Адели также связаны с адельными алгебраическими группами и адельными кривыми.

Изучение геометрии чисел над кольцом аделей числового поля называется адельной геометрией .

Определение

Позволять $K$ быть глобальным полем (конечным расширением $\mathbf {Q}$ или функциональное поле кривой $X/\mathbf {F_{\mathit {q}}}$над конечным полем). Кольцо Адель ​ $K$ это подкольцо

$\mathbf {A} _{K}\ =\ \prod (K_{\nu },{\mathcal {O}}_{\nu })\ \subseteq \ \prod K_{\nu }$

состоящий из кортежей $(a_{\nu })$ где $a_{\nu }$ лежит в подкольце ${\mathcal {O}}_{\nu }\subset K_{\nu }$ для всех, кроме конечного числа мест $\nu$. Здесь индекс $\nu$ колеблется по всем оценкам глобального поля $K$, $K_{\nu }$ является завершением по этой оценке и ${\mathcal {O}}_{\nu }$ соответствующее кольцо оценки .

Мотивация

Кольцо аделей решает техническую проблему «проведения анализа рациональных чисел». $\mathbf {Q}$Классическим решением был переход к стандартному метрическому пополнению $\mathbf {R}$ и использовать там аналитические методы. Но, как выяснилось позже, , существует еще много абсолютных значений помимо евклидова расстояния , по одному на каждое простое число. $p\in \mathbf {Z}$, как классифицировал Островский . Евклидово абсолютное значение, обозначаемое $|\cdot |_{\infty }$, является лишь одним из многих других, $|\cdot |_{p}$, но кольцо аделей позволяет понять и использовать все оценки сразу . Это имеет то преимущество, что позволяет использовать аналитические методы, сохраняя при этом информацию о простых числах, поскольку их структура встроена в ограниченное бесконечное произведение.

Назначение кольца Адель — смотреть на все завершенности. $K$однажды. Кольцо аделей определяется ограниченным произведением, а не декартовым произведением . Для этого есть две причины:

• Для каждого элемента $K$оценки равны нулю почти для всех мест, т. е. для всех мест, кроме конечного числа. Таким образом, глобальное поле может быть встроено в ограниченный продукт.
• Ограниченное произведение является локально компактным пространством , а декартово произведение — нет. невозможно применить гармонический анализ Следовательно, к декартову произведению . Это связано с тем, что локальная компактность обеспечивает существование (и уникальность) меры Хаара , важнейшего инструмента анализа групп в целом.

Почему ограниченный продукт?

Ограниченное бесконечное произведение является необходимым техническим условием для задания числового поля. $\mathbf {Q}$ решетчатая структура внутри $\mathbf {A} _{\mathbf {Q} }$, что позволяет построить теорию анализа Фурье (ср. Гармонический анализ ) в адельной постановке. Это аналогично ситуации в теории алгебраических чисел, когда кольцо целых чисел поля алгебраических чисел вкладывает

${\mathcal {O}}_{K}\hookrightarrow K$

как решетка. Благодаря силе новой теории анализа Фурье Тейт смог доказать особый класс L-функций , а дзета-функции Дедекинда были мероморфными на комплексной плоскости. Другую естественную причину выполнения этого технического условия можно увидеть, построив кольцо аделей как тензорное произведение колец. Если определить кольцо целых аделей $\mathbf {A} _{\mathbf {Z} }$ как кольцо

$\mathbf {A} _{\mathbf {Z} }=\mathbf {R} \times {\hat {\mathbf {Z} }}=\mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Z} _{p},$

то кольцо аделей можно эквивалентно определить как

${\begin{aligned}\mathbf {A} _{\mathbf {Q} }&=\mathbf {Q} \otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {A} _{\mathbf {Z} }\\&=\mathbf {Q} \otimes _{\mathbf {Z} }\left(\mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Z} _{p}\right).\end{aligned}}$

Ограниченная структура продукта становится прозрачной после рассмотрения явных элементов в этом кольце. Изображение элемента $b/c\otimes (r,(a_{p}))\in \mathbf {A} _{\mathbf {Q} }$ внутри неограниченного продукта ${\textstyle \mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Q} _{p}}$ это элемент

$\left({\frac {br}{c}},\left({\frac {ba_{p}}{c}}\right)\right).$

Фактор $ba_{p}/c$ заключается в $\mathbf {Z} _{p}$ в любое время $p$ не является основным фактором $c$, что справедливо для всех простых чисел, кроме конечного числа $p$.

Происхождение названия

Термин «idele» ( фр . idèle ) — изобретение французского математика Клода Шевалле (1909–1984) и означает «идеальный элемент» (сокращенно: id.el.). Термин «адель» (по-французски: adèle ) означает аддитивную идель. Таким образом, адель является аддитивным идеальным элементом.

Примеры

Кольцо аделей для рациональных чисел

Рациональное обоснование $K={\mathbf {Q}}$ иметь оценку для каждого простого числа $p$, с $(K_{\nu },{\mathcal {O}}_{\nu })=(\mathbf {Q} _{p},\mathbf {Z} _{p})$и одно бесконечное нормирование ∞ с $\mathbf {Q} _{\infty }=\mathbf {R}$. Таким образом, элемент

$\mathbf {A} _{\mathbf {Q} }\ =\ \mathbf {R} \times \prod _{p}(\mathbf {Q} _{p},\mathbf {Z} _{p})$

является действительным числом вместе с p -адическим рациональным числом для каждого $p$ из которых все, кроме конечного числа, являются p -адическими целыми числами.

Кольцо аделей функционального поля проективной прямой

Во-вторых, возьмем поле функции $K=\mathbf {F} _{q}(\mathbf {P} ^{1})=\mathbf {F} _{q}(t)$проективной прямой над конечным полем. Его оценки соответствуют баллам $x$ из $X=\mathbf {P} ^{1}$, т.е. отображает ${\text{Spec}}\mathbf {F} _{q}$

$x\ :\ {\text{Spec}}\mathbf {F} _{q^{n}}\ \longrightarrow \ \mathbf {P} ^{1}.$

Например, есть $q+1$ точки формы ${\text{Spec}}\mathbf {F} _{q}\ \longrightarrow \ \mathbf {P} ^{1}$. В этом случае ${\mathcal {O}}_{\nu }={\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x}$ представляет собой завершенный стебель структурного снопа на $x$ (т.е. функции в формальной окрестности $x$) и $K_{\nu }=K_{X,x}$это его дробное поле. Таким образом

$\mathbf {A} _{\mathbf {F} _{q}(\mathbf {P} ^{1})}\ =\ \prod _{x\in X}({\mathcal {K}}_{X,x},{\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x}).$

То же самое справедливо для любой гладкой собственной кривой $X/\mathbf {F_{\mathit {q}}}$ над конечным полем, причем ограниченное произведение распространяется на все точки $x\in X$.

Связанные понятия

Группа единиц в кольце аделей называется группой иделей.

$I_{K}=\mathbf {A} _{K}^{\times }$.

Фактор иделей по подгруппе $K^{\times }\subseteq I_{K}$ называется группой класса idele

$C_{K}\ =\ I_{K}/K^{\times }.$

Целочисленные адели представляют собой подкольцо

$\mathbf {O} _{K}\ =\ \prod O_{\nu }\ \subseteq \ \mathbf {A} _{K}.$

Приложения

Заявление

гласит Закон взаимности Артина , что для глобального поля $K$,

${\widehat {C_{K}}}={\widehat {\mathbf {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}}\ \simeq \ {\text{Gal}}(K^{\text{ab}}/K)$

где $K^{ab}$ является максимальным абелевым алгебраическим расширением $K$ и ${\widehat {(\dots )}}$ означает бесконечное пополнение группы.

кривой

Если $X/\mathbf {F_{\mathit {q}}}$ является гладкой собственной кривой, то ее группа Пикара есть

${\text{Pic}}(X)\ =\ K^{\times }\backslash \mathbf {A} _{X}^{\times }/\mathbf {O} _{X}^{\times }$

и ее группа делителей равна ${\text{Div}}(X)=\mathbf {A} _{X}^{\times }/\mathbf {O} _{X}^{\times }$. Аналогично, если $G$ — полупростая алгебраическая группа (например, ${\textstyle SL_{n}}$, это справедливо и для $GL_{n}$) тогда униформизация Вейля говорит, что

${\text{Bun}}_{G}(X)\ =\ G(K)\backslash G(\mathbf {A} _{X})/G(\mathbf {O} _{X}).$

Применяя это к $G=\mathbf {G} _{m}$ дает результат по группе Пикара.

Диссертация Тейта

Есть топология $\mathbf {A} _{K}$ для которого частное $\mathbf {A} _{K}/K$компактен, что позволяет проводить на нем гармонический анализ. Джон Тейт в своей диссертации «Анализ Фурье в числовых полях и дзета-функции Хекке» доказал результаты об L-функциях Дирихле с помощью анализа Фурье на кольце аделей и группе иделей. Поэтому кольцо аделей и группа иделей были применены для изучения дзета-функции Римана и более общих дзета-функций и L-функций.

Серра на плавной

Если $X$ является гладкой собственной кривой над комплексными числами , можно определить адели ее функционального поля $\mathbf {C} (X)$точно так же, как в случае конечных полей. Джон Тейт доказал эта двойственность Серра на $X$

$H^{1}(X,{\mathcal {L}})\ \simeq \ H^{0}(X,\Omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}^{-1})^{*}$

можно сделать вывод, работая с этим кольцом Адель $\mathbf {A} _{\mathbf {C} (X)}$. Здесь L — линейное расслоение на $X$.

Обозначения и основные определения

Глобальные поля

На протяжении всей этой статьи $K$ является глобальным полем , то есть это либо числовое поле (конечное расширение $\mathbb {Q}$) или глобальное функциональное поле (конечное расширение $\mathbb {F} _{p^{r}}(t)$ для $p$ премьер и $r\in \mathbb {N}$). По определению конечное расширение глобального поля само по себе является глобальным полем.

Оценки

Для оценки $v$ из $K$ это можно написать $K_{v}$ для завершения $K$ относительно $v.$ Если $v$ дискретно, его можно записать $O_{v}$ для оценочного кольца $K_{v}$ и ${\mathfrak {m}}_{v}$ для максимального идеала $O_{v}.$ Если это главный идеал, обозначающий униформизирующий элемент $\pi _{v}.$ Неархимедова оценка записывается как $v<\infty$ или $v\nmid \infty$ и архимедова оценка как $v|\infty .$ Тогда предположим, что все оценки нетривиальны.

Существует однозначное определение оценок и абсолютных значений. Исправить константу $C>1,$ оценка $v$ присваивается абсолютное значение $|\cdot |_{v},$ определяется как:

$\forall x\in K:\quad |x|_{v}:={\begin{cases}C^{-v(x)}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}$

И наоборот, абсолютное значение $|\cdot |$ присвоена оценка $v_{|\cdot |},$ определяется как:

$\forall x\in K^{\times }:\quad v_{|\cdot |}(x):=-\log _{C}(|x|).$

Место ​ ​ $K$ является представителем класса эквивалентности оценок (или абсолютных значений) $K.$Места, соответствующие неархимедовым нормам, называются конечными , тогда как места, соответствующие архимедовым нормам, называются бесконечными . Бесконечные места глобального поля образуют конечное множество, которое обозначается $P_{\infty }.$

Определять $\textstyle {\widehat {O}}:=\prod _{v<\infty }O_{v}$ и разреши ${\widehat {O}}^{\times }$быть его группой единиц. Затем $\textstyle {\widehat {O}}^{\times }=\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }.$

Конечные расширения

Позволять $L/K$ быть конечным расширением глобального поля $K.$ Позволять $w$ быть местом $L$ и $v$ место $K.$ Если абсолютное значение $|\cdot |_{w}$ ограниченный $K$ находится в классе эквивалентности $v$, затем $w$ лежит выше $v,$ который обозначается $w|v,$ и определяется как:

${\begin{aligned}L_{v}&:=\prod _{w|v}L_{w},\\{\widetilde {O_{v}}}&:=\prod _{w|v}O_{w}.\end{aligned}}$

(Обратите внимание, что оба произведения конечны.)

Если $w|v$, $K_{v}$ может быть встроен в $L_{w}.$ Поэтому, $K_{v}$ вложен по диагонали в $L_{v}.$ С этим вложением $L_{v}$ является коммутативной алгеброй над $K_{v}$ со степенью

$\sum _{w|v}[L_{w}:K_{v}]=[L:K].$

Кольцо Адель

Множество конечных аделей глобального поля $K,$ обозначенный $\mathbb {A} _{K,{\text{fin}}},$ определяется как ограниченный продукт $K_{v}$ с уважением к $O_{v}:$

$\mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}:={\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v}=\left\{\left.(x_{v})_{v}\in \prod _{v<\infty }K_{v}\right|x_{v}\in O_{v}{\text{ for almost all }}v\right\}.$

Он оснащен топологией ограниченного продукта, топологией, созданной ограниченными открытыми прямоугольниками, которые имеют следующую форму:

$U=\prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\notin E}O_{v}\subset {\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v},$

где $E$ представляет собой конечное множество (конечных) мест и $U_{v}\subset K_{v}$открыты. С покомпонентным сложением и умножением $\mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}$ тоже кольцо.

Кольцо адели глобального поля $K$ определяется как произведение $\mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}$ с продуктом завершений $K$в своих бесконечных местах. Число бесконечных мест конечно, и пополнения либо $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C} .$ Суммируя:

$\mathbb {A} _{K}:=\mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}\times \prod _{v|\infty }K_{v}={\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v}\times \prod _{v|\infty }K_{v}.$

Если сложение и умножение определены как покомпонентные, кольцо аделей является кольцом. Элементы кольца аделей называются аделями $K.$ Далее это записывается как

$\mathbb {A} _{K}={\prod _{v}}^{'}K_{v},$

хотя это, как правило, не ограниченный продукт.

Замечание. Поля глобальных функций не имеют бесконечных мест, и поэтому конечное кольцо аделей равно кольцу аделей.

Лемма. Имеет место естественное встраивание $K$ в $\mathbb {A} _{K}$ заданное диагональной картой: $a\mapsto (a,a,\ldots ).$

Доказательство. Если $a\in K,$ затем $a\in O_{v}^{\times }$ почти для всех $v.$Это показывает, что карта четко определена. Оно также инъективно, поскольку вложение $K$ в $K_{v}$ является инъективным для всех $v.$

Замечание. Определив $K$ своим образом под диагональным отображением оно рассматривается как подкольцо $\mathbb {A} _{K}.$ Элементы $K$ называются аделями главными $\mathbb {A} _{K}.$

Определение. Позволять $S$ быть набором мест $K.$ Определите набор $S$-адели из $K$ как

$\mathbb {A} _{K,S}:={\prod _{v\in S}}^{'}K_{v}.$

Кроме того, если

$\mathbb {A} _{K}^{S}:={\prod _{v\notin S}}^{'}K_{v}$

результат: $\mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K,S}\times \mathbb {A} _{K}^{S}.$

Кольцо Адели рационального

По теореме Островского места $\mathbb {Q}$ являются $\{p\in \mathbb {N} :p{\text{ prime}}\}\cup \{\infty \},$ можно определить простое число $p$ с классом эквивалентности $p$-адическое абсолютное значение и $\infty$ с классом эквивалентности абсолютной величины $|\cdot |_{\infty }$ определяется как:

$\forall x\in \mathbb {Q} :\quad |x|_{\infty }:={\begin{cases}x&x\geq 0\\-x&x<0\end{cases}}$

Завершение $\mathbb {Q}$ относительно места $p$ является $\mathbb {Q} _{p}$ со оценочным кольцом $\mathbb {Z} _{p}.$ Для места $\infty$ завершение $\mathbb {R} .$ Таким образом:

${\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}&={\prod _{p<\infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p}\\\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }&=\left({\prod _{p<\infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p}\right)\times \mathbb {R} \end{aligned}}$

Или для краткости

$\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }={\prod _{p\leq \infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p},\qquad \mathbb {Q} _{\infty }:=\mathbb {R} .$

Разницу между ограниченной и неограниченной топологией продукта можно проиллюстрировать с помощью последовательности в $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$:

Лемма. Рассмотрим следующую последовательность в $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$:

${\begin{aligned}x_{1}&=\left({\frac {1}{2}},1,1,\ldots \right)\\x_{2}&=\left(1,{\frac {1}{3}},1,\ldots \right)\\x_{3}&=\left(1,1,{\frac {1}{5}},1,\ldots \right)\\x_{4}&=\left(1,1,1,{\frac {1}{7}},1,\ldots \right)\\&\vdots \end{aligned}}$

В топологии продукта это сходится к $(1,1,\ldots )$, но он вообще не сходится в топологии ограниченного произведения.

Доказательство. В топологии продукта сходимость соответствует сходимости по каждой координате, что тривиально, поскольку последовательности становятся стационарными. Последовательность не сходится в топологии ограниченного произведения. Для каждой Адель $a=(a_{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$ и для каждого ограниченного открытого прямоугольника $\textstyle U=\prod _{p\in E}U_{p}\times \prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p},$ в нем есть: ${\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}$ для $a_{p}\in \mathbb {Z} _{p}$ и поэтому ${\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}$ для всех $p\notin F.$ Как результат $x_{n}-a\notin U$ почти для всех $n\in \mathbb {N} .$ В этом соображении $E$ и $F$ являются конечными подмножествами множества всех мест.

Альтернативное определение числовых полей

Определение ( конечные целые числа ). Проконечные целые числа определяются как бесконечное пополнение колец. $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ с частичным заказом $n\geq m\Leftrightarrow m|n,$ то есть

${\widehat {\mathbb {Z} }}:=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,$

Лемма. $\textstyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.$

Доказательство. Это следует из китайской теоремы об остатках .

Лемма. $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}={\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .$

Доказательство. Используйте универсальное свойство тензорного произведения. Определите $\mathbb {Z}$-билинейная функция

${\begin{cases}\Psi :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\\\left((a_{p})_{p},q\right)\mapsto (a_{p}q)_{p}\end{cases}}$

Это четко определено, поскольку для данного $q={\tfrac {m}{n}}\in \mathbb {Q}$ с $m,n$ взаимно простые, существует лишь конечное число простых чисел, делящих $n.$ Позволять $M$ быть другим $\mathbb {Z}$-модуль с $\mathbb {Z}$-билинейная карта $\Phi :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to M.$ Должно быть, дело в том, что $\Phi$ факторы через $\Psi$ однозначно, т. е. существует единственный $\mathbb {Z}$-линейная карта ${\tilde {\Phi }}:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\to M$ такой, что $\Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi .$ ${\tilde {\Phi }}$ можно определить следующим образом: для данного $(u_{p})_{p}$ существуют $u\in \mathbb {N}$ и $(v_{p})_{p}\in {\widehat {\mathbb {Z} }}$ такой, что $u_{p}={\tfrac {1}{u}}\cdot v_{p}$ для всех $p.$ Определять ${\tilde {\Phi }}((u_{p})_{p}):=\Phi ((v_{p})_{p},{\tfrac {1}{u}}).$ Можно показать ${\tilde {\Phi }}$ четко определен, $\mathbb {Z}$-линейный, удовлетворяет $\Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi$ и уникален этими свойствами.

Следствие. Определять $\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }:={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .$ Это приводит к алгебраическому изоморфизму $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .$

Доказательство. $\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\left({\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} \right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times (\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )\cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.$

Лемма. Для числового поля $K,\mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.$

Замечание. С использованием $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\oplus \dots \oplus \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },$ где есть $[K:\mathbb {Q} ]$ слагаемые, дайте правую часть получить топологию произведения и перенесите эту топологию через изоморфизм на $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.$

Кольцо

Если $L/K$ будет конечным расширением, то $L$это глобальное поле. Таким образом $\mathbb {A} _{L}$ определяется, и $\textstyle \mathbb {A} _{L}={\prod _{v}}^{'}L_{v}.$ $\mathbb {A} _{K}$ можно отнести к подгруппе $\mathbb {A} _{L}.$ карта $a=(a_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}$ к $a'=(a'_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}$ где $a'_{w}=a_{v}\in K_{v}\subset L_{w}$ для $w|v.$ Затем $a=(a_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}$ находится в подгруппе $\mathbb {A} _{K},$ если $a_{w}\in K_{v}$ для $w|v$ и $a_{w}=a_{w'}$ для всех $w,w'$ лежащий выше того же места $v$ из $K.$

Лемма. Если $L/K$ является конечным расширением, то $\mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L$ как алгебраически, так и топологически.

С помощью этого изоморфизма включение $\mathbb {A} _{K}\subset \mathbb {A} _{L}$ дан кем-то

${\begin{cases}\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {A} _{L}\\\alpha \mapsto \alpha \otimes _{K}1\end{cases}}$

Кроме того, главные адели в $\mathbb {A} _{K}$ можно отождествить с подгруппой главных аделей в $\mathbb {A} _{L}$ через карту

${\begin{cases}K\to (K\otimes _{K}L)\cong L\\\alpha \mapsto 1\otimes _{K}\alpha \end{cases}}$

Доказательство. Позволять $\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}$ быть основой $L$ над $K.$ Тогда почти для всех $v,$

${\widetilde {O_{v}}}\cong O_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus O_{v}\omega _{n}.$

Кроме того, существуют следующие изоморфизмы:

$K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n}\cong K_{v}\otimes _{K}L\cong L_{v}=\prod \nolimits _{w|v}L_{w}$

Для второго используйте карту:

${\begin{cases}K_{v}\otimes _{K}L\to L_{v}\\\alpha _{v}\otimes a\mapsto (\alpha _{v}\cdot (\tau _{w}(a)))_{w}\end{cases}}$

в котором $\tau _{w}:L\to L_{w}$ является каноническим вложением и $w|v.$ Ограниченный продукт берется с обеих сторон по отношению к ${\widetilde {O_{v}}}:$

${\begin{aligned}\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L&=\left({\prod _{v}}^{'}K_{v}\right)\otimes _{K}L\\&\cong {\prod _{v}}^{'}(K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n})\\&\cong {\prod _{v}}^{'}(K_{v}\otimes _{K}L)\\&\cong {\prod _{v}}^{'}L_{v}\\&=\mathbb {A} _{L}\end{aligned}}$

Следствие. Как аддитивные группы $\mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \cdots \oplus \mathbb {A} _{K},$ где правая сторона имеет $[L:K]$ слагаемые.

Набор главных аделей в $\mathbb {A} _{L}$ отождествляется с множеством $K\oplus \cdots \oplus K,$ где левая сторона $[L:K]$ слагаемые и $K$ рассматривается как подмножество $\mathbb {A} _{K}.$

Кольцо аделей векторных пространств и алгебр

Лемма. Предполагать $P\supset P_{\infty }$ представляет собой конечное множество мест $K$ и определить

$\mathbb {A} _{K}(P):=\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}O_{v}.$

Оборудовать $\mathbb {A} _{K}(P)$с топологией продукта и покомпонентно определить сложение и умножение. Затем $\mathbb {A} _{K}(P)$ является локально компактным топологическим кольцом.

Замечание. Если $P'$ это еще одно конечное множество мест $K$ содержащий $P$ затем $\mathbb {A} _{K}(P)$ является открытым подкольцом $\mathbb {A} _{K}(P').$

Теперь можно представить альтернативную характеристику кольца аделей. Кольцо Адели – это объединение всех множеств. $\mathbb {A} _{K}(P)$:

$\mathbb {A} _{K}=\bigcup _{P\supset P_{\infty },|P|<\infty }\mathbb {A} _{K}(P).$

Эквивалентно $\mathbb {A} _{K}$ это совокупность всех $x=(x_{v})_{v}$ так что $|x_{v}|_{v}\leq 1$ почти для всех $v<\infty .$ Топология $\mathbb {A} _{K}$ вызвано требованием, чтобы все $\mathbb {A} _{K}(P)$ быть открытыми подкольцами $\mathbb {A} _{K}.$ Таким образом, $\mathbb {A} _{K}$ является локально компактным топологическим кольцом.

Исправить место $v$ из $K.$ Позволять $P$ быть конечным множеством мест $K,$ содержащий $v$ и $P_{\infty }.$ Определять

$\mathbb {A} _{K}'(P,v):=\prod _{w\in P\setminus \{v\}}K_{w}\times \prod _{w\notin P}O_{w}.$

Затем:

$\mathbb {A} _{K}(P)\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(P,v).$

Кроме того, определите

$\mathbb {A} _{K}'(v):=\bigcup _{P\supset P_{\infty }\cup \{v\}}\mathbb {A} _{K}'(P,v),$

где $P$ пробегает все конечные множества, содержащие $P_{\infty }\cup \{v\}.$ Затем:

$\mathbb {A} _{K}\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(v),$

через карту $(a_{w})_{w}\mapsto (a_{v},(a_{w})_{w\neq v}).$ Вся описанная выше процедура справедлива для конечного подмножества ${\widetilde {P}}$ вместо $\{v\}.$

По конструкции $\mathbb {A} _{K}'(v),$ существует естественное вложение: $K_{v}\hookrightarrow \mathbb {A} _{K}.$ Кроме того, существует естественная проекция $\mathbb {A} _{K}\twoheadrightarrow K_{v}.$

Кольцо аделей векторного пространства

Позволять $E$ — конечномерное векторное пространство над $K$ и $\{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}\}$ основу для $E$ над $K.$ Для каждого места $v$ из $K$:

${\begin{aligned}E_{v}&:=E\otimes _{K}K_{v}\cong K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n}\\{\widetilde {O_{v}}}&:=O_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus O_{v}\omega _{n}\end{aligned}}$

Кольцо Адель $E$ определяется как

$\mathbb {A} _{E}:={\prod _{v}}^{'}E_{v}.$

Это определение основано на альтернативном описании кольца аделей как тензорного произведения, оснащенного той же топологией, которая была определена при даче альтернативного определения кольца аделей для числовых полей. Следующий, $\mathbb {A} _{E}$оснащен ограниченной топологией продукта. Затем $\mathbb {A} _{E}=E\otimes _{K}\mathbb {A} _{K}$ и $E$ встроен в $\mathbb {A} _{E}$ естественно через карту $e\mapsto e\otimes 1.$

Альтернативное определение топологии на $\mathbb {A} _{E}$может быть предоставлено. Рассмотрим все линейные карты: $E\to K.$ Использование естественных вложений $E\to \mathbb {A} _{E}$ и $K\to \mathbb {A} _{K},$ расширить эти линейные карты до: $\mathbb {A} _{E}\to \mathbb {A} _{K}.$ Топология на $\mathbb {A} _{E}$ — самая грубая топология, для которой все эти расширения непрерывны.

Топологию можно определить и по-другому. Устанавливаем основу для $E$ над $K$ приводит к изоморфизму $E\cong K^{n}.$ Поэтому фиксирование базиса индуцирует изоморфизм $(\mathbb {A} _{K})^{n}\cong \mathbb {A} _{E}.$Левая часть снабжена топологией продукта и переносит эту топологию с изоморфизмом в правую часть. Топология не зависит от выбора базиса, поскольку другой базис определяет второй изоморфизм. Комбинируя оба изоморфизма, получается линейный гомеоморфизм, переводящий две топологии друг в друга. Более формально

${\begin{aligned}\mathbb {A} _{E}&=E\otimes _{K}\mathbb {A} _{K}\\&\cong (K\otimes _{K}\mathbb {A} _{K})\oplus \cdots \oplus (K\otimes _{K}\mathbb {A} _{K})\\&\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \cdots \oplus \mathbb {A} _{K}\end{aligned}}$

где суммы имеют $n$слагаемые. В случае $E=L,$ приведенное выше определение согласуется с результатами о кольце аделей конечного расширения $L/K.$

Кольцо аделей алгебры

Позволять $A$ — конечномерная алгебра над $K.$ В частности, $A$ является конечномерным векторным пространством над $K.$ Как следствие, $\mathbb {A} _{A}$ определяется и $\mathbb {A} _{A}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}A.$ Поскольку происходит умножение $\mathbb {A} _{K}$ и $A,$ умножение на $\mathbb {A} _{A}$ можно определить через:

$\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{K}{\text{ and }}\forall a,b\in A:\qquad (\alpha \otimes _{K}a)\cdot (\beta \otimes _{K}b):=(\alpha \beta )\otimes _{K}(ab).$

Как следствие, $\mathbb {A} _{A}$ является алгеброй с единицей над $\mathbb {A} _{K}.$ Позволять ${\mathcal {B}}$ быть конечным подмножеством $A,$ содержащий основу для $A$ над $K.$ Для любого конечного места $v$ , $M_{v}$ определяется как $O_{v}$-модуль, созданный ${\mathcal {B}}$ в $A_{v}.$ Для каждого конечного набора мест $P\supset P_{\infty },$ определять

$\mathbb {A} _{A}(P,\alpha )=\prod _{v\in P}A_{v}\times \prod _{v\notin P}M_{v}.$

Можно показать, что существует конечное множество $P_{0},$ так что $\mathbb {A} _{A}(P,\alpha )$ является открытым подкольцом $\mathbb {A} _{A},$ если $P\supset P_{0}.$ Более того $\mathbb {A} _{A}$ является объединением всех этих подколец и для $A=K,$ приведенное выше определение согласуется с определением кольца аделей.

След и норма на кольце Адель

Позволять $L/K$быть конечным расширением. С $\mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}K$ и $\mathbb {A} _{L}=\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L$ из леммы выше, $\mathbb {A} _{K}$ можно интерпретировать как замкнутое подкольцо $\mathbb {A} _{L}.$ Для этого вложения напишите $\operatorname {con} _{L/K}$. Явно для всех мест $w$ из $L$ выше $v$ и для любого $\alpha \in \mathbb {A} _{K},(\operatorname {con} _{L/K}(\alpha ))_{w}=\alpha _{v}\in K_{v}.$

Позволять $M/L/K$быть башней глобальных полей. Затем:

$\operatorname {con} _{M/K}(\alpha )=\operatorname {con} _{M/L}(\operatorname {con} _{L/K}(\alpha ))\qquad \forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}.$

Кроме того, ограничено главными аделями $\operatorname {con}$ это естественная инъекция $K\to L.$

Позволять $\{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}\}$ быть основой расширения поля $L/K.$ Затем каждый $\alpha \in \mathbb {A} _{L}$ можно записать как $\textstyle \sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}\omega _{j},$ где $\alpha _{j}\in \mathbb {A} _{K}$уникальны. Карта $\alpha \mapsto \alpha _{j}$является непрерывным. Определять $\alpha _{ij}$ в зависимости от $\alpha$ через уравнения:

${\begin{aligned}\alpha \omega _{1}&=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{1j}\omega _{j}\\&\vdots \\\alpha \omega _{n}&=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{nj}\omega _{j}\end{aligned}}$

Теперь определим след и норму $\alpha$ как:

${\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )&:=\operatorname {Tr} ((\alpha _{ij})_{i,j})=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{ii}\\N_{L/K}(\alpha )&:=N((\alpha _{ij})_{i,j})=\det((\alpha _{ij})_{i,j})\end{aligned}}$

Это след и определитель линейного отображения.

${\begin{cases}\mathbb {A} _{L}\to \mathbb {A} _{L}\\x\mapsto \alpha x\end{cases}}$

Они представляют собой непрерывные отображения на кольце аделей и удовлетворяют обычным уравнениям:

${\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha +\beta )&=\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )+\operatorname {Tr} _{L/K}(\beta )&&\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{L}\\\operatorname {Tr} _{L/K}(\operatorname {con} (\alpha ))&=n\alpha &&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}\\N_{L/K}(\alpha \beta )&=N_{L/K}(\alpha )N_{L/K}(\beta )&&\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{L}\\N_{L/K}(\operatorname {con} (\alpha ))&=\alpha ^{n}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}\end{aligned}}$

Кроме того, для $\alpha \in L,$$\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )$ и $N_{L/K}(\alpha )$ идентичны следу и норме расширения поля $L/K.$ Для башни полей $M/L/K,$ результат:

${\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\operatorname {Tr} _{M/L}(\alpha ))&=\operatorname {Tr} _{M/K}(\alpha )&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{M}\\N_{L/K}(N_{M/L}(\alpha ))&=N_{M/K}(\alpha )&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{M}\end{aligned}}$

Более того, можно доказать, что:

${\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )&=\left(\sum _{w|v}\operatorname {Tr} _{L_{w}/K_{v}}(\alpha _{w})\right)_{v}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{L}\\N_{L/K}(\alpha )&=\left(\prod _{w|v}N_{L_{w}/K_{v}}(\alpha _{w})\right)_{v}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{L}\end{aligned}}$

Свойства кольца Адель

Теорема. Для каждого набора мест $S,\mathbb {A} _{K,S}$ является локально компактным топологическим кольцом.

Замечание. Приведенный выше результат справедлив и для кольца аделей векторных пространств и алгебр над $K.$

Теорема. $K$ дискретен и кокомпактен по $\mathbb {A} _{K}.$ В частности, $K$ закрыт в $\mathbb {A} _{K}.$

Доказательство. Докажите это $K=\mathbb {Q} .$ Показывать $\mathbb {Q} \subset \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$ дискретна, то достаточно показать существование окрестности $0$которое не содержит других рациональных чисел. Общий случай следует посредством перевода. Определять

$U:=\left\{(\alpha _{p})_{p}\left|\forall p<\infty :|\alpha _{p}|_{p}\leq 1\quad {\text{and}}\quad |\alpha _{\infty }|_{\infty }<1\right.\right\}={\widehat {\mathbb {Z} }}\times (-1,1).$

$U$ это открытый район $0\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.$ Утверждается, что $U\cap \mathbb {Q} =\{0\}.$ Позволять $\beta \in U\cap \mathbb {Q} ,$ затем $\beta \in \mathbb {Q}$ и $|\beta |_{p}\leq 1$ для всех $p$ и поэтому $\beta \in \mathbb {Z} .$ Кроме того, $\beta \in (-1,1)$ и поэтому $\beta =0.$ Далее, чтобы показать компактность, определим:

$W:=\left\{(\alpha _{p})_{p}\left|\forall p<\infty :|\alpha _{p}|_{p}\leq 1\quad {\text{and}}\quad |\alpha _{\infty }|_{\infty }\leq {\frac {1}{2}}\right.\right\}={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right].$

Каждый элемент в $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q}$ имеет представителя в $W,$ это для каждого $\alpha \in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },$ Существует $\beta \in \mathbb {Q}$ такой, что $\alpha -\beta \in W.$ Позволять $\alpha =(\alpha _{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },$ быть произвольным и $p$ быть простым числом, для которого $|\alpha _{p}|>1.$ Тогда существует $r_{p}=z_{p}/p^{x_{p}}$ с $z_{p}\in \mathbb {Z} ,x_{p}\in \mathbb {N}$ и $|\alpha _{p}-r_{p}|\leq 1.$ Заменять $\alpha$ с $\alpha -r_{p}$ и разреши $q\neq p$быть еще одним простым числом. Затем:

$\left|\alpha _{q}-r_{p}\right|_{q}\leq \max \left\{|a_{q}|_{q},|r_{p}|_{q}\right\}\leq \max \left\{|a_{q}|_{q},1\right\}\leq 1.$

Далее можно утверждать, что:

$|\alpha _{q}-r_{p}|_{q}\leq 1\Longleftrightarrow |\alpha _{q}|_{q}\leq 1.$

Обратный вывод тривиально верен. Импликация верна, потому что два члена сильного неравенства треугольника равны, если абсолютные значения обоих целых чисел различны. Как следствие, (конечное) множество простых чисел, для которых компоненты $\alpha$ не в $\mathbb {Z} _{p}$ уменьшается на 1. С помощью итерации можно сделать вывод, что существует $r\in \mathbb {Q}$ такой, что $\alpha -r\in {\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .$ Теперь выберите $s\in \mathbb {Z}$ такой, что $\alpha _{\infty }-r-s\in \left[-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right].$ Затем $\alpha -(r+s)\in W.$ Непрерывная проекция $\pi :W\to \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q}$ сюръективно, поэтому $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} ,$ как непрерывный образ компакта, компактен.

Следствие. Позволять $E$ быть конечномерным векторным пространством над $K.$ Затем $E$ дискретен и кокомпактен по $\mathbb {A} _{E}.$

Теорема. Предполагается следующее:

• $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\mathbb {Q} +\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }.$
• $\mathbb {Z} =\mathbb {Q} \cap \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }.$
• $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z}$ является делимой группой .
• $\mathbb {Q} \subset \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}$ плотный.

Доказательство. Первые два уравнения можно доказать элементарно.

По определению $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z}$ делится, если для любого $n\in \mathbb {N}$ и $y\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z}$ уравнение $nx=y$ есть решение $x\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} .$ Достаточно показать $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$ делится, но это верно, поскольку $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$ – поле с положительной характеристикой по каждой координате.

В отношении последнего утверждения обратите внимание, что $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}=\mathbb {Q} {\widehat {\mathbb {Z} }},$ поскольку конечное число знаменателей в координатах элементов $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}$ можно достичь через элемент $q\in \mathbb {Q} .$ Следовательно, достаточно показать $\mathbb {Z} \subset {\widehat {\mathbb {Z} }}$ плотно, то есть каждое открытое подмножество $V\subset {\widehat {\mathbb {Z} }}$ содержит элемент $\mathbb {Z} .$ Не ограничивая общности, можно предположить, что

$V=\prod _{p\in E}\left(a_{p}+p^{l_{p}}\mathbb {Z} _{p}\right)\times \prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p},$

потому что $(p^{m}\mathbb {Z} _{p})_{m\in \mathbb {N} }$ представляет собой систему соседства $0$ в $\mathbb {Z} _{p}.$ По китайской теореме об остатках существует $l\in \mathbb {Z}$ такой, что $l\equiv a_{p}{\bmod {p}}^{l_{p}}.$ Поскольку степени различных простых чисел взаимно просты, $l\in V$ следует.

Замечание. $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z}$не является однозначно делимым. Позволять $y=(0,0,\ldots )+\mathbb {Z} \in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z}$ и $n\geq 2$быть данным. Затем

${\begin{aligned}x_{1}&=(0,0,\ldots )+\mathbb {Z} \\x_{2}&=\left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}},\ldots \right)+\mathbb {Z} \end{aligned}}$

оба удовлетворяют уравнению $nx=y$ и ясно $x_{1}\neq x_{2}$ ( $x_{2}$ корректно определено, поскольку делит лишь конечное число простых чисел $n$). В этом случае однозначно делимость эквивалентна отсутствию кручения, что неверно для $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z}$ с $nx_{2}=0,$ но $x_{2}\neq 0$ и $n\neq 0.$

Замечание. Четвертое утверждение представляет собой частный случай теоремы сильной аппроксимации .

кольце

Определение. Функция $f:\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {C}$ называется простым, если $\textstyle f=\prod _{v}f_{v},$ где $f_{v}:K_{v}\to \mathbb {C}$ измеримы и $f_{v}=\mathbf {1} _{O_{v}}$ почти для всех $v.$

Теорема. С $\mathbb {A} _{K}$ — локально компактная группа со сложением, существует аддитивная мера Хаара $dx$ на $\mathbb {A} _{K}.$ Эту меру можно нормализовать так, что каждая интегрируемая простая функция $\textstyle f=\prod _{v}f_{v}$ удовлетворяет:

$\int _{\mathbb {A} _{K}}f\,dx=\prod _{v}\int _{K_{v}}f_{v}\,dx_{v},$

где для $v<\infty ,dx_{v}$ это мера по $K_{v}$ такой, что $O_{v}$ имеет единицу измерения и $dx_{\infty }$является мерой Лебега. Произведение конечно, т. е. почти все множители равны единице.

Группа idele

Определение. Определите группу идеальных $K$ как группа единиц кольца аделей $K,$ то есть $I_{K}:=\mathbb {A} _{K}^{\times }.$ Элементы группы иделей называются идельами $K.$

Замечание. $I_{K}$снабжается топологией, так что она становится топологической группой. Топология подмножества, унаследованная от $\mathbb {A} _{K}$не является подходящим кандидатом, поскольку группа единиц топологического кольца, снабженная топологией подмножества, может не быть топологической группой. Например, обратное отображение в $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$не является непрерывным. Последовательность

${\begin{aligned}x_{1}&=(2,1,\ldots )\\x_{2}&=(1,3,1,\ldots )\\x_{3}&=(1,1,5,1,\ldots )\\&\vdots \end{aligned}}$

сходится к $1\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.$ Чтобы увидеть это, позвольте $U$ быть соседом $0,$ без ограничения общности можно предположить:

$U=\prod _{p\leq N}U_{p}\times \prod _{p>N}\mathbb {Z} _{p}$

С $(x_{n})_{p}-1\in \mathbb {Z} _{p}$ для всех $p,$ $x_{n}-1\in U$ для $n$достаточно большой. Однако, как было видно выше, обратная этой последовательности не сходится в $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.$

Лемма. Позволять $R$быть топологическим кольцом. Определять:

${\begin{cases}\iota :R^{\times }\to R\times R\\x\mapsto (x,x^{-1})\end{cases}}$

Оснащен топологией, индуцированной из произведения по топологии на $R\times R$ и $\iota ,R^{\times }$ — топологическая группа и отображение включения $R^{\times }\subset R$является непрерывным. Это самая грубая топология, возникающая из топологии на $R,$ что делает $R^{\times }$ топологическая группа.

Доказательство. С $R$является топологическим кольцом, достаточно показать, что обратное отображение непрерывно. Позволять $U\subset R^{\times }$ будь открыт, тогда $U\times U^{-1}\subset R\times R$открыт. Необходимо показать $U^{-1}\subset R^{\times }$ является открытым или, что эквивалентно, что $U^{-1}\times (U^{-1})^{-1}=U^{-1}\times U\subset R\times R$открыт. Но это условие выше.

Группа идел наделена топологией, определенной в лемме, что делает ее топологической группой.

Определение. Для $S$ подмножество мест $K$ набор: $I_{K,S}:=\mathbb {A} _{K,S}^{\times },I_{K}^{S}:=(\mathbb {A} _{K}^{S})^{\times }.$

Лемма. Имеют место следующие тождества топологических групп:

${\begin{aligned}I_{K,S}&={\prod _{v\in S}}^{'}K_{v}^{\times }\\I_{K}^{S}&={\prod _{v\notin S}}^{'}K_{v}^{\times }\\I_{K}&={\prod _{v}}^{'}K_{v}^{\times }\end{aligned}}$

где ограниченный продукт имеет топологию ограниченного продукта, которая генерируется ограниченными открытыми прямоугольниками вида

$\prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\notin E}O_{v}^{\times },$

где $E$ является конечным подмножеством множества всех мест и $U_{v}\subset K_{v}^{\times }$ являются открытыми множествами.

Доказательство. Подтвердите личность $I_{K}$; два других следуют аналогично. Сначала покажите, что два набора равны:

${\begin{aligned}I_{K}&=\{x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:\exists y=(y_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:xy=1\}\\&=\{x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:\exists y=(y_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:x_{v}\cdot y_{v}=1\quad \forall v\}\\&=\{x=(x_{v})_{v}:x_{v}\in K_{v}^{\times }\forall v{\text{ and }}x_{v}\in O_{v}^{\times }{\text{ for almost all }}v\}\\&={\prod _{v}}^{'}K_{v}^{\times }\end{aligned}}$

Переходя от строки 2 к строке 3, $x$ а также $x^{-1}=y$ должен быть внутри $\mathbb {A} _{K},$ значение $x_{v}\in O_{v}$ почти для всех $v$ и $x_{v}^{-1}\in O_{v}$ почти для всех $v.$ Поэтому, $x_{v}\in O_{v}^{\times }$ почти для всех $v.$

Теперь можно показать, что топология в левой части равна топологии в правой части. Очевидно, что каждый открытый ограниченный прямоугольник открыт в топологии группы иделей. С другой стороны, для данного $U\subset I_{K},$ который открыт в топологии группы иделей, т.е. $U\times U^{-1}\subset \mathbb {A} _{K}\times \mathbb {A} _{K}$ открыт, поэтому для каждого $u\in U$ существует открытый ограниченный прямоугольник, который является подмножеством $U$ и содержит $u.$ Поэтому, $U$ является объединением всех этих ограниченно открытых прямоугольников и, следовательно, открыт в топологии ограниченного продукта.

Лемма. Для каждого набора мест $S,I_{K,S}$ является локально компактной топологической группой.

Доказательство. Локальная компактность следует из описания $I_{K,S}$как ограниченный продукт. То, что это топологическая группа, следует из приведенного выше обсуждения группы единиц топологического кольца.

Система соседства $1\in \mathbb {A} _{K}(P_{\infty })^{\times }$ представляет собой систему соседства $1\in I_{K}.$ Альтернативно возьмите все наборы вида:

$\prod _{v}U_{v},$

где $U_{v}$ это район $1\in K_{v}^{\times }$ и $U_{v}=O_{v}^{\times }$ почти для всех $v.$

Поскольку группа иделей локально компактна, существует мера Хаара $d^{\times }x$в теме. Это можно нормализовать, так что

$\int _{I_{K,{\text{fin}}}}\mathbf {1} _{\widehat {O}}\,d^{\times }x=1.$

Это нормализация, используемая для конечных мест. В этом уравнении $I_{K,{\text{fin}}}$— конечная группа иделей, то есть группа единиц конечного кольца аделей. Для бесконечных мест используйте мультипликативную меру Лебега. ${\tfrac {dx}{|x|}}.$

иделей

Лемма. Позволять $L/K$быть конечным расширением. Затем:

$I_{L}={\prod _{v}}^{'}L_{v}^{\times }.$

где ограниченный продукт относится к ${\widetilde {O_{v}}}^{\times }.$

Лемма. Имеет место каноническое вложение $I_{K}$ в $I_{L}.$

Доказательство. карта $a=(a_{v})_{v}\in I_{K}$ к $a'=(a'_{w})_{w}\in I_{L}$ с собственностью $a'_{w}=a_{v}\in K_{v}^{\times }\subset L_{w}^{\times }$ для $w|v.$ Поэтому, $I_{K}$ можно рассматривать как подгруппу $I_{L}.$ Элемент $a=(a_{w})_{w}\in I_{L}$ находится в этой подгруппе тогда и только тогда, когда его компоненты удовлетворяют следующим свойствам: $a_{w}\in K_{v}^{\times }$ для $w|v$ и $a_{w}=a_{w'}$ для $w|v$ и $w'|v$ для того же места $v$ из $K.$

Случай векторных пространств и алгебр

Группа иделей алгебры

Позволять $A$ — конечномерная алгебра над $K.$ С $\mathbb {A} _{A}^{\times }$ не является топологической группой с топологией подмножества вообще, оборудуйте $\mathbb {A} _{A}^{\times }$ с топологией, аналогичной $I_{K}$ выше и позвоните $\mathbb {A} _{A}^{\times }$группа Идель. Элементы группы иделей называются идельами $A.$

Предложение. Позволять $\alpha$ быть конечным подмножеством $A,$ содержащий основу $A$ над $K.$ Для каждого конечного места $v$ из $K,$ позволять $\alpha _{v}$ быть $O_{v}$-модуль, созданный $\alpha$ в $A_{v}.$ Существует конечное множество мест $P_{0}$ содержащий $P_{\infty }$ такой, что для всех $v\notin P_{0},$$\alpha _{v}$ является компактным подкольцом $A_{v}.$ Более того, $\alpha _{v}$ содержит $A_{v}^{\times }.$ Для каждого $v,A_{v}^{\times }$ является открытым подмножеством $A_{v}$ и карта $x\mapsto x^{-1}$ постоянно включен $A_{v}^{\times }.$ Как следствие $x\mapsto (x,x^{-1})$ карты $A_{v}^{\times }$ гомеоморфно по своему образу в $A_{v}\times A_{v}.$ Для каждого $v\notin P_{0},$ тот $\alpha _{v}^{\times }$ являются элементами $A_{v}^{\times },$ картографирование в $\alpha _{v}\times \alpha _{v}$с функцией выше. Поэтому, $\alpha _{v}^{\times }$ является открытой и компактной подгруппой $A_{v}^{\times }.$

Альтернативная характеристика группы идель

Предложение. Позволять $P\supset P_{\infty }$быть конечным множеством мест. Затем

$\mathbb {A} _{A}(P,\alpha )^{\times }:=\prod _{v\in P}A_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}\alpha _{v}^{\times }$

является открытой подгруппой $\mathbb {A} _{A}^{\times },$ где $\mathbb {A} _{A}^{\times }$ это союз всех $\mathbb {A} _{A}(P,\alpha )^{\times }.$

Следствие. В частном случае $A=K$ для каждого конечного набора мест $P\supset P_{\infty },$

$\mathbb {A} _{K}(P)^{\times }=\prod _{v\in P}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}O_{v}^{\times }$

является открытой подгруппой $\mathbb {A} _{K}^{\times }=I_{K}.$ Более того, $I_{K}$ это союз всех $\mathbb {A} _{K}(P)^{\times }.$

Норма в группе idele

След и норму следует перенести из кольца аделей в группу иделей. Оказывается, след так просто не перенести. Однако возможен перенос нормы с кольца аделей на группу иделей. Позволять $\alpha \in I_{K}.$ Затем $\operatorname {con} _{L/K}(\alpha )\in I_{L}$ и поэтому можно сказать, что в гомоморфизме инъективной группы

$\operatorname {con} _{L/K}:I_{K}\hookrightarrow I_{L}.$

С $\alpha \in I_{L},$ это обратимо, $N_{L/K}(\alpha )$ также обратима, поскольку $(N_{L/K}(\alpha ))^{-1}=N_{L/K}(\alpha ^{-1}).$ Поэтому $N_{L/K}(\alpha )\in I_{K}.$ Как следствие, ограничение норм-функции вводит непрерывную функцию:

$N_{L/K}:I_{L}\to I_{K}.$

Группа классов Idele

Лемма. Имеет место естественное встраивание $K^{\times }$ в $I_{K,S}$ заданное диагональной картой: $a\mapsto (a,a,a,\ldots ).$

Доказательство. С $K^{\times }$ является подмножеством $K_{v}^{\times }$ для всех $v,$ вложение корректно определено и инъективно.

Следствие. $A^{\times }$ является дискретной подгруппой $\mathbb {A} _{A}^{\times }.$

Определение. По аналогии с идеальной группой классов элементы $K^{\times }$ в $I_{K}$ называются главными идеалами $I_{K}.$ Факторгруппа $C_{K}:=I_{K}/K^{\times }$ называется группой идеальных классов $K.$ Эта группа связана с идеальной группой классов и является центральным объектом теории полей классов.

Замечание. $K^{\times }$ закрыт в $I_{K},$ поэтому $C_{K}$ — локально компактная топологическая группа и хаусдорфово пространство.

Лемма. Позволять $L/K$быть конечным расширением. Вложение $I_{K}\to I_{L}$ индуцирует инъективное отображение:

${\begin{cases}C_{K}\to C_{L}\\\alpha K^{\times }\mapsto \alpha L^{\times }\end{cases}}$

Свойства группы idele

Абсолютное значение группы иделей K и 1-иделя

Определение. Для $\alpha =(\alpha _{v})_{v}\in I_{K}$ определять: $\textstyle |\alpha |:=\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}.$ С $\alpha$ является иделем, это произведение конечно и, следовательно, корректно определено.

Замечание. Определение можно расширить до $\mathbb {A} _{K}$позволяя бесконечные продукты. Однако эти бесконечные произведения исчезают, и поэтому $|\cdot |$ исчезает на $\mathbb {A} _{K}\setminus I_{K}.$ $|\cdot |$ будет использоваться для обозначения как функции на $I_{K}$ и $\mathbb {A} _{K}.$

Теорема. $|\cdot |:I_{K}\to \mathbb {R} _{+}$ является непрерывным групповым гомоморфизмом.

Доказательство. Позволять $\alpha ,\beta \in I_{K}.$

${\begin{aligned}|\alpha \cdot \beta |&=\prod _{v}|(\alpha \cdot \beta )_{v}|_{v}\\&=\prod _{v}|\alpha _{v}\cdot \beta _{v}|_{v}\\&=\prod _{v}(|\alpha _{v}|_{v}\cdot |\beta _{v}|_{v})\\&=\left(\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}\right)\cdot \left(\prod _{v}|\beta _{v}|_{v}\right)\\&=|\alpha |\cdot |\beta |\end{aligned}}$

где используется утверждение, что все произведения конечны. Карта непрерывна, что можно увидеть, используя аргумент, касающийся последовательностей. Это сводит проблему к тому, $|\cdot |$ постоянно включен $K_{v}.$ Однако это ясно из-за обратного неравенства треугольника.

Определение. Набор $1$-idele можно определить как:

$I_{K}^{1}:=\{x\in I_{K}:|x|=1\}=\ker(|\cdot |).$

$I_{K}^{1}$ является подгруппой $I_{K}.$ С $I_{K}^{1}=|\cdot |^{-1}(\{1\}),$ это закрытое подмножество $\mathbb {A} _{K}.$ Наконец $\mathbb {A} _{K}$-топология на $I_{K}^{1}$ равно топологии подмножества $I_{K}$ на $I_{K}^{1}.$

Формула продукта Артина. $|k|=1$ для всех $k\in K^{\times }.$

Доказательство. Доказательство формулы для числовых полей, в случае полей глобальных функций доказывается аналогично. Позволять $K$ быть числовым полем и $a\in K^{\times }.$ Должно быть показано, что:

$\prod _{v}|a|_{v}=1.$

Для конечного места $v$ для которого соответствующий простой идеал ${\mathfrak {p}}_{v}$ не делит $(a)$, $v(a)=0$ и поэтому $|a|_{v}=1.$ Это справедливо практически для всех ${\mathfrak {p}}_{v}.$ Есть:

${\begin{aligned}\prod _{v}|a|_{v}&=\prod _{p\leq \infty }\prod _{v|p}|a|_{v}\\&=\prod _{p\leq \infty }\prod _{v|p}|N_{K_{v}/\mathbb {Q} _{p}}(a)|_{p}\\&=\prod _{p\leq \infty }|N_{K/\mathbb {Q} }(a)|_{p}\end{aligned}}$

При переходе от строки 1 к строке 2 тождество $|a|_{w}=|N_{L_{w}/K_{v}}(a)|_{v},$ использовался там, где $v$ это место $K$ и $w$ это место $L,$ лежащий выше $v.$При переходе от строки 2 к строке 3 используется свойство нормы. Норма находится в $\mathbb {Q}$ поэтому без ограничения общности можно предположить, что $a\in \mathbb {Q} .$ Затем $a$ обладает уникальной целочисленной факторизацией :

$a=\pm \prod _{p<\infty }p^{v_{p}},$

где $v_{p}\in \mathbb {Z}$ является $0$ почти для всех $p.$ По теореме Островского все абсолютные значения на $\mathbb {Q}$ эквивалентны реальному абсолютному значению $|\cdot |_{\infty }$ или $p$-адическое абсолютное значение. Поэтому:

${\begin{aligned}|a|&=\left(\prod _{p<\infty }|a|_{p}\right)\cdot |a|_{\infty }\\&=\left(\prod _{p<\infty }p^{-v_{p}}\right)\cdot \left(\prod _{p<\infty }p^{v_{p}}\right)\\&=1\end{aligned}}$

Лемма. Существует константа $C,$ в зависимости только от $K,$ такой, что для каждого $\alpha =(\alpha _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}$ удовлетворяющий $\textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C,$ Существует $\beta \in K^{\times }$ такой, что $|\beta _{v}|_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}$ для всех $v.$

Следствие. Позволять $v_{0}$ быть местом $K$ и разреши $\delta _{v}>0$ быть отдан за всех $v\neq v_{0}$ с собственностью $\delta _{v}=1$ почти для всех $v.$ Тогда существует $\beta \in K^{\times },$ так что $|\beta |\leq \delta _{v}$ для всех $v\neq v_{0}.$

Доказательство. Позволять $C$— константа из леммы. Позволять $\pi _{v}$ быть униформизирующим элементом $O_{v}.$ Дайте определение Адель. $\alpha =(\alpha _{v})_{v}$ с помощью $\alpha _{v}:=\pi _{v}^{k_{v}}$ с $k_{v}\in \mathbb {Z}$ минимальный, так что $|\alpha _{v}|_{v}\leq \delta _{v}$ для всех $v\neq v_{0}.$ Затем $k_{v}=0$ почти для всех $v.$ Определять $\alpha _{v_{0}}:=\pi _{v_{0}}^{k_{v_{0}}}$ с $k_{v_{0}}\in \mathbb {Z} ,$ так что $\textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C.$ Это работает, потому что $k_{v}=0$ почти для всех $v.$ По лемме существует $\beta \in K^{\times },$ так что $|\beta |_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}\leq \delta _{v}$ для всех $v\neq v_{0}.$

Теорема. $K^{\times }$ дискретен и кокомпактен по $I_{K}^{1}.$

Доказательство. С $K^{\times }$ дискретен в $I_{K}$ он также дискретен в $I_{K}^{1}.$ Чтобы доказать компактность $I_{K}^{1}/K^{\times }$ позволять $C$ – константа леммы, и предположим, что $\alpha \in \mathbb {A} _{K}$ удовлетворяющий $\textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C$дано. Определять:

$W_{\alpha }:=\left\{\xi =(\xi _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}||\xi _{v}|_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}{\text{ for all }}v\right\}.$

Четко $W_{\alpha }$компактен. Можно утверждать, что естественная проекция $W_{\alpha }\cap I_{K}^{1}\to I_{K}^{1}/K^{\times }$является сюръективным. Позволять $\beta =(\beta _{v})_{v}\in I_{K}^{1}$ быть произвольным, то:

$|\beta |=\prod _{v}|\beta _{v}|_{v}=1,$

и поэтому

$\prod _{v}|\beta _{v}^{-1}|_{v}=1.$

Следует, что

$\prod _{v}|\beta _{v}^{-1}\alpha _{v}|_{v}=\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C.$

По лемме существует $\eta \in K^{\times }$ такой, что $|\eta |_{v}\leq |\beta _{v}^{-1}\alpha _{v}|_{v}$ для всех $v,$ и поэтому $\eta \beta \in W_{\alpha }$доказывая сюръективность естественной проекции. Поскольку оно также непрерывно, отсюда следует компактность.

Теорема. Существует канонический изоморфизм $I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }.$ Более того, ${\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times \{1\}\subset I_{\mathbb {Q} }^{1}$ представляет собой совокупность представителей $I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }$ и ${\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times (0,\infty )\subset I_{\mathbb {Q} }$ представляет собой совокупность представителей $I_{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} ^{\times }.$

Доказательство. Рассмотрите карту

${\begin{cases}\phi :{\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }\\(a_{p})_{p}\mapsto ((a_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }\end{cases}}$

Это отображение является корректным, поскольку $|a_{p}|_{p}=1$ для всех $p$ и поэтому $\textstyle \left(\prod _{p<\infty }|a_{p}|_{p}\right)\cdot 1=1.$ Очевидно $\phi$является непрерывным групповым гомоморфизмом. Теперь предположим $((a_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }=((b_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }.$ Тогда существует $q\in \mathbb {Q} ^{\times }$ такой, что $((a_{p})_{p},1)q=((b_{p})_{p},1).$ Рассматривая бесконечное место, можно увидеть, что $q=1$доказывает инъективность. Чтобы показать сюръективность, пусть $((\beta _{p})_{p},\beta _{\infty })\mathbb {Q} ^{\times }\in I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }.$ Абсолютное значение этого элемента $1$ и поэтому

$|\beta _{\infty }|_{\infty }={\frac {1}{\prod _{p}|\beta _{p}|_{p}}}\in \mathbb {Q} .$

Следовательно $\beta _{\infty }\in \mathbb {Q}$ и есть:

$((\beta _{p})_{p},\beta _{\infty })\mathbb {Q} ^{\times }=\left(\left({\frac {\beta _{p}}{\beta _{\infty }}}\right)_{p},1\right)\mathbb {Q} ^{\times }.$

С

$\forall p:\qquad \left|{\frac {\beta _{p}}{\beta _{\infty }}}\right|_{p}=1,$

Был сделан вывод, что $\phi$ является сюръективным.

Теорема. Функция абсолютного значения индуцирует следующие изоморфизмы топологических групп:

${\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&\cong I_{\mathbb {Q} }^{1}\times (0,\infty )\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&\cong I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \{\pm 1\}.\end{aligned}}$

Доказательство. Изоморфизмы задаются следующим образом:

${\begin{cases}\psi :I_{\mathbb {Q} }\to I_{\mathbb {Q} }^{1}\times (0,\infty )\\a=(a_{\text{fin}},a_{\infty })\mapsto \left(a_{\text{fin}},{\frac {a_{\infty }}{|a|}},|a|\right)\end{cases}}\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{cases}{\widetilde {\psi }}:I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \{\pm 1\}\to I_{\mathbb {Q} }^{1}\\(a_{\text{fin}},\varepsilon )\mapsto \left(a_{\text{fin}},{\frac {\varepsilon }{|a_{\text{fin}}|}}\right)\end{cases}}$

Связь между группой идеальных классов и группой идеальных классов

Теорема. Позволять $K$ быть числовым полем с кольцом целых чисел $O,$ группа дробных идеалов $J_{K},$ и идеальная классовая группа $\operatorname {Cl} _{K}=J_{K}/K^{\times }.$ Вот следующие изоморфизмы

${\begin{aligned}J_{K}&\cong I_{K,{\text{fin}}}/{\widehat {O}}^{\times }\\\operatorname {Cl} _{K}&\cong C_{K,{\text{fin}}}/{\widehat {O}}^{\times }K^{\times }\\\operatorname {Cl} _{K}&\cong C_{K}/\left({\widehat {O}}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)K^{\times }\end{aligned}}$

где $C_{K,{\text{fin}}}:=I_{K,{\text{fin}}}/K^{\times }$ было определено.

Доказательство. Позволять $v$ быть конечным местом $K$ и разреши $|\cdot |_{v}$ быть представителем класса эквивалентности $v.$ Определять

${\mathfrak {p}}_{v}:=\{x\in O:|x|_{v}<1\}.$

Затем ${\mathfrak {p}}_{v}$ является главным идеалом в $O.$ Карта $v\mapsto {\mathfrak {p}}_{v}$ является биекцией между конечными точками $K$ и ненулевые простые идеалы $O.$ Обратное задается следующим образом: простой идеал ${\mathfrak {p}}$ сопоставляется с оценкой $v_{\mathfrak {p}},$ данный

${\begin{aligned}v_{\mathfrak {p}}(x)&:=\max\{k\in \mathbb {N} _{0}:x\in {\mathfrak {p}}^{k}\}\quad \forall x\in O^{\times }\\v_{\mathfrak {p}}\left({\frac {x}{y}}\right)&:=v_{\mathfrak {p}}(x)-v_{\mathfrak {p}}(y)\quad \forall x,y\in O^{\times }\end{aligned}}$

Следующая карта четко определена:

${\begin{cases}(\cdot ):I_{K,{\text{fin}}}\to J_{K}\\\alpha =(\alpha _{v})_{v}\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})},\end{cases}}$

Карта $(\cdot )$ очевидно, является сюръективным гомоморфизмом и $\ker((\cdot ))={\widehat {O}}^{\times }.$Первый изоморфизм следует из основной теоремы о гомоморфизме . Теперь обе стороны разделены $K^{\times }.$ Это возможно, потому что

${\begin{aligned}(\alpha )&=((\alpha ,\alpha ,\dotsc ))\\&=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha )}\\&=(\alpha )&&{\text{ for all }}\alpha \in K^{\times }.\end{aligned}}$

Обратите внимание на злоупотребление обозначениями: в левой части первой строки этой цепочки уравнений $(\cdot )$обозначает карту, определенную выше. Позднее встраивание $K^{\times }$ в $I_{K,{\text{fin}}}$используется. В строке 2 используется определение карты. Наконец, используйте что $O$является областью Дедекинда, и поэтому каждый идеал можно записать как произведение простых идеалов. Другими словами, карта $(\cdot )$ это $K^{\times }$-эквивариантный групповой гомоморфизм. Как следствие, приведенное выше отображение индуцирует сюръективный гомоморфизм

${\begin{cases}\phi :C_{K,{\text{fin}}}\to \operatorname {Cl} _{K}\\\alpha K^{\times }\mapsto (\alpha )K^{\times }\end{cases}}$

Чтобы доказать второй изоморфизм, нужно показать, что $\ker(\phi )={\widehat {O}}^{\times }K^{\times }.$ Учитывать $\xi =(\xi _{v})_{v}\in {\widehat {O}}^{\times }.$ Затем $\textstyle \phi (\xi K^{\times })=\prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi _{v})}K^{\times }=K^{\times },$ потому что $v(\xi _{v})=0$ для всех $v.$ С другой стороны, рассмотрим $\xi K^{\times }\in C_{K,{\text{fin}}}$ с $\phi (\xi K^{\times })=OK^{\times },$ что позволяет писать $\textstyle \prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi _{v})}K^{\times }=OK^{\times }.$ Следовательно, существует представитель, такой что: $\textstyle \prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi '_{v})}=O.$ Следовательно, $\xi '\in {\widehat {O}}^{\times }$ и поэтому $\xi K^{\times }=\xi 'K^{\times }\in {\widehat {O}}^{\times }K^{\times }.$ Второй изоморфизм теоремы доказан.

Для последнего изоморфизма заметим, что $\phi$ индуцирует сюръективный групповой гомоморфизм ${\widetilde {\phi }}:C_{K}\to \operatorname {Cl} _{K}$ с

$\ker({\widetilde {\phi }})=\left({\widehat {O}}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)K^{\times }.$

Замечание. Учитывать $I_{K,{\text{fin}}}$ с идеальной топологией и оснащением $J_{K},$с дискретной топологией. С $(\{{\mathfrak {a}}\})^{-1}$ открыт для каждого ${\mathfrak {a}}\in J_{K},(\cdot )$является непрерывным. Стоит, что $(\{{\mathfrak {a}}\})^{-1}=\alpha {\widehat {O}}^{\times }$ открыт, где $\alpha =(\alpha _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}},$ так что $\textstyle {\mathfrak {a}}=\prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}.$

Разложение группы иделей и группы классов иделей K

Теорема.

${\begin{aligned}I_{K}&\cong I_{K}^{1}\times M:\quad {\begin{cases}M\subset I_{K}{\text{ discrete and }}M\cong \mathbb {Z} &\operatorname {char} (K)>0\\M\subset I_{K}{\text{ closed and }}M\cong \mathbb {R} _{+}&\operatorname {char} (K)=0\end{cases}}\\C_{K}&\cong I_{K}^{1}/K^{\times }\times N:\quad {\begin{cases}N=\mathbb {Z} &\operatorname {char} (K)>0\\N=\mathbb {R} _{+}&\operatorname {char} (K)=0\end{cases}}\end{aligned}}$

Доказательство. $\operatorname {char} (K)=p>0.$ Для каждого места $v$ из $K,\operatorname {char} (K_{v})=p,$ так что для всех $x\in K_{v}^{\times },$ $|x|_{v}$ принадлежит к подгруппе $\mathbb {R} _{+},$ Сгенерированно с помощью $p.$ Поэтому для каждого $z\in I_{K},$ $|z|$ находится в подгруппе $\mathbb {R} _{+},$ Сгенерированно с помощью $p.$ Поэтому образ гомоморфизма $z\mapsto |z|$ является дискретной подгруппой $\mathbb {R} _{+},$ Сгенерированно с помощью $p.$ Поскольку эта группа нетривиальна, она порождается формулой $Q=p^{m}$ для некоторых $m\in \mathbb {N} .$ Выбирать $z_{1}\in I_{K},$ так что $|z_{1}|=Q,$ затем $I_{K}$ является прямым продуктом $I_{K}^{1}$ и подгруппа, созданная $z_{1}.$ Эта подгруппа дискретна и изоморфна $\mathbb {Z} .$

$\operatorname {char} (K)=0.$ Для $\lambda \in \mathbb {R} _{+}$ определять:

$z(\lambda )=(z_{v})_{v},\quad z_{v}={\begin{cases}1&v\notin P_{\infty }\\\lambda &v\in P_{\infty }\end{cases}}$

Карта $\lambda \mapsto z(\lambda )$ является изоморфизмом $\mathbb {R} _{+}$ в закрытой подгруппе $M$ из $I_{K}$ и $I_{K}\cong M\times I_{K}^{1}.$ Изоморфизм задается умножением:

${\begin{cases}\phi :M\times I_{K}^{1}\to I_{K},\\((\alpha _{v})_{v},(\beta _{v})_{v})\mapsto (\alpha _{v}\beta _{v})_{v}\end{cases}}$

Очевидно, $\phi$является гомоморфизмом. Чтобы показать, что оно инъективно, пусть $(\alpha _{v}\beta _{v})_{v}=1.$ С $\alpha _{v}=1$ для $v<\infty ,$ это стоит того $\beta _{v}=1$ для $v<\infty .$ Более того, существует $\lambda \in \mathbb {R} _{+},$ так что $\alpha _{v}=\lambda$ для $v|\infty .$ Поэтому, $\beta _{v}=\lambda ^{-1}$ для $v|\infty .$ Более того $\textstyle \prod _{v}|\beta _{v}|_{v}=1,$ подразумевает $\lambda ^{n}=1,$ где $n$ это количество бесконечных мест $K.$ Как следствие $\lambda =1$ и поэтому $\phi$является инъективным. Чтобы показать сюръективность, пусть $\gamma =(\gamma _{v})_{v}\in I_{K}.$ Определено, что $\lambda :=|\gamma |^{\frac {1}{n}}$ и, кроме того, $\alpha _{v}=1$ для $v<\infty$ и $\alpha _{v}=\lambda$ для $v|\infty .$ Определять $\textstyle \beta ={\frac {\gamma }{\alpha }}.$ Стоит, что $\textstyle |\beta |={\frac {|\gamma |}{|\alpha |}}={\frac {\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}}}=1.$ Поэтому, $\phi$ является сюръективным.

Остальные уравнения следуют аналогично.

Характеристика группы идель

Теорема. Позволять $K$быть числовым полем. Существует конечное множество мест $S,$ такой, что:

$I_{K}=\left(I_{K,S}\times \prod _{v\notin S}O_{v}^{\times }\right)K^{\times }=\left(\prod _{v\in S}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin S}O_{v}^{\times }\right)K^{\times }.$

Доказательство. числового Номер класса поля конечен, поэтому пусть ${\mathfrak {a}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {a}}_{h}$ быть идеалами, представляющими классы в $\operatorname {Cl} _{K}.$ Эти идеалы порождены конечным числом простых идеалов. ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}.$ Позволять $S$ быть конечным множеством мест, содержащим $P_{\infty }$ и конечные места, соответствующие ${\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}.$ Рассмотрим изоморфизм:

$I_{K}/\left(\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)\cong J_{K},$

индуцированный

$(\alpha _{v})_{v}\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}.$

В бесконечных местах утверждение является непосредственным, поэтому утверждение доказано для конечных мест. Включение " $\supset$″ очевидно. Позволять $\alpha \in I_{K,{\text{fin}}}.$ Соответствующий идеал $\textstyle (\alpha )=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}$ принадлежит к классу ${\mathfrak {a}}_{i}K^{\times },$ значение $(\alpha )={\mathfrak {a}}_{i}(a)$ за главный идеал $(a).$ Язь $\alpha '=\alpha a^{-1}$ приближает к идеалу ${\mathfrak {a}}_{i}$ под картой $I_{K,{\text{fin}}}\to J_{K}.$ Это значит $\textstyle {\mathfrak {a}}_{i}=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha '_{v})}.$ Поскольку основные идеалы в ${\mathfrak {a}}_{i}$ находятся в $S,$ следует $v(\alpha '_{v})=0$ для всех $v\notin S,$ это значит $\alpha '_{v}\in O_{v}^{\times }$ для всех $v\notin S.$ Следует, что $\alpha '=\alpha a^{-1}\in I_{K,S},$ поэтому $\alpha \in I_{K,S}K^{\times }.$

Приложения

Конечность номера класса числового поля

В предыдущем разделе использовался тот факт, что номер класса числового поля конечен. Здесь это утверждение можно доказать:

Теорема (о конечности числа классов числового поля). Позволять $K$быть числовым полем. Затем $|\operatorname {Cl} _{K}|<\infty .$

Доказательство. Карта

${\begin{cases}I_{K}^{1}\to J_{K}\\\left((\alpha _{v})_{v<\infty },(\alpha _{v})_{v|\infty }\right)\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}\end{cases}}$

является сюръективным и, следовательно, $\operatorname {Cl} _{K}$ — непрерывный образ компакта $I_{K}^{1}/K^{\times }.$ Таким образом, $\operatorname {Cl} _{K}$компактен. Кроме того, оно дискретно и поэтому конечно.

Замечание. Аналогичный результат получен и для случая глобального функционального поля. В этом случае определяется так называемая группа дивизоров. Можно показать, что частное множества всех делителей степени $0$ по множеству главных делителей является конечной группой.

Группа единиц и теорема

Позволять $P\supset P_{\infty }$быть конечным множеством мест. Определять

${\begin{aligned}\Omega (P)&:=\prod _{v\in P}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}O_{v}^{\times }=(\mathbb {A} _{K}(P))^{\times }\\E(P)&:=K^{\times }\cap \Omega (P)\end{aligned}}$

Затем $E(P)$ является подгруппой $K^{\times },$ содержащий все элементы $\xi \in K^{\times }$ удовлетворяющий $v(\xi )=0$ для всех $v\notin P.$ С $K^{\times }$ дискретен в $I_{K},$ $E(P)$ является дискретной подгруппой $\Omega (P)$ и с тем же аргументом, $E(P)$ дискретен в $\Omega _{1}(P):=\Omega (P)\cap I_{K}^{1}.$

Альтернативное определение: $E(P)=K(P)^{\times },$ где $K(P)$ является подкольцом $K$ определяется

$K(P):=K\cap \left(\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}O_{v}\right).$

Как следствие, $K(P)$ содержит все элементы $\xi \in K,$ которые выполняют $v(\xi )\geq 0$ для всех $v\notin P.$

Лемма 1. Пусть $0<c\leq C<\infty .$ Следующее множество конечно:

$\left\{\eta \in E(P):\left.{\begin{cases}|\eta _{v}|_{v}=1&\forall v\notin P\\c\leq |\eta _{v}|_{v}\leq C&\forall v\in P\end{cases}}\right\}\right\}.$

Доказательство. Определять

$W:=\left\{(\alpha _{v})_{v}:\left.{\begin{cases}|\alpha _{v}|_{v}=1&\forall v\notin P\\c\leq |\alpha _{v}|_{v}\leq C&\forall v\in P\end{cases}}\right\}\right\}.$

$W$ компактно, а описанное выше множество является пересечением $W$ с дискретной подгруппой $K^{\times }$ в $I_{K}$ и, следовательно, конечен.

Лемма 2. Пусть $E$ быть установленным из всех $\xi \in K$ такой, что $|\xi |_{v}=1$ для всех $v.$ Затем $E=\mu (K),$ группа всех корней единства $K.$ В частности, оно конечно и циклично.

Доказательство. Все корни единства $K$ иметь абсолютную ценность $1$ так $\mu (K)\subset E.$ Обратно заметим, что лемма 1 с $c=C=1$ и любой $P$ подразумевает $E$конечно. Более того $E\subset E(P)$ для каждого конечного набора мест $P\supset P_{\infty }.$ Наконец, предположим, что существует $\xi \in E,$ что не является корнем единства $K.$ Затем $\xi ^{n}\neq 1$ для всех $n\in \mathbb {N}$ что противоречит конечности $E.$

Теорема о единице. $E(P)$ является прямым продуктом $E$ и группа, изоморфная $\mathbb {Z} ^{s},$ где $s=0,$ если $P=\emptyset$ и $s=|P|-1,$ если $P\neq \emptyset .$

Теорема Дирихле о единице. Позволять $K$быть числовым полем. Затем $O^{\times }\cong \mu (K)\times \mathbb {Z} ^{r+s-1},$ где $\mu (K)$ — конечная циклическая группа всех корней из единицы $K,r$ это количество действительных вложений $K$ и $s$ – число сопряженных пар комплексных вложений $K.$ Стоит, что $[K:\mathbb {Q} ]=r+2s.$

Замечание. Теорема о единице обобщает теорему Дирихле о единице. Чтобы увидеть это, позвольте $K$быть числовым полем. Уже известно, что $E=\mu (K),$ набор $P=P_{\infty }$ и обратите внимание $|P_{\infty }|=r+s.$

Тогда есть:

${\begin{aligned}E\times \mathbb {Z} ^{r+s-1}=E(P_{\infty })&=K^{\times }\cap \left(\prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\times \prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\right)\\&\cong K^{\times }\cap \left(\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\right)\\&\cong O^{\times }\end{aligned}}$

Аппроксимационные теоремы

Теорема о слабой аппроксимации. Позволять $|\cdot |_{1},\ldots ,|\cdot |_{N},$ быть неэквивалентными оценками $K.$ Позволять $K_{n}$ быть завершением $K$ относительно $|\cdot |_{n}.$ Встроить $K$ по диагонали внутрь $K_{1}\times \cdots \times K_{N}.$ Затем $K$ везде плотно ​ $K_{1}\times \cdots \times K_{N}.$ Другими словами, для каждого $\varepsilon >0$ и для каждого $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{N})\in K_{1}\times \cdots \times K_{N},$ Существует $\xi \in K,$ такой, что:

$\forall n\in \{1,\ldots ,N\}:\quad |\alpha _{n}-\xi |_{n}<\varepsilon .$

Теорема сильной аппроксимации. Позволять $v_{0}$ быть местом $K.$ Определять

$V:={\prod _{v\neq v_{0}}}^{'}K_{v}.$

Затем $K$ плотный в $V.$

Замечание. Глобальное поле дискретно в своем кольце аделей. Теорема сильной аппроксимации говорит нам, что если одно место (или несколько) опущено, свойство дискретности $K$ превращается в густоту $K.$

Принцип Хассе

Теорема Хассе-Минковского. Квадратичная форма на $K$ равна нулю тогда и только тогда, когда квадратичная форма равна нулю в каждом пополнении $K_{v}.$

Замечание. Это принцип Хассе для квадратичных форм. Для полиномов степени больше 2 принцип Хассе вообще не справедлив. Идея принципа Хассе (также известного как локально-глобальный принцип) заключается в решении заданной задачи числового поля. $K$ делая это при его завершениях $K_{v}$ и затем прийти к решению в $K.$

Персонажи на кольце Адель

Определение. Позволять $G$— локально компактная абелева группа. Группа персонажей $G$ это набор всех символов $G$ и обозначается ${\widehat {G}}.$ Эквивалентно ${\widehat {G}}$ есть множество всех непрерывных гомоморфизмов групп из $G$ к $\mathbb {T} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.$ Оборудовать ${\widehat {G}}$ с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах $G.$ Можно показать, что ${\widehat {G}}$ также является локально компактной абелевой группой.

Теорема. Кольцо Адель самодвойственное : $\mathbb {A} _{K}\cong {\widehat {\mathbb {A} _{K}}}.$

Доказательство. Путем приведения к локальным координатам достаточно показать каждую $K_{v}$является самодвойственным. Это можно сделать, используя фиксированный символ $K_{v}.$ Идея была проиллюстрирована показом $\mathbb {R}$является самодвойственным. Определять:

${\begin{cases}e_{\infty }:\mathbb {R} \to \mathbb {T} \\e_{\infty }(t):=\exp(2\pi it)\end{cases}}$

Тогда следующее отображение является изоморфизмом, учитывающим топологии:

${\begin{cases}\phi :\mathbb {R} \to {\widehat {\mathbb {R} }}\\s\mapsto {\begin{cases}\phi _{s}:\mathbb {R} \to \mathbb {T} \\\phi _{s}(t):=e_{\infty }(ts)\end{cases}}\end{cases}}$

Теорема (алгебраические и непрерывные двойственные кольца аделей). Позволять $\chi$ быть нетривиальным персонажем $\mathbb {A} _{K},$ что тривиально на $K.$ Позволять $E$ быть конечномерным векторным пространством над $K.$ Позволять $E^{\star }$ и $\mathbb {A} _{E}^{\star }$ быть алгебраическими двойственными $E$ и $\mathbb {A} _{E}.$ Обозначим топологический двойник $\mathbb {A} _{E}$ к $\mathbb {A} _{E}'$ и использовать $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ и $[{\cdot },{\cdot }]$ для обозначения естественных билинейных пар на $\mathbb {A} _{E}\times \mathbb {A} _{E}'$ и $\mathbb {A} _{E}\times \mathbb {A} _{E}^{\star }.$ Тогда формула $\langle e,e'\rangle =\chi ([e,e^{\star }])$ для всех $e\in \mathbb {A} _{E}$ определяет изоморфизм $e^{\star }\mapsto e'$ из $\mathbb {A} _{E}^{\star }$ на $\mathbb {A} _{E}',$ где $e'\in \mathbb {A} _{E}'$ и $e^{\star }\in \mathbb {A} _{E}^{\star }.$ Более того, если $e^{\star }\in \mathbb {A} _{E}^{\star }$ выполняет $\chi ([e,e^{\star }])=1$ для всех $e\in E,$ затем $e^{\star }\in E^{\star }.$

Диссертация Тейта

С помощью персонажей $\mathbb {A} _{K},$ Анализ Фурье можно провести на кольце адели. Джон Тейт в своей диссертации «Анализ Фурье в числовых полях и дзета-функции Хекке». доказал результаты об L-функциях Дирихле с помощью анализа Фурье на кольце аделей и группе иделей. Поэтому кольцо аделей и группа иделей были применены для изучения дзета-функции Римана и более общих дзета-функций и L-функций. Адельные формы этих функций можно определить и представить в виде интегралов по кольцу аделей или группе иделей относительно соответствующих мер Хаара. Можно показать функциональные уравнения и мероморфные продолжения этих функций. Например, для всех $s\in \mathbb {C}$ с $\Re (s)>1,$

$\int _{\widehat {\mathbb {Z} }}|x|^{s}d^{\times }x=\zeta (s),$

где $d^{\times }x$ – единственная мера Хаара на $I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}$ нормализовано так, что ${\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }$имеет объем один и продолжается нулем до конечного кольца аделей. В результате дзета-функция Римана может быть записана как интеграл по (подмножеству) кольца аделей.

Автоморфные формы

Теория автоморфных форм представляет собой обобщение тезиса Тейта путем замены группы иделей аналогичными группами более высокой размерности. Чтобы увидеть эту заметку:

${\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&=\operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&=(\operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}:=\{x\in \operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }):|x|=1\}\\\mathbb {Q} ^{\times }&=\operatorname {GL} (1,\mathbb {Q} )\end{aligned}}$

На основании этой идентификации естественным обобщением было бы заменить группу иделей и 1-идель на:

${\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&\leftrightsquigarrow \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&\leftrightsquigarrow (\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}:=\{x\in \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }):|\det(x)|=1\}\\\mathbb {Q} &\leftrightsquigarrow \operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )\end{aligned}}$

И наконец

$\mathbb {Q} ^{\times }\backslash I_{\mathbb {Q} }^{1}\cong \mathbb {Q} ^{\times }\backslash I_{\mathbb {Q} }\leftrightsquigarrow (\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )\backslash (\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}\cong (\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )Z_{\mathbb {R} })\backslash \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }),$

где $Z_{\mathbb {R} }$ является центром $\operatorname {GL} (2,\mathbb {R} ).$ Затем он определяет автоморфную форму как элемент $L^{2}((\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )Z_{\mathbb {R} })\backslash \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })).$ Другими словами, автоморфная форма — это функция на $\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })$удовлетворяющие определенным алгебраическим и аналитическим условиям. Для изучения автоморфных форм важно знать представления группы $\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }).$ Также возможно изучать автоморфные L-функции, которые можно описать как интегралы по $\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }).$

Обобщить еще можно, заменив $\mathbb {Q}$ с числовым полем и $\operatorname {GL} (2)$ с произвольной редуктивной алгебраической группой.

Дальнейшие применения

Обобщение закона взаимности Артина приводит к соединению представлений $\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{K})$ и представлений Галуа $K$ ( программа Ленглендса ).

Группа классов иделей — ключевой объект теории полей классов , который описывает абелевы расширения поля. Произведение локальных отображений взаимности в локальной теории полей классов дает гомоморфизм группы иделей в группу Галуа максимального абелева расширения глобального поля. Закон взаимности Артина , который является широким обобщением квадратичного закона взаимности Гаусса, утверждает, что произведение обращается в нуль в мультипликативной группе числового поля. Таким образом, будет получено глобальное отображение взаимности группы классов иделей в абелеву часть абсолютной группы Галуа поля.

Из самодуальности кольца аделей функционального поля кривой над конечным полем легко следует теорема Римана–Роха и теория двойственности кривой.

Источники

• Касселс, Джон ; Фрелих, Альбрехт (1967). Алгебраическая теория чисел: материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институт перспективных исследований НАТО) . Том. XVIII. Лондон: Академическая пресса. ISBN  978-0-12-163251-9 . 366 страниц.
• Нойкирх, Юрген (2007). Алгебраическая теория чисел без изменений. перепечатка 1-го издания. изд (на немецком языке). Том XIII. Берлин: Шпрингер. ISBN  9783540375470 . 595 страниц.
• Вейль, Андре (1967). Основная теория чисел . Том. XVIII. Берлин; Гейдельберг; Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-3-662-00048-9 . 294 страницы.
• Дейтмар, Антон (2010). Автоморфные формы (на немецком языке). Том VIII Берлин; Гейдельберг (среди прочих): Springer. ISBN  978-3-642-12389-4 . 250 страниц.
• Ланг, Серж (1994). Алгебраическая теория чисел, Тексты для аспирантов по математике 110 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Publishing. ISBN  978-0-387-94225-4 .

Внешние ссылки

• Какую проблему решают Адель?
• Несколько хороших книг об Адель