Торсор (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии торсор топологии или главное расслоение — аналог главного расслоения в алгебраической . мало открытых множеств Поскольку в топологии Зарисского , чаще всего рассматривают торсоры в этальной топологии или некоторых других плоских топологиях. Это понятие также обобщает расширение Галуа в абстрактной алгебре. Хотя другие понятия торсоров известны в более общем контексте (например, над стеками ), в этой статье основное внимание будет уделено торсорам, а не схемам , исходной ситуации, в которой были задуманы торсоры. Слово торсор происходит от французского torseur . Они действительно широко обсуждаются, например, в Мишеля Демазюра и Пьера Габриэля знаменитой книге «Алгебрические группы, Том I» . ^[1]

Определение [ править ]

Позволять ${\mathcal {T}}$ быть топологией Гротендика и $X$ схема . Более того, пусть $G$ быть схемой групповой $X$ , а $G$ -торсор (или принципал $G$ -связка) над $X$ для топологии ${\mathcal {T}}$ (или просто $G$ -торсор, когда топология ясна из контекста) — данные схемы $P$ и морфизм $f:P\to X$ с $G$ -инвариантное действие на $P$ это локально тривиально в ${\mathcal {T}}$ т.е. существует покрытие $\{U_{i}\to X\}$ такое, что база изменится $U_{i}\times _{X}P$ над $P$ изоморфен тривиальному торсору $U_{i}\times G\to U_{i}$ ^[2]

Обозначения [ править ]

Когда ${\mathcal {T}}$ — это этальная топология (соответственно fpqc и т. д.) вместо торсора для этальной топологии мы также можем сказать этальный-торсор (соответственно fpqc-torsor и т. д.).

Étale, fpqc Топологии fppf и

В отличие от топологии Зарисского во многих топологиях Гротендика торсор сам может быть покрытием. Это происходит в некоторых из наиболее распространенных топологий Гротендика, таких как топология fpqc, топология fppf , а также этальная топология (и многие менее известные). Так что пусть ${\mathcal {T}}$ быть любой из этих топологий (étale, fpqc, fppf). Позволять $X$ быть схемой и $G$ групповая схема закончилась $X$ . Затем $P\to X$ это $G$ -торсор тогда и только тогда, когда $P\times _{X}P$ над $P$ изоморфен тривиальному торсору $P\times G$ над $P$ . В этом случае мы часто говорим, что торсор упрощает себя (поскольку он становится тривиальным торсором, когда его натягивают на себя).

Векторные расслоения соответствия- ${GL}_{n}$ -торсоры [ править ]

По заданной схеме $X$ существует биекция между векторными расслоениями над $X$ (т.е. локально свободные пучки) и ${GL}_{n}$ -торсоры, где $n=rk(V)\in \mathbb {N}$ , звание $V$ . Данный $V$ можно взять (представимый) пучок локальных изоморфизмов $Isom(V,{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n})$ который имеет структуру $Isom({\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n},{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n})$ -торсор. Легко доказать, что $Isom({\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n},{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n})\simeq GL_{n,X}$ .

Тривиальные торсоры и сечения [ править ]

А $G$ -торсор $f:P\to X$ изоморфен тривиальному торсору тогда и только тогда, когда $P(X)=\operatorname {Mor} (X,P)$ непусто, т.е. морфизм $f$ допускает хотя бы часть $s:X\to P$ . Действительно, если существует раздел $s:X\to P$ , затем $X\times G\to P,(x,g)\mapsto s(x)g$ является изоморфизмом. С другой стороны, если $f:P\to X$ изоморфен тривиальному $G$ -торсор, тогда $P\simeq X\times G$ ; элемент идентичности $1_{G}\in G$ дает нужный раздел $s=id_{X}\times 1_{G}$ .

Примеры и основные свойства [ править ]

Если $L/K$ является конечным расширением Галуа , то $\operatorname {Spec} L\to \operatorname {Spec} K$ это $\operatorname {Gal} (L/K)$ -torsor (примерно потому, что группа Галуа действует просто транзитивно на корнях). Злоупотребляя обозначениями, мы по-прежнему обозначали через $\operatorname {Gal} (L/K)$ конечная постоянная групповая схема над $K$ связан с абстрактной группой $\operatorname {Gal} (L/K)$ . Этот факт является основанием для происхождения Галуа . См. интегральное расширение для обобщения.
Если $X$ является абелевым многообразием над полем $k$ то умножение на $n\in \mathbb {N}$ , $n_{X}:X\to X$ является торсором fpqc-топологии под действием конечного $k$ -групповая схема $ker(n_{X})$ . Это происходит, например, когда $X$ представляет собой эллиптическую кривую .

и когомологии Торсоры

Позволять $P$ быть $G$ -torsor для этальной топологии и пусть $\{U_{i}\to X\}$ быть прикрытием, упрощающим $P$ , как в определении. Тривиальный торсор допускает сечение: таким образом, существуют элементы $s_{i}\in P(U_{i})$ . Исправление таких разделов $s_{i}$ , мы можем написать однозначно $s_{i}g_{ij}=s_{j}$ на $U_{ij}$ с $g_{ij}\in G(U_{ij})$ . Различные варианты $s_{i}$ составляют 1-кограницы в когомологиях; то есть $g_{ij}$ определить класс когомологий в группе пучковых когомологий (точнее, когомологий Чеха с пучковым коэффициентом) $H^{1}(X,G)$ . ^[3] Тривиальный торсор соответствует единичному элементу. И наоборот, легко увидеть любой класс в $H^{1}(X,G)$ определяет $G$ -торснуть над $X$ , единственный с точностью до единственного изоморфизма.

Универсальный торсор схемы X и групповая фундаментальная схема

В этом контексте торсоры следует рассматривать в топологии fpqc . Позволять $S$ быть схемой Дедекинда (например, спектром поля) и $f:X\to S$ точно плоский морфизм локально конечного типа. Предполагать $f$ есть раздел $x\in X(S)$ . Мы говорим, что $X$ имеет фундаментальную групповую схему $\pi _{1}(X,x)$ если существуют проконечные и плоские $\pi _{1}(X,x)$ -торсор ${\hat {X}}\to X$ , называемый универсальным торсором $X$ , с разделом ${\hat {x}}\in {\hat {X}}_{x}(S)$ такой, что для любого конечного $G$ -торсор $Y\to X$ с разделом $y\in Y_{x}(S)$ существует единственный морфизм торсоров ${\hat {X}}\to Y$ отправка ${\hat {x}}$ к $y$ . Его существование было доказано Мадхавом В. Нори. ^[4]^[5]^[6] для $S$ спектр поля и Марко Антеи , Мишелем Эмсалемом и Карло Гасбарри, когда $S$ является схемой Дедекинда размерности 1. ^[7]^[8]

Контрактный продукт [ править ]

Контрактный продукт — это операция, позволяющая построить новый торсор из данного, надувая или сдувая его структуру с помощью определенной процедуры, также известной как выталкивание вперед. Хотя конструкцию можно представить и в более широкой общности, мы приводим здесь лишь следующую, более простую и очень распространенную ситуацию: нам дано право $G$ -торсор $f:P\to X$ и морфизм групповой схемы $u:G\to M$ . Затем $G$ действует слева на $M$ через левое умножение: $g\star m:=u(g)m$ . Мы говорим, что два элемента $(p,m)\in P\times M$ и $(p',m')\in P\times M$ эквивалентны, если существует $g\in G$ такой, что $(pg^{-1},g\star m)=(p',m')$ . Пространство орбит $P\times ^{G}M:={\frac {P\times M}{G}}$ называется сжатым произведением $P$ через $u:G\to M$ . Элементы обозначаются как $p\wedge m$ . Контрактный продукт представляет собой схему и имеет структуру права. $M$ -torsor при наличии действия $(p\wedge m)*m':=p\wedge (mm')$ . Разумеется, все операции должны быть функционально задуманы, а не заданы теоретически. Название «сокращенный продукт» происходит от французского produit Contracté , и в алгебраической геометрии оно предпочтительнее его топологического эквивалента «толчок вперед».

Морфизмы торсоров и редукция структурно-групповой схемы [ править ]

Позволять $f:Y\to X$ и $h:T\to X$ быть соответственно (правым) $G$ -торсор и а (справа) $H$ -торсор в некоторой топологии Гротендика ${\mathcal {T}}$ где $G$ и $H$ являются $X$ -групповые схемы. Морфизм (торсоров) из $Y$ к $T$ представляет собой пару морфизмов $(a,b)$ где $a:Y\to T$ это $X$ -морфизм и $b:G\to H$ — морфизм групповой схемы такой, что $\sigma _{H}\circ (a\times b)=a\circ \sigma _{G}$ где $\sigma _{G}$ и $\sigma _{H}$ соответственно являются действием $G$ на $Y$ и из $H$ на $T$ .

Таким образом $T$ можно доказать, что он изоморфен сжатому произведению $Y\times ^{G}H$ . Если морфшимы $b:G\to H$ является закрытым погружением, тогда $Y$ считается субторсором $T$ . Мы также можем сказать, унаследовав язык от топологии, что $T$ допускает редукцию схемы структурной группы от $H$ к $G$ .

структуры Теорема редукции о

Важный результат Владимира Дринфельда и Карлоса Симпсона заключается в следующем: пусть $X$ — гладкая проективная кривая над алгебраически замкнутым полем $k$ , $G$ полупростая, расщепленная и односвязная алгебраическая группа (затем групповая схема) и $P$ а $G$ -торсор включен $X_{R}=X\times _{\operatorname {Spec} k}\operatorname {Spec} R$ , $R$ будучи конечно порожденным $k$ -алгебра. Тогда существует этальный морфизм $R\to R'$ такой, что $P\times _{X_{R}}X_{R'}$ допускает сведение структурной групповой схемы к борелевской подгрупповой схеме $G$ . ^[9]^[10]

Дальнейшие замечания [ править ]

Обычно торсор рассматривают не только для групповой схемы, но, в более общем плане, для группового пучка (например, группового пучка fppf).
Категория торсоров над фиксированной базой образует стек . И наоборот, предварительный стек можно сложить , приняв категорию торсоров (по предварительному суммированию).
Если $G$ — связная алгебраическая группа над конечным полем $\mathbf {F} _{q}$ , тогда любой $G$ -торснуть над $\operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q}$ тривиально. ( Теорема Ланга .)

Инварианты [ править ]

Если P — параболическая подгруппа гладкой аффинной групповой схемы G со связными слоями, то ее степень неустойчивости, обозначаемая через $\deg _{i}(P)$ , — степень ее алгебры Ли $\operatorname {Lie} (P)$ как векторное расслоение на X . степень нестабильности G равна Тогда $\deg _{i}(G)=\max\{\deg _{i}(P)\mid P\subset G{\text{ parabolic subgroups}}\}$ . Если G — алгебраическая группа и E — G -торсор, то степень неустойчивости E — это степень внутренней формы ${}^{E}G=\operatorname {Aut} _{G}(E)$ группы G, индуцированной E (которая является групповой схемой над X ); то есть, $\deg _{i}(E)=\deg _{i}({}^{E}G)$ . E называется полустабильным, если $\deg _{i}(E)\leq 0$ и является стабильным , если $\deg _{i}(E)<0$ .

Примеры торсоров в прикладной математике [ править ]

По словам Джона Баэза , энергия , напряжение , положение и фаза квантово-механической волновой функции — все это примеры торсоров в повседневной физике; в каждом случае можно измерить только относительные сравнения, но точка отсчета должна выбираться произвольно, чтобы абсолютные значения имели смысл. Однако сравнительные значения относительной энергии, разности напряжений, смещений и разностей фаз не являются торсорами, а могут быть представлены более простыми структурами, такими как действительные числа, векторы или углы. ^[11]

В базовом исчислении он приводит неопределенные интегралы как примеры торсоров. ^[11]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Демазюр, Мишель ; Габриэль, Пьер (2005). Алгебраические группы, том I. Северная Голландия. ISBN 9780720420340 .
^ Вистоли, Анджело (2005). Топологии Гротендика в «Фундаментальной алгебраической геометрии» . АМС. ISBN 978-0821842454 .
^ Милн 1980 , Обсуждение, предшествующее предложению 4.6.
^ Нори, Мадхав В. (1976). «О представлениях фундаментальной группы» (PDF) . Математическая композиция . 33 (1): 29–42. МР 0417179 . Збл 0337.14016 .
^ Нори, Мадхав В. (1982). «Фундаментальная групповая схема». Труды математических наук . 91 (2): 73–122. дои : 10.1007/BF02967978 . S2CID 121156750 .
^ Самуэли, Тамаш (2009). Группы Галуа и фундаментальные группы . дои : 10.1017/CBO9780511627064 . ISBN 9780521888509 .
^ Антей, Марко; Эмсалем, Мишель; Гасбарри, Карло (2020). «О существовании фундаментальной групповой схемы». Эпижурнал алгебраической геометрии . arXiv : 1504.05082 . дои : 10.46298/epiga.2020.volume4.5436 . S2CID 227029191 .
^ Антей, Марко; Эмсалем, Мишель; Гасбарри, Карло (2020). «Ошибка в статье «Высоты векторных расслоений и фундаментальная групповая схема кривой» ». Математический журнал Дьюка . 169 (16). дои : 10.1215/00127094-2020-0065 . S2CID 225148904 .
^ Гайцгори, Деннис (27 октября 2009 г.). «Заметки семинара: расслоения Хиггса, раздел Костанта и локальная тривиальность G-расслоений» (PDF) . Гарвардский университет. Архивировано из оригинала (PDF) 30 июня 2022 г.
^ Лурье, Джейкоб (5 марта 2014 г.). «Существование борелевских редукций I (лекция 14)» (PDF) . Гарвардский университет.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Баэз, Джон (27 декабря 2009 г.). «Торсоры — это просто» . math.ucr.edu . Проверено 22 ноября 2022 г.

Ссылки [ править ]

Беренд, К. Формула следа Лефшеца для стека модулей главных расслоений. Кандидатская диссертация.
Беренд, Кай; Конрад, Брайан; Эдидин, Дэн; Фултон, Уильям; Фантечи, Барбара; Гетше, Лотар; Креш, Эндрю (2006). «Алгебраические стопки» . Архивировано из оригинала 5 мая 2008 г.
Милн, Джеймс С. (1980). Этальные когомологии . Принстонская математическая серия. Том. 33. Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08238-7 . МР 0559531 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Брайан Конрад, [ http://math.stanford.edu/~conrad/papers/cosetfinite.pdf Теоремы конечности для алгебраических групп над функциональными полями]

[1] Демазюр, Мишель ; Габриэль, Пьер (2005). Алгебраические группы, том I. Северная Голландия. ISBN 9780720420340 .

[2] Вистоли, Анджело (2005). Топологии Гротендика в «Фундаментальной алгебраической геометрии» . АМС. ISBN 978-0821842454 .

[3] Милн 1980 , Обсуждение, предшествующее предложению 4.6.

[:Nori-4] Нори, Мадхав В. (1976). «О представлениях фундаментальной группы» (PDF) . Математическая композиция . 33 (1): 29–42. МР 0417179 . Збл 0337.14016 .

[:Nori_2-5] Нори, Мадхав В. (1982). «Фундаментальная групповая схема». Труды математических наук . 91 (2): 73–122. дои : 10.1007/BF02967978 . S2CID 121156750 .

[6] Самуэли, Тамаш (2009). Группы Галуа и фундаментальные группы . дои : 10.1017/CBO9780511627064 . ISBN 9780521888509 .

[:Dedekind-7] Антей, Марко; Эмсалем, Мишель; Гасбарри, Карло (2020). «О существовании фундаментальной групповой схемы». Эпижурнал алгебраической геометрии . arXiv : 1504.05082 . дои : 10.46298/epiga.2020.volume4.5436 . S2CID 227029191 .

[8] Антей, Марко; Эмсалем, Мишель; Гасбарри, Карло (2020). «Ошибка в статье «Высоты векторных расслоений и фундаментальная групповая схема кривой» ». Математический журнал Дьюка . 169 (16). дои : 10.1215/00127094-2020-0065 . S2CID 225148904 .

[9] Гайцгори, Деннис (27 октября 2009 г.). «Заметки семинара: расслоения Хиггса, раздел Костанта и локальная тривиальность G-расслоений» (PDF) . Гарвардский университет. Архивировано из оригинала (PDF) 30 июня 2022 г.

[10] Лурье, Джейкоб (5 марта 2014 г.). «Существование борелевских редукций I (лекция 14)» (PDF) . Гарвардский университет.

[Baez-11] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Баэз, Джон (27 декабря 2009 г.). «Торсоры — это просто» . math.ucr.edu . Проверено 22 ноября 2022 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]